Il video tutorial "Costruzione con bussola e righello" contiene materiale didattico, che è la base per risolvere i problemi di costruzione. Le costruzioni geometriche sono una parte importante per risolvere molti compiti pratici. Quasi nessun compito geometrico può fare a meno della capacità di riflettere correttamente le condizioni nella figura. L'obiettivo principale di questa lezione video è quello di approfondire la conoscenza da parte dello studente dell'uso degli strumenti di disegno per la costruzione di forme geometriche, di dimostrare le capacità di questi strumenti e di insegnare come risolvere semplici compiti di costruzione.

L'apprendimento con l'aiuto di una videolezione ha molti vantaggi, tra cui la chiarezza, la chiarezza delle costruzioni prodotte, poiché il materiale viene dimostrato utilizzando mezzi elettronici vicini alla costruzione effettiva sulla lavagna. Le costruzioni sono chiaramente visibili da qualsiasi punto dell'aula, i punti importanti sono evidenziati a colori. E l'accompagnamento vocale sostituisce la presentazione da parte dell'insegnante di un blocco standard di materiale didattico.

Il video tutorial inizia con l'annuncio del nome dell'argomento. Si ricorda agli studenti che hanno già alcune abilità nella costruzione di forme geometriche. Nelle lezioni precedenti, quando gli studenti hanno studiato le basi della geometria e padroneggiato i concetti di una retta, un punto, un angolo, un segmento, un triangolo, hanno disegnato segmenti uguali ai dati, hanno completato la costruzione delle forme geometriche più semplici. Tali costruzioni non richiedono abilità complesse, ma la corretta esecuzione dei compiti è importante per ulteriori lavori con oggetti geometrici e per risolvere problemi geometrici più complessi.

Agli studenti viene fornito un elenco dei principali strumenti utilizzati per eseguire le costruzioni durante la risoluzione di problemi geometrici. Le immagini mostrano un righello di scala, un compasso, un triangolo ad angolo retto, un goniometro.

Espandendo la comprensione degli studenti su come vengono eseguiti i diversi tipi di costruzioni, si consiglia loro di prestare attenzione alle costruzioni che vengono eseguite senza un righello di scala e per loro possono essere utilizzati solo compassi e un righello senza divisioni. Si noti che un tale gruppo di attività di costruzione, in cui vengono utilizzati solo un righello e un compasso, viene individuato separatamente in geometria.

Per determinare quali problemi geometrici possono essere risolti usando un righello e un compasso, si propone di considerare le capacità di questi strumenti di disegno. Il righello aiuta a tracciare una linea arbitraria, a costruire una linea che passa per determinati punti. La bussola è progettata per disegnare cerchi. Solo con l'aiuto di una bussola si costruisce un cerchio arbitrario. Con l'aiuto di un compasso si traccia anche un segmento uguale a questo. Le possibilità indicate degli strumenti di disegno consentono di eseguire una serie di attività di costruzione. Tra questi compiti di costruzione:

1. costruzione di un angolo uguale a uno dato;
2. tracciare una linea perpendicolare a quella data, passante per il punto specificato;
3. dividere un segmento in due parti uguali;
4. una serie di altri compiti di costruzione.

Successivamente, si propone di risolvere il compito di costruzione usando un righello e una bussola. Lo schermo mostra la condizione del problema, che consiste nel mettere un segmento su un certo raggio uguale a un certo segmento dall'inizio del raggio. La soluzione di questo problema inizia con la costruzione di un segmento arbitrario AB e di un raggio OS. Come soluzione a questo problema, si propone di costruire un cerchio di raggio AB e centro nel punto O. Dopo la costruzione, il cerchio costruito si interseca con il raggio OS in un punto D. In questo caso, la parte del raggio rappresentata da il segmento OD è il segmento uguale al segmento AB. Problema risolto.

La lezione video "Costruzione con bussola e righello" può essere utilizzata quando l'insegnante spiega le basi per risolvere problemi pratici per la costruzione. Inoltre, questo metodo può essere padroneggiato studiando in modo indipendente questo materiale. Questa lezione video può anche aiutare l'insegnante con l'invio a distanza di materiale su questo argomento.

YouTube enciclopedico

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✪ Grado 7, lezione 22, Costruzioni con compasso e righello

✪ Geometria 7 costruzioni circolari con bussola e righello

✪ Costruzione di un triangolo su due lati e un angolo tra di loro

✪ Geometria 7 Esempi di problemi di costruzione

✪ Grado 7, Lezione 23, Esempi di attività di costruzione

Sottotitoli

Esempi

Problema di bisezione. Usa un compasso e una riga per dividere questo segmento AB in due parti uguali. Una delle soluzioni è mostrata in figura:

• Le bussole disegnano cerchi centrati in punti UN e B raggio AB.
• Trovare punti di intersezione P e Q due cerchi costruiti (archi).
• Su un righello, disegna un segmento o una linea passante per i punti P e Q.
• Trovare il punto medio del segmento AB- punto di intersezione AB e PQ.

Definizione formale

Nei problemi di costruzione viene considerato un insieme dei seguenti oggetti: tutti i punti del piano, tutte le linee del piano e tutti i cerchi del piano. Nelle condizioni del problema viene inizialmente specificato (considerato costruito) un certo insieme di oggetti. È consentito aggiungere (costruire) all'insieme di oggetti costruiti:

1. punto arbitrario;
2. un punto arbitrario su una data retta;
3. un punto arbitrario su una data circonferenza;
4. il punto di intersezione di due rette date;
5. punti di intersezione/tangenza di una data retta e di una data circonferenza;
6. punti di intersezione/tangenza di due cerchi dati;
7. una retta arbitraria passante per un dato punto;
8. una retta passante per due punti dati;
9. un cerchio arbitrario centrato in un dato punto;
10. un cerchio arbitrario con raggio uguale alla distanza tra due punti dati;
11. una circonferenza centrata in un punto dato e di raggio uguale alla distanza tra due punti dati.

È necessario, con l'aiuto di un numero finito di queste operazioni, costruire un altro insieme di oggetti che sia in una data relazione con l'insieme originale.

La soluzione del problema costruttivo contiene tre parti essenziali:

1. Descrizione del metodo per costruire un dato insieme.
2. Una prova che l'insieme costruito nel modo descritto è effettivamente in una data relazione con l'insieme originale. Di solito la dimostrazione della costruzione viene eseguita come una dimostrazione regolare di un teorema, basandosi su assiomi e altri teoremi dimostrati.
3. Analisi del metodo di costruzione descritto per la sua applicabilità a diverse varianti delle condizioni iniziali, nonché per l'unicità o non unicità della soluzione ottenuta con il metodo descritto.

Problemi noti

Un altro compito noto e irrisolvibile con l'aiuto di un compasso e un righello è la costruzione di un triangolo secondo tre date lunghezze di bisettrici. Questo problema rimane irrisolvibile anche in presenza di uno strumento che esegua la trisezione di un angolo, come un tomahawk.

Segmenti consentiti per la costruzione con compasso e righello

Utilizzando questi strumenti è possibile costruire un segmento, che in lunghezza:

Per costruire un segmento di lunghezza numericamente uguale al prodotto, privato e radice quadrata delle lunghezze dei segmenti dati, è necessario impostare un segmento unitario sul piano di costruzione (cioè un segmento di lunghezza 1). L'estrazione di radici da segmenti con altre potenze naturali che non sono una potenza di 2 non è possibile utilizzando compasso e righello. Quindi, ad esempio, è impossibile costruire un segmento di lunghezza da un singolo segmento usando un compasso e un righello. Questo fatto, in particolare, implica l'irrisolvibilità del problema del raddoppio del cubo.

Costruzioni possibili e impossibili

Da un punto di vista formale, la soluzione di qualsiasi problema costruttivo si riduce a una soluzione grafica di qualche equazione algebrica, ei coefficienti di questa equazione sono legati alle lunghezze dei segmenti dati. Pertanto, possiamo dire che il problema della costruzione si riduce a trovare le radici reali di qualche equazione algebrica.

Pertanto, è conveniente parlare della costruzione di un numero: una soluzione grafica per un'equazione di un certo tipo.

In base alle possibili costruzioni dei segmenti, sono possibili le seguenti costruzioni:

• Costruzione di soluzioni di equazioni lineari.
• Costruzione di soluzioni di equazioni che si riducono a soluzioni di equazioni quadratiche.

In altre parole, è possibile costruire solo segmenti uguali ad espressioni aritmetiche utilizzando la radice quadrata dei numeri originali (data la lunghezza dei segmenti).

È importante notare che è essenziale che la soluzione venga espressa utilizzando quadrato radici, non radicali di grado arbitrario. Anche se un'equazione algebrica ha una soluzione in radicali, non ne consegue che un compasso e un righello possano costruire un segmento uguale alla sua soluzione. L'equazione più semplice è: x 3 - 2 = 0 , (\ displaystyle x^(3)-2=0,) legato al famoso problema del raddoppio del cubo, che si riduce a questa equazione cubica. Come accennato in precedenza, la soluzione di questa equazione ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) non può essere costruito con compasso e riga.

La capacità di costruire un regolare 17-gon segue dall'espressione per il coseno dell'angolo centrale del suo lato:

cos ⁡ (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ left((\ frac (2 \ pi ) (17)) \ right)) = - (\frac (1)(16))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (34-2(\sqrt (17))))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17 , (\displaystyle +(\frac (1)(8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17))-(\ sqrt (34-2(\sqrt (17))))-2(\sqrt (34+2(\sqrt (17)))))),) che, a sua volta, deriva dalla possibilità di ridurre un'equazione della forma x F n - 1 = 0 , (\ displaystyle x ^ (F_ (n)) -1 = 0,) dove F n (\ displaystyle F_ (n))- qualsiasi numero primo Fermat , cambiando la variabile in un'equazione quadratica.

Variazioni e generalizzazioni

• Costruzioni con una sola bussola. Secondo il teorema di Mohr-Mascheroni, con l'aiuto di un compasso, puoi costruire qualsiasi figura che possa essere costruita con un compasso e un righello. In questo caso, una retta si considera costruita se su di essa sono indicati due punti.
• Costruzioni con un solo righello.È ovvio che solo le costruzioni proiettivamente invarianti possono essere eseguite con l'aiuto di un righello. In particolare,
  • è impossibile anche dividere il segmento in due parti uguali,
  • è anche impossibile trovare il centro del cerchio dato.

Ma,

• se c'è un cerchio pre-disegnato sul piano con un centro segnato con un righello, puoi eseguire le stesse costruzioni di un compasso e un righello (

Il materiale di questo paragrafo può essere utilizzato in attività extracurriculari. Può essere presentato agli studenti sia sotto forma di lezione che sotto forma di relazioni degli studenti.

Per molti secoli, molta attenzione è stata attirata su problemi che sono stati a lungo conosciuti come "famosi problemi dell'antichità". Tre problemi famosi di solito apparivano sotto questo nome:

1) quadratura del cerchio,

2) trisezione angolare,

3) raddoppiare il cubo.

Tutti questi compiti sono nati nei tempi antichi dai bisogni pratici delle persone. Nella prima fase della loro esistenza, hanno agito come compiti di calcolo: secondo alcune "ricette", sono stati calcolati valori approssimativi delle quantità richieste (area del cerchio, circonferenza, ecc.). Nella seconda fase della storia di questi problemi, si verificano cambiamenti significativi nella loro natura: diventano problemi geometrici (costruttivi).

Nell'antica Grecia, durante questo periodo, furono date loro formulazioni classiche:

1) costruire un quadrato di dimensioni uguali a un dato cerchio;

2) dividere l'angolo dato in tre parti uguali;

3) costruire un bordo di un nuovo cubo, il cui volume sarebbe due volte più grande del cubo dato.

Tutte queste costruzioni geometriche sono state proposte per essere eseguite con l'aiuto di un compasso e un righello.

La semplicità della formulazione di questi compiti e le "difficoltà insormontabili" incontrate nel percorso verso la loro soluzione hanno contribuito alla crescita della loro popolarità. Nel tentativo di dare soluzioni rigorose a questi problemi, gli antichi scienziati greci "di passaggio" ottennero molti importanti risultati per la matematica, che contribuirono alla trasformazione di conoscenze matematiche disparate in una scienza deduttiva indipendente (i Pitagorici, Ippocrate di Chio e Archimede lasciarono un segno particolarmente evidente in quel momento).

Il problema del raddoppio del cubo.

Il compito di raddoppiare un cubo è il seguente: conoscendo il bordo di un dato cubo, costruisci un bordo di un tale cubo, il cui volume sarebbe il doppio del volume del dato cubo.

Sia a la lunghezza del bordo del cubo dato, x la lunghezza del bordo del cubo desiderato. Sia - il volume di questo cubo, e - il volume del cubo desiderato, quindi secondo la formula per calcolare il volume del cubo abbiamo che: =, e poiché, in base alla condizione del problema, arriviamo al equazione.

È noto dall'algebra che le radici razionali dell'equazione ridotta a coefficienti interi possono essere solo intere ed essere contenute tra i divisori del termine libero dell'equazione. Ma i divisori del numero 2 sono solo i numeri +1, -1, +2, -2 e nessuno di essi soddisfa l'equazione originale. Pertanto, l'equazione non ha radici razionali, il che significa che il problema del raddoppio del cubo non può essere risolto utilizzando un compasso e un righello.

Il problema del raddoppio di un cubo con un compasso e un righello può essere risolto solo approssimativamente. Presentiamo uno dei metodi più semplici per una soluzione approssimativa di questo problema.

Sia AB=BC=a, e ABBC. Costruiamo AD=AC, quindi CD con una precisione dell'1%. Infatti, CD 1.2586…. Allo stesso tempo =1.2599….

Il problema della quadratura del cerchio.

Giustificazione dell'irrisolvibilità del problema mediante compasso e righello.

Il compito della quadratura di un cerchio è il seguente: costruire un quadrato di area uguale a un cerchio.

Sia - il raggio del cerchio dato, - la lunghezza del lato del quadrato desiderato. Poi, da qui.

Pertanto, il problema della quadratura di una circonferenza sarà risolto se costruiamo un segmento di lunghezza. Se il raggio di questo cerchio è preso come segmento unitario (= 1), allora la questione sarà ridotta alla costruzione di un segmento di lunghezza lungo un segmento unitario.

Come sapete, conoscendo il segmento unitario, possiamo costruire con un compasso e un righello solo quei segmenti le cui lunghezze sono espresse in termini di numeri razionali utilizzando un insieme finito di operazioni razionali ed estraendo radici quadrate e, quindi, sono numeri algebrici. In questo caso, non verranno utilizzati tutti i numeri algebrici. Ad esempio, non è possibile costruire un segmento con una lunghezza, ecc.

Nel 1882 Lindemann dimostrò che è trascendentale. Ne consegue che è impossibile costruire un segmento di lunghezza con un compasso e un righello, e, quindi, il problema della quadratura di un cerchio è irrisolvibile con questi mezzi.

Soluzione approssimativa del problema utilizzando una bussola e una riga.

Considera uno dei metodi di costruzione approssimativa dei segmenti di lunghezza. Questo approccio è il seguente. Un quarto del cerchio AB di centro nel punto O e raggio uguale a uno è diviso a metà per il punto C. Sulla continuazione del diametro CD mettere da parte il segmento DE uguale al raggio. Dal punto E disegniamo i raggi EA ed EB fino all'intersezione con la tangente nel punto C. Il segmento tagliato AB è approssimativamente uguale alla lunghezza dell'arco AB e quello raddoppiato è il semicerchio.

L'errore relativo di questa approssimazione non supera lo 0,227%.

Problema della trisezione angolare.

Giustificazione dell'irrisolvibilità del problema mediante compasso e righello.

Il problema della trisezione angolare è il seguente.: dividere l'angolo dato in tre parti uguali.

Ci limitiamo a risolvere il problema per angoli non superiori a 90. Se è un angolo ottuso, allora =180-, dove<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Si noti che (in presenza di un solo segmento) il problema di costruire l'angolo (90) equivale al problema di costruire il segmento x=cos. Infatti, se si costruisce l'angolo, allora la costruzione del segmento x=cos si riduce alla costruzione di un triangolo rettangolo lungo l'ipotenusa e l'angolo acuto.

Indietro. Se viene costruito un segmento x, la costruzione di un angolo tale che x \u003d cos si riduce alla costruzione di un triangolo rettangolo lungo l'ipotenusa e la gamba.

Sia l'angolo dato, sia l'angolo desiderato, quindi =. Allora cos=cos 3. È noto che cos 3= 4cos-3cos . Pertanto, assumendo cos = e cos =, si arriva all'equazione:

cos=4cos-3cos ,

Un segmento, e quindi un angolo, può essere costruito solo se questa equazione ha almeno una radice razionale. Ma questo non vale per tutti, e quindi il problema della trisezione di un angolo, in generale, non può essere risolto con l'aiuto di compasso e righello. Ad esempio. A =60 otteniamo =1 e l'equazione trovata assume la forma: . È facile verificare che questa equazione non ha alcuna radice razionale, il che implica l'impossibilità di dividere un angolo di 60 in tre parti uguali usando un compasso e un righello. Pertanto, il problema della trisezione di un angolo non è risolvibile con un compasso e un righello in termini generali.

Soluzione approssimativa del problema utilizzando una bussola e una riga.

Si consideri uno dei modi per approssimare la soluzione del problema utilizzando un compasso e un righello, proposto da Albert Dürer (1471-1528).

Sia dato l'angolo ASB. Dal vertice S descriviamo una circonferenza di raggio arbitrario e colleghiamo i punti di intersezione dei lati dell'angolo con la circonferenza con la corda AB. Dividiamo questo accordo in tre parti uguali nei punti R e R (A R \u003d R R \u003d RВ). dai punti A e B, come dai centri, con i raggi A R \u003d RВ descriviamo archi che intersecano il cerchio nei punti T e T. Eseguiamo RSAB. Con i raggi A S \u003d BS, disegniamo archi che intersecano AB nei punti U e U. Gli archi AT, SS e TB sono uguali tra loro, poiché sono contratti da accordi uguali.

Per trovare i punti di trisezione degli angoli X e X, Dürer divide i segmenti RU e RU in tre parti uguali per i punti PV e PV. Quindi, con i raggi AV e BV, disegniamo archi che intersecano il cerchio nei punti X e X. Collegando questi punti con S, otteniamo la divisione di questo angolo in tre parti uguali con buona approssimazione ai valori veri.

I. Introduzione.

II. Parte principale:

Costruzione di un segmento uguale al prodotto degli altri due utilizzando un compasso e un righello:

1. il primo metodo di costruzione;

   il secondo metodo di costruzione;

   il terzo modo di costruire,

d) il quarto metodo di costruzione.

2) Costruzione di un segmento uguale al rapporto degli altri due utilizzando un compasso e un righello:

il primo metodo di costruzione;

secondo metodo di costruzione.

Conclusione.

Appendice.

introduzione

Le costruzioni geometriche, o la teoria delle costruzioni geometriche, è una branca della geometria in cui vengono studiate domande e metodi per costruire figure geometriche utilizzando determinati elementi di costruzione. Le costruzioni geometriche sono studiate sia nella geometria di Euclide che in altre geometrie, sia sul piano che nello spazio. Gli strumenti di costruzione classici sono compasso e righello (matematico unilaterale), tuttavia esistono costruzioni con altri strumenti: un solo compasso, un solo righello, se si traccia un cerchio e il suo centro sul piano, un solo righello con parallele bordi, ecc.

Tutti i problemi di costruzione si basano su postulati di costruzione, cioè sui più semplici problemi di costruzione elementari, e un problema è considerato risolto se è ridotto a un numero finito di questi più semplici problemi di postulato.

Naturalmente, ogni strumento ha la sua forza costruttiva, il suo insieme di postulati. Quindi, è noto che è impossibile dividere un segmento usando un solo righello in due parti uguali, ma usando un compasso è possibile.

L'arte di costruire figure geometriche con l'aiuto di un compasso e un righello era molto sviluppata nell'antica Grecia. Uno dei compiti di costruzione più difficili, che già sapevano eseguire, era la costruzione di un cerchio tangente a tre cerchi dati.

A scuola studiano alcune delle costruzioni più semplici con un compasso e un righello (unilaterale senza divisioni): la costruzione di una retta passante per un dato punto e perpendicolare o parallela a una data retta; dividere a metà un dato angolo, dividere un segmento in più parti uguali usando il teorema di Talete (dividendo infatti un segmento per un numero naturale); costruzione di un segmento più grande di quello dato per un numero intero di volte (in pratica moltiplicando il segmento per un numero naturale). Tuttavia, non abbiamo mai riscontrato un problema in cui sarebbe necessario moltiplicare un segmento per un segmento usando un compasso e un righello, cioè costruire un segmento uguale al prodotto di due segmenti dati, o dividere un segmento per un segmento, cioè costruire un segmento uguale al rapporto degli altri due segmenti. Questo problema ci è sembrato molto interessante e abbiamo deciso di indagarlo, cercare di trovare una soluzione e la possibilità di applicare il metodo della soluzione trovata per risolvere altri problemi, ad esempio in matematica e fisica.

Quando si risolvono problemi di costruzione, la metodologia tradizionale raccomanda quattro fasi: analisi, costruzione, dimostrazione e ricerca. Tuttavia, lo schema indicato per la risoluzione dei problemi di costruzione è considerato molto accademico e richiede molto tempo per implementarlo, pertanto vengono spesso omesse le singole fasi dello schema tradizionale per risolvere il problema, ad esempio le fasi della dimostrazione , ricerca. Nel nostro lavoro, per quanto possibile, abbiamo utilizzato tutte e quattro le fasi, e anche allora solo dove c'era bisogno e opportunità di questo.

E l'ultima cosa: il metodo che abbiamo trovato per costruire i suddetti segmenti prevede l'uso, oltre al compasso e al righello, di un singolo segmento scelto arbitrariamente. L'introduzione di un segmento unitario è dettata anche dal fatto che è necessario almeno confermare la validità del metodo che abbiamo trovato per trovare un segmento su specifici esempi particolari.

PROBLEMA GENERALE I

Usando un compasso e una riga, costruisci un segmento uguale al prodotto degli altri due segmenti.

Nota:

ipotetico:

Il sovrano è unilaterale, senza divisioni.

Viene fornito un segmento di lunghezza unitaria.

Studia.

1. Considera le rette y=2x-2 2 e y=3x-3 2 e cerca di trovare le coordinate del punto di intersezione di queste rette con metodi geometrici e analitici:

un
) metodo geometrico ( Fig. 1) ha mostrato che le coordinate del punto A dell'intersezione di queste rette: “5” è l'ascissa, “6” è l'ordinata, cioè AE=5, AD=6.

b) il metodo analitico conferma questo risultato, ovvero A (5;6) - il punto di intersezione delle linee.

Infatti, risolvendo il sistema di equazioni

y=6 А(5;6) - punto di intersezione delle rette.

2. Considera il segmento: OB=2, OS=3, AD=6, AE=5.

Si può presumere che BP=OV×OS, perché 6=2×3; AE \u003d OB + OS, perché 5=2+3 , dove

2=OB-pendenza dell'equazione y=2x-2 2 , 3=OS - pendenza dell'equazione y=3x-3 2 , AD=y A, OD=x A - coordinate del punto A dell'intersezione del nostro Linee.

Verificheremo la nostra ipotesi su un esempio generale con il metodo analitico, ad es. sulle equazioni delle rette y=mx-m 2 e y=nx-n 2 (dove m≠n) verificare che il punto di intersezione delle rette abbia coordinate:

y=nx-n 2 nx-n 2 =mx-m 2 x=(m 2 -n 2)÷(mn)=m+n e y=mx-m 2 =m(m+n)-m 2 = mn

coordinate del punto A dell'intersezione delle rette, dove m e n sono le pendenze di queste rette, ecc.

3. Resta da trovare un metodo per costruire un segmento. HELL=OB×OC=m∙n=y A - ordinate del punto A dell'intersezione delle rette Y=mx-m 2 e Y=nx-n 2, dove m≠n e m=OB, n=OC- segmenti tracciato sull'asse Oh. E per questo dobbiamo trovare un metodo per costruire le linee Y=mx-m 2 e Y=nx-n 2 . dal ragionamento risulta chiaro che queste rette devono passare per i punti B e C dei segmenti OB=m e OC=n, che appartengono all'asse x.

Nota 1. Le designazioni di cui sopra dei segmenti corrispondono alla Fig. 1 "Appendici"

Primo modo costruendo un segmento AD=mn, dove m>1 unità, n>1 unità, m≠n.

singolo segmento

segmento arbitrario, m>1ed., n>1ed.

n è un segmento arbitrario, dove m≠n.

Edificio (Fig.2)

Tracciamo una linea retta

Su OH rimandiamo OA 1 = m

Su OX mettiamo da parte A 1 C 1 \u003d 1 unità

Costruiamo C 1 B 1 =m, dove C 1 B 1 ┴ OH

Tracciamo una retta A 1 B 1, la cui equazione è y=mx-m 2 negli assi delle coordinate XOU (la scala sugli assi è la stessa).

Nota:

Fig.2

Nota 1.

Infatti, la tangente della pendenza di tale retta tgά 1 = C 1 B 1 /A 1 C 1 =m/1ed=m, che passa per il punto A 1 del segmento OA 1 =m.

Allo stesso modo, costruiamo una linea retta, la cui equazione è Y \u003d nx-n 2.

6. Sull'asse OX, mettiamo da parte OA 2 \u003d n (il punto A 2 ha coinciso accidentalmente con il punto C1).

7. Sull'asse OX, mettere da parte A 2 C 2 \u003d 1 unità.

8. Costruiamo B 2 C 2 \u003d n, dove B 2 C 2 ┴ OH.

9. Tracciamo una linea retta B 2 A 2, la cui equazione è Y \u003d nx-n 2.

Nota 2. Infatti, la pendenza di questa retta tg ά 2 =C 2 B 2 /A 2 C 2 =n/1ed=n, che passa per t.A 2 segmento OA 2 =n.

10. Abbiamo t.A (m + n; mn) - il punto di intersezione delle linee Y \u003d mx-m 2 e Y \u003d nx-n 2

11. Tracciamo AD perpendicolare a x, dove D appartiene all'asse x.

12. Segmento AD \u003d mn (ordinata del punto A), ovvero segmento desiderato.

Osservazione 3. a) infatti, se nel nostro esempio n=4 unità, m=3 unità, allora dovrebbe esserci BP=mn=3 unità∙4 unità=12 unità. Ecco come si è rivelato per noi: BP = 12 unità; b) la linea B 1 B 2 non è stata utilizzata in questa costruzione. Anche in B.

Esistono almeno tre modi diversi per costruire il segmento AD=mn.

Secondo modo costruzione del segmento AD=mn, dovem>1 unità,n>1 unità,men- qualunque.

Analisi

Un'analisi del disegno precedentemente costruito (Fig. 2), dove usando il metodo found per costruire rette Y=mx-m 2 e Y=nx-n 2 trovato tA (m+n; mn) (questo è il primo metodo ), suggerisce che mA (m + n; mn) può essere trovato costruendo una di queste linee (U \u003d mx-m 2 o U \u003d nx-n 2) e la perpendicolare AD, dove AD è la perpendicolare a OX , AD \u003d mn, D appartiene all'asse OH. Allora il punto desiderato A (m + n; mn) è il punto di intersezione di una qualsiasi di queste rette e la perpendicolare AD. Basta trovare gli angoli di inclinazione di queste rette, le cui tangenti, secondo i coefficienti di pendenza, sono uguali a m e n, cioè tan ά 1= m e tan ά 2 =n. Considerando che tg ά 1 =m/1ed=m e tg ά 2 =n/1ed=n, dove 1ed è un segmento unitario, si possono facilmente costruire rette le cui equazioni sono Y=mx-m 2 e Y=nx-n 2.

singolo segmento

n n>1 unità, m e n sono numeri qualsiasi.

P

costruzione (Fig.3)

Fig.3

1. Tracciamo una linea retta OX.

2. Sull'asse OX, mettiamo da parte il segmento OA 1 \u003d m.

3. Sull'asse OX, mettiamo da parte il segmento A 1 D \u003d n.

4. Sull'asse OX, mettiamo da parte il segmento A 1 C 1 \u003d 1 unità.

5. Costruiamo C 1 B 1 \u003d m, dove C 1 B 1 ┴ OH.

6. Tracciamo una retta A1B1, la cui equazione è Y=mx-m2, negli assi coordinati XOU (la scala sugli assi è la stessa).

7. Ripristinare la perpendicolare a OX nel punto D.

8. Otteniamo il punto A (m + n; mn) - il punto di intersezione della linea Y \u003d mx-m2 e la perpendicolare AD

9. Segmento AD=mn, ovvero il segmento desiderato.

Conclusione: Questo secondo metodo è più universale del primo metodo, poiché consente di trovare il punto A (m + n; mn) e quando m \u003d n> 1 unità, le coordinate di questo punto sono A (2m; m 2 ) e AD \u003d m 2.

In altre parole, questo metodo consente di trovare un segmento uguale al quadrato di quello dato, la cui lunghezza è maggiore di 1 unità.

Commento: Infatti, se nel nostro esempio m=3 unità, n=5 unità, allora dovrebbe essere AD=mn=3 unità×5 unità=15 unità. Ecco come l'abbiamo fatto: AD=15 unità.

Terza via costruire un segmentoANNO DOMINI= mn, dovem>1 unità,n>1 unità em≠ n.

Usando la figura n. 2, traccia una linea retta tratteggiata B 1 B 2 fino a quando non si interseca con OX nel punto E € OX, e una linea retta B 1 B ┴ B 2 C 2, quindi

B 1 B \u003d C 1 C 2 \u003d OS 2 -OS 1 \u003d (n + 1 unità) - (m + 1 unità) \u003d nm e B 2 B \u003d B 2 C 2 -B 1 C 1 \u003d mn => B 1 В=В 2 В=>∆В 1 ВВ 2 - isoscele, rettangolare>∆EC 1 В 1 - isoscele, rettangolare => ά=45º

Perché OS 1 \u003d m + 1 unità e EU 1 \u003d B 1 C 1 \u003d m, quindi OE \u003d OS 1 -EC 1 \u003d m + 1 unità-m \u003d 1 unità.

Dal ragionamento consegue che i punti B 1 e B 2 si trovano in modo diverso, perché sono i punti di intersezione della retta EB 1 tracciata con un angolo ά=45º rispetto all'asse ОХ e perpendicolari a ОХ: В 1 С 1 e В 2 С 2, e OE=1 unità Inoltre, utilizzando i metodi precedenti , avremo il seguente metodo di costruzione.

Taglio singolo.

n n>1 unità e m≠n.

Costruzione (Fig.4)

1. Tracciamo una linea retta OX.

7. Mettere da parte OA 2 \u003d n, dove A 2 € OX.

8. Mettere da parte A 2 C 2 \u003d 1 unità, dove C 2 € OH.

9. Ripristinare la perpendicolare C 2 B 2 all'asse OX nel punto C 2, dove B 2 è il punto di intersezione della perpendicolare con la retta EB 1.

10. Tracciamo una linea A 2 B 2, la cui equazione è Y \u003d nx-n 2, fino a quando non si interseca con la linea A 1 B 1 nel punto A.

11. Abbassiamo la perpendicolare a OX dal punto A e otteniamo AD uguale a mn, dove D € OX, poiché nei piani delle coordinate degli assi XOY le coordinate del punto A (m + n; mn).

Fig.4

Commento: Lo svantaggio di questo metodo è lo stesso del primo metodo di costruzione, dove la costruzione è possibile solo nella condizione m≠n.

Quarto modo costruire un segmentoANNO DOMINI= mn, dovemen- qualsiasi, maggiore di un singolo segmento.

Taglio singolo.

n n>1 unità, m e n sono qualsiasi.

Costruzione (Fig.5)

Fig.5

1. Tracciamo una linea retta OX.

2. Mettere da parte OE = 1 unità, dove E € OX.

3. Premere EC 1 =m, dove C 1 € OH.

4. Ripristinare la perpendicolare nel punto C 1 all'asse OX.

5. Costruiamo ά=C 1 EV 1 =45º, dove B 1 è il punto di intersezione della perpendicolare C 1 B 1 con il lato ά=45º.

6. Rimandando OA 1 \u003d m, tracciamo una linea retta A 1 B 1, la cui equazione è Y \u003d mx-m 2, A € OH.

7. Mettere da parte A 1 D=n, dove D € OX.

8. Ripristina la perpendicolare nel punto D fino a quando non si interseca nel punto A con la linea A 1 B 1, la cui equazione è Y \u003d mx-m 2.

9. Un segmento della perpendicolare AD = il prodotto dei segmenti me n, cioè AD = mn, poiché A (m + n; mn).

Commento: Questo metodo si confronta favorevolmente con il primo e il terzo metodo, dove m≠n, trattandosi di segmenti qualsiasi m ed n, il segmento unitario può essere minore di uno solo di essi coinvolto all'inizio della costruzione (abbiamo m> 1 unità).

Problema generale II

Usando un compasso e un righello, costruisci un segmento di linea uguale al rapporto tra gli altri due segmenti di linea.

Nota:

il segmento unitario è inferiore al segmento divisore.

Il primo modo per costruire un segmenton= K/ m, dovem>1 unità

Taglio singolo.

Edificio (Fig.6)

2. Sull'UO mettiamo da parte OM = k.

3. Mettere da parte OA 1 su OX = m.

4. Su OH, mettere da parte A 1 C 1 \u003d 1 unità.

5. Costruiamo С 1 В 1 \u003d m, dove С 1 В 1 ┴ ОХ.

6. Disegna una retta A 1 B 1, la cui equazione è y=mx-m 2 negli assi delle coordinate XOU (la scala sugli assi è la stessa, pari a 1 unità).

7. Ripristinare la perpendicolare MA nel punto M all'asse OY, dove A è il punto di intersezione di MA con la retta A 1 B 1 (cioè A € A 1 B 1).

8. Abbassare la perpendicolare dal punto A all'asse OX finché non si interseca con l'asse OX nel punto D. Il segmento AD=OM=k=mn.

9. Segmento A 1 D \u003d n - il segmento desiderato, pari a n \u003d k / m.

R Fig.6

Prova:

1. L'equazione della retta A 1 B 1 è in realtà Y=mx-m 2, a Y=0 abbiamo 0=mx-m 2 => x=m=OA 1, e la pendenza è tg

2. In ∆ADA 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 =>A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k×1unità/m= mn /m=n, cioè E 1 D=n=k/m è il segmento desiderato.

Commento. Infatti, se nel nostro esempio m=3 unità, k=15 unità, allora dovrebbe essere A 1 D=n=k/m=15 unità/3 unità=5 unità. Abbiamo fatto proprio questo.

Secondo modo costruire un segmenton= K/ m, dovem>1 unità

Taglio singolo.

Fig.7

1. Costruiamo gli assi delle coordinate XOU.

2. Sull'UO mettiamo da parte OM = k.

3. Mettere da parte OE \u003d 1 unità, dove E € OX.

4. Mettere da parte EC 1 \u003d m, dove C 1 € OX.

5. Ripristinare la perpendicolare nel punto C 1 all'asse OX.

6. Costruiamo C 1 EB 1 \u003d 45º, dove B 1 è il punto di intersezione della perpendicolare C 1 B 1 con il lato dell'angolo C 1 EB 1 \u003d 45º.

7. Mettere da parte OA 1 su OX = m.

8. Disegna una retta A 1 B 1, la cui equazione è y=mx-m 2 negli assi delle coordinate XOU (la scala sugli assi è la stessa, pari a 1 unità).

9. Ripristinare la perpendicolare MA nel punto M all'asse OY, dove A è il punto di intersezione di MA con la retta A 1 B 1 (cioè A € A 1 B 1).

10. Abbassare la perpendicolare dal punto A all'asse OX finché non si interseca con l'asse OX nel punto D. Il segmento AD=OM=k=mn.

11. Segmento A 1 D=n - il segmento desiderato, pari a n=k/m.

Prova:

1.∆B 1 C 1 E - rettangolare e isoscele, poiché C 1 EB 1 \u003d 45º \u003d\u003e B 1 C 1 \u003d EU 1 \u003d m.

2.A 1 C 1 \u003d OS 1 - OA 1 \u003d (OE + EC1) - OA 1 \u003d 1 unità + m-m \u003d 1 unità.

3. L'equazione della retta A 1 B 1 è in realtà Y=mx-m 2, a Y=0 abbiamo 0=mx-m 2 => x=m=OA 1, e la pendenza è tg

4.V ∆ADA 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 => A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k ×1 unità/m= mn/m=n, es E 1 D=n=k/m è il segmento desiderato.

Conclusione

Nel nostro lavoro, abbiamo trovato e studiato vari metodi per costruire un segmento uguale al prodotto o rapporto di altri due segmenti usando un compasso e un righello, avendo precedentemente dato la nostra definizione di queste operazioni con i segmenti, poiché non siamo riusciti a trovare in nessun letteratura speciale non solo la definizione di moltiplicazione e divisione dei segmenti, ma anche menzione di queste operazioni sui segmenti.

Qui abbiamo utilizzato quasi tutte e quattro le fasi: analisi, costruzione, dimostrazione e ricerca.

In conclusione, vorremmo notare la possibilità di utilizzare i metodi trovati per costruire segmenti in alcune branche della fisica e della matematica.

1. Se estendi le rette y=mx-m 2 e y=nx-n 2 (n>m>0) fino a quando non si intersecano con l'asse OS, puoi ottenere segmenti uguali a m 2, n 2, n 2 - m 2 (Fig.8), dove OK \u003d m 2, OM \u003d n 2, KM \u003d n 2 - m 2.

R
Fig.8

Prova:

Se x=0, allora y=0-m 2 => OK=m 2 .

Allo stesso modo, si dimostra che OM= n 2 =>KM=OM-OK= n 2 - m 2 .

2. Poiché il prodotto di due segmenti è l'area di un rettangolo con i lati uguali a questi segmenti, quindi, avendo trovato un segmento uguale al prodotto degli altri due, rappresentiamo quindi l'area del rettangolo nel forma di un segmento la cui lunghezza è numericamente uguale a quest'area.

3. In meccanica, termodinamica, ci sono grandezze fisiche, ad esempio lavoro (А=FS, A=PV), numericamente uguali alle aree dei rettangoli costruiti nei corrispondenti piani delle coordinate, quindi, in compiti dove, ad esempio, è necessario confrontare il lavoro in base alle aree dei rettangoli, è molto semplice farlo se queste aree sono rappresentate come segmenti numericamente uguali alle aree dei rettangoli. E i segmenti sono facili da confrontare tra loro.

4. Il metodo di costruzione considerato consente di costruire altri segmenti, ad esempio, utilizzando il sistema di equazioni y=mx-m 3 e y=nx-n 3 , puoi costruire segmenti con dati m e n come m 2 +mn +n 2 e mn(m+n), poiché il punto A dell'intersezione delle rette dato da questo sistema di equazioni ha coordinate (m 2 +mn+n 2; mn(m+n), e puoi anche costruire segmenti n 3 , m 3 e la differenza n 3 - m 3 ottenuta sull'OS nella regione negativa a X=0.

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Se è del tutto naturale che, con l'assunzione di una maggiore varietà di strumenti, risulti possibile risolvere un insieme più ampio di problemi costruttivi, allora si potrebbe prevedere che, al contrario, sotto le restrizioni imposte agli strumenti, il la classe dei problemi risolvibili si restringerà. Tanto più notevole è la scoperta fatta dall'italiano Mascheroni (1750-1800):tutte le costruzioni geometriche eseguibili con compasso e riga possono essere eseguite con un solo compasso. Va ovviamente precisato che è effettivamente impossibile tracciare una retta per due punti dati senza un righello, quindi questa costruzione di base non è coperta dalla teoria di Mascheroni. Invece, si deve presumere che una retta sia data se sono dati due dei suoi punti. Ma con l'aiuto del solo compasso è possibile trovare il punto di intersezione di due rette così date, o il punto di intersezione di una retta con un cerchio.

Probabilmente l'esempio più semplice della costruzione di Mascheroni è il raddoppio di un dato segmento AB. La soluzione è già stata data alle pp. 174-175. Inoltre, alle pagine 175-176, abbiamo imparato come dividere a metà questo segmento. Vediamo ora come bisecare l'arco di una circonferenza AB di centro O. Ecco una descrizione di questa costruzione (Fig. 47). Con il raggio AO disegniamo due archi di centri A e B. Dal punto O stendiamo su questi archi due tali archi OP e OQ che OP = OQ = AB. Quindi troviamo il punto di intersezione R dell'arco di centro P e raggio PB e l'arco di centro Q e raggio QA. Infine, prendendo il segmento OR come raggio, descriviamo l'arco con il centro P o Q fino a quando non si interseca con l'arco AB - il punto di intersezione è il punto medio desiderato dell'arco AB. Lasciamo la dimostrazione al lettore come esercizio.

Sarebbe impossibile provare la principale affermazione di Mascheroni mostrando, per ogni costruzione che si può fare con compasso e riga, come si può fare con un solo compasso: in fondo le costruzioni possibili sono infinite. Ma raggiungeremo lo stesso obiettivo se stabiliamo che ciascuna delle seguenti costruzioni di base è fattibile con una singola bussola:

1. Disegna un cerchio se ne sono indicati il ​​centro e il raggio.
2. Trova i punti di intersezione di due cerchi.
3. Trova i punti di intersezione della linea e del cerchio.
4. Trova il punto di intersezione di due rette.

Qualsiasi costruzione geometrica (nel senso comune, con l'assunzione di compasso e righello) è costituita da una sequenza finita di queste costruzioni elementari. Che i primi due siano fattibili con una sola bussola è subito chiaro. Le costruzioni più difficili 3 e 4 vengono eseguite utilizzando le proprietà di inversione discusse nel paragrafo precedente.

Passiamo alla costruzione 3: trova i punti di intersezione di una data circonferenza C con una retta passante per i punti dati A e B. Disegna archi con centri A e B e raggi uguali rispettivamente ad AO e BO, eccetto per il punto O, si intersecano nel punto P. Quindi costruiamo il punto Q, inverso al punto P rispetto al cerchio C (vedi la costruzione descritta a pagina 174). Infine, disegniamo una circonferenza di centro Q e raggio QO (si intersecherà sicuramente con C): i suoi punti di intersezione X e X "per la circonferenza C saranno quelli desiderati. Per dimostrarlo basta stabilire che ciascuno di i punti X e X" è alla stessa distanza da O e P (per quanto riguarda i punti A e B, la loro proprietà analoga segue immediatamente dalla costruzione). Basta infatti richiamare il fatto che il punto reciproco al punto Q è separato dai punti X e X "di una distanza uguale al raggio del cerchio C (vedi p. 173). Vale la pena notare che il la circonferenza passante per i punti X, X" e O, è la retta inversa AB in inversione rispetto alla circonferenza C, poiché questa circonferenza e la retta AB si intersecano con C negli stessi punti. (Quando invertiti, i punti del cerchio di base rimangono fissi.) Questa costruzione è impossibile solo se la linea AB passa per il centro C. Ma allora i punti di intersezione possono essere trovati dalla costruzione descritta a p. 178, come i punti medi di gli archi C, ottenuti tracciando una circonferenza arbitraria di centro B, intersecante con C nei punti B 1 e B 2.

Il metodo per disegnare un cerchio inverso a una retta, "collegando due punti dati, dà immediatamente una costruzione che risolve il problema 4. Lascia che le linee siano date dai punti A, B e A", B "(Fig. 50) Disegniamo un cerchio arbitrario C e usando il metodo sopra costruiamo cerchi inversi alle linee AB e AB "B". Questi cerchi si intersecano nel punto O e in un altro punto Y, il punto X, l'inverso del punto Y, è il punto di intersezione desiderato: come costruirlo è già stato spiegato sopra. Qual è X il punto desiderato, questo è chiaro dal fatto che Y è l'unico punto inverso ad un punto che appartiene contemporaneamente a entrambe le linee AB e A "B", quindi il punto X, l'inverso di Y, deve giacere contemporaneamente su AB e su A "B" .

Queste due costruzioni completano la dimostrazione dell'equivalenza tra le costruzioni di Mascheroni, in cui sono ammessi solo compassi, e le costruzioni geometriche ordinarie con compasso e riga.

Non ci importava dell'eleganza di risolvere i singoli problemi che abbiamo qui considerato, poiché il nostro obiettivo era chiarire il significato interiore delle costruzioni di Mascheroni. Ma a titolo di esempio indicheremo anche la costruzione di un pentagono regolare; più precisamente, stiamo parlando di trovare cinque punti su un cerchio che possono fungere da vertici di un pentagono regolare inscritto.

Sia A un punto arbitrario sul cerchio K. Poiché il lato di un esagono regolare inscritto è uguale al raggio del cerchio, non sarà difficile mettere su K tali punti B, C, D che AB \u003d BC \ u003d CD \u003d 60 ° (Fig. 51). Disegniamo archi di centri A e D con raggio uguale ad AC; si intersechino nel punto X. Quindi, se O è il centro di K, l'arco di centro A e raggio OX intersecherà K nel punto F, che è il punto medio dell'arco BC (vedi p. 178). Quindi, con raggio uguale al raggio K, descriviamo archi di centro F che intersecano K nei punti G e H. Sia Y un punto le cui distanze dai punti G e H sono uguali a OX e che è separato da X dal centro O. In questo caso, il segmento AY come tempi è il lato del pentagono desiderato. La dimostrazione è lasciata al lettore come esercizio. È interessante notare che nella costruzione vengono utilizzati solo tre diversi raggi.

Nel 1928, il matematico danese Hjelmslev trovò una copia di un libro in una libreria di Copenaghen chiamata Euclide danico, pubblicato nel 1672 da autore ignoto G. Altro. Dal frontespizio si potrebbe concludere che questa fosse solo una delle varianti dei "Principi" euclidei, provvista, forse, di un commento di un editore. Ma ad un esame più attento, si è scoperto che conteneva una soluzione completa al problema Mascheroni, trovata molto prima di Mascheroni.

Esercizi. Di seguito viene data una descrizione delle costruzioni di Mohr. Controlla se sono corretti. Perché si può sostenere che stanno risolvendo il problema Mascheroni?

Ispirato dai risultati di Mascheroni, Jacob Steiner (1796-1863) ha fatto un tentativo di studiare le costruzioni che possono essere fatte solo con l'aiuto di un righello. Naturalmente, il righello da solo non porta oltre il campo numerico dato, e quindi non è sufficiente eseguire tutte le costruzioni geometriche nel loro senso classico. Ma tanto più notevoli sono i risultati ottenuti da Steiner con la restrizione da lui introdotta: usare la bussola una sola volta. Dimostrò che tutte le costruzioni sul piano che si possono fare con un compasso e un righello possono essere fatte anche con un solo righello, a condizione che insieme al centro sia dato un unico cerchio fisso. Queste costruzioni implicano l'uso di metodi proiettivi e saranno descritte più avanti (vedi p. 228).

* Senza un cerchio e, inoltre, con un centro, è impossibile da fare. Ad esempio, se viene fornito un cerchio, ma il suo centro non è specificato, è impossibile trovare il centro utilizzando un solo righello. Lo dimostreremo ora, riferendoci però al fatto che sarà stabilito più avanti (vedi p. 252): c'è una tale trasformazione del piano in se stesso che a) la circonferenza data rimane fissa, b) ogni retta la linea passa in una retta, con ) il centro di una circonferenza fissa non rimane fisso, ma si sposta. L'esistenza stessa di una tale trasformazione indica l'impossibilità di costruire il centro di un dato cerchio utilizzando un solo righello. Infatti, qualunque sia la procedura costruttiva, si tratta di una serie di passaggi separati, consistenti nel tracciare linee rette e nel trovarne le intersezioni tra loro o con una determinata circonferenza. Immagina ora che l'intera figura nel suo insieme sia un cerchio e tutte le linee rette tracciate lungo il righello durante la costruzione del centro siano soggette alla trasformazione, la cui esistenza abbiamo qui consentito. Allora è chiaro che la cifra ottenuta dopo la trasformazione soddisferebbe anche tutti i requisiti della costruzione; ma la costruzione indicata da questa figura porterebbe ad un punto diverso dal centro del cerchio dato. Quindi, la costruzione in questione è impossibile.