Κατόπιν αιτήματός σας!
13. Λύστε την εξίσωση 3-4cos 2 x = 0. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών του που ανήκουν στο διάστημα.
Ας χαμηλώσουμε τον βαθμό του συνημιτόνου με τον τύπο: 1 + cos2α = 2cos 2 α. Παίρνουμε μια ισοδύναμη εξίσωση:
3-2 (1 + cos2x) = 0 ⇒ 3-2-2cos2x = 0 ⇒ -2cos2x = -1. Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το (-2) και παίρνουμε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση:
14. Βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο b 5 αν b 4 = 25 και b 6 = 16.
Κάθε μέλος μιας γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών μελών του:
(b n) 2 = b n-1 ∙ b n + 1. Έχουμε (b 5) 2 = b 4 ∙ b 6 ⇒ (b 5) 2 = 25 16 ⇒ b 5 = ± 5 4 ⇒ b 5 = ± 20.
15. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: f (x) = tgx-ctgx.
16. Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές συνάρτησης y (x) = x 2 -12x + 27
στο τμήμα.
Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης y = f (x) στο τμήμα, πρέπει να βρείτε τις τιμές αυτής της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε εκείνα τα κρίσιμα σημεία που ανήκουν σε αυτό το τμήμα και, στη συνέχεια, να επιλέξετε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη από όλες τις λαμβανόμενες τιμές.
Ας βρούμε τις τιμές της συνάρτησης στο x = 3 και στο x = 7, δηλ. στα άκρα του τμήματος.
y (3) = 3 2 -12 ∙ 3 + 27 = 9-36 + 27 = 0;
y (7) = 7 2 -12 ∙ 7 + 27 = 49-84 + 27 = -84 + 76 = -8.
Βρείτε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης: y ‘(x) = (x 2 -12x + 27)’ = 2x-12 = 2 (x-6); το κρίσιμο σημείο x = 6 ανήκει σε αυτό το διάστημα. Βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο x = 6.
y (6) = 6 2 -12 ∙ 6 + 27 = 36-72 + 27 = -72 + 63 = -9. Και τώρα επιλέγουμε από τις τρεις λαμβανόμενες τιμές: 0; -8 και -9 το μεγαλύτερο και το μικρότερο: naib. = 0; στο Naim. = -9.
17. Βρείτε μια γενική άποψη των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση:
Αυτό το κενό είναι το εύρος αυτής της λειτουργίας. Οι απαντήσεις πρέπει να ξεκινούν με F (x), όχι f (x) - ψάχνουμε για ένα αντιπαράγωγο. Εξ ορισμού, η συνάρτηση F (x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f (x) αν ισχύει η ισότητα: F ’(x) = f (x). Έτσι, μπορείτε απλώς να βρείτε παράγωγα των προτεινόμενων απαντήσεων μέχρι να λάβετε τη δεδομένη συνάρτηση. Μια αυστηρή λύση είναι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος μιας δεδομένης συνάρτησης. Εφαρμόζουμε τους τύπους:
19. Να γίνει εξίσωση της ευθείας που περιέχει τη διάμεσο BD του τριγώνου ABC, αν οι κορυφές του είναι A (-6; 2), B (6; 6) C (2; -6).
Για να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, πρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες 2 σημείων αυτής της ευθείας γραμμής, και γνωρίζουμε μόνο τις συντεταγμένες του σημείου Β. Εφόσον η διάμεσος BD διαιρεί την απέναντι πλευρά στο μισό, το σημείο D είναι το μέσο του το τμήμα AC. Οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος είναι το μισό άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων των άκρων του τμήματος. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ.
20. Υπολογίζω:
24. Το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου που βρίσκεται στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι
Αυτό το πρόβλημα είναι το αντίστροφο του προβλήματος αρ. 24 από την επιλογή 0021.
25. Βρείτε το μοτίβο και εισάγετε τον αριθμό που λείπει: 1; 4; 9; δεκαέξι; ...
Προφανώς αυτός ο αριθμός 25 , αφού μας δίνεται μια ακολουθία τετραγώνων φυσικών αριθμών:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Καλή τύχη και επιτυχία σε όλους!
Για να λυθεί με επιτυχία τριγωνομετρικές εξισώσειςβολικό στη χρήση μέθοδος σύγκλισηςσε προβλήματα που είχαν λυθεί προηγουμένως. Ας δούμε ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου;
Σε οποιοδήποτε προτεινόμενο πρόβλημα, πρέπει να δείτε το πρόβλημα που λύθηκε προηγουμένως και, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας διαδοχικούς ισοδύναμους μετασχηματισμούς, προσπαθήστε να μειώσετε το δεδομένο πρόβλημα σε απλούστερο.
Έτσι, όταν λύνουν τριγωνομετρικές εξισώσεις, συνήθως συνθέτουν κάποια πεπερασμένη ακολουθία ισοδύναμων εξισώσεων, ο τελευταίος σύνδεσμος των οποίων είναι μια εξίσωση με προφανή λύση. Είναι σημαντικό μόνο να θυμάστε ότι εάν δεν διαμορφωθούν οι δεξιότητες για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, τότε η λύση πιο σύνθετων εξισώσεων θα είναι δύσκολη και αναποτελεσματική.
Επιπλέον, όταν λύνετε τριγωνομετρικές εξισώσεις, δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάτε την πιθανότητα ύπαρξης πολλών λύσεων.
Παράδειγμα 1. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης cos x = -1/2 στο διάστημα.
Λύση:
Μέθοδος Ι.Ας σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = cos x και y = -1/2 και ας βρούμε τον αριθμό των κοινών σημείων τους στο διάστημα (Εικ. 1).
Εφόσον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία στο διάστημα, η εξίσωση περιέχει δύο ρίζες σε αυτό το διάστημα.
Μέθοδος II.Χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο (Εικ. 2), βρίσκουμε τον αριθμό των σημείων που ανήκουν στο διάστημα, στο οποίο cos x = -1/2. Το σχήμα δείχνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. 
Μέθοδος III.Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες της τριγωνομετρικής εξίσωσης, λύνουμε την εξίσωση cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = ± (π - π / 3) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = ± 2π / 3 + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα περιέχει τις ρίζες 2π / 3 και -2π / 3 + 2π, το k είναι ακέραιος αριθμός. Έτσι, η εξίσωση έχει δύο ρίζες σε ένα δεδομένο διάστημα.
Απάντηση: 2.
Στο μέλλον, οι τριγωνομετρικές εξισώσεις θα επιλύονται με μία από τις προτεινόμενες μεθόδους, η οποία σε πολλές περιπτώσεις δεν αποκλείει τη χρήση άλλων μεθόδων.
Παράδειγμα 2. Βρείτε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης tg (x + π / 4) = 1 στο διάστημα [-2π; 2π].
Λύση:
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες της τριγωνομετρικής εξίσωσης, παίρνουμε:
x + π / 4 = arctan 1 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x + π / 4 = π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
Το διάστημα [-2π; 2π] αριθμοί -2π ανήκουν; -π; 0; π; 2π. Άρα, η εξίσωση έχει πέντε ρίζες σε ένα δεδομένο διάστημα.
Απάντηση: 5.
Παράδειγμα 3. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης cos 2 x + sin x · cos x = 1 στο διάστημα [-π; π].
Λύση:
Εφόσον 1 = sin 2 x + cos 2 x (βασική τριγωνομετρική ταυτότητα), η αρχική εξίσωση παίρνει τη μορφή:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x = 0;
sin x (sin x - cos x) = 0. Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, επομένως:
sin x = 0 ή sin x - cos x = 0.
Εφόσον η τιμή της μεταβλητής στην οποία cos x = 0 δεν είναι οι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης (το ημίτονο και το συνημίτονο του ίδιου αριθμού δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα), διαιρούμε και τις δύο πλευρές της δεύτερης εξίσωσης με το συν Χ:
sin x = 0 ή sin x / cos x - 1 = 0.
Στη δεύτερη εξίσωση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι tg x = sin x / cos x, τότε:
sin x = 0 ή tg x = 1. Χρησιμοποιώντας τους τύπους, έχουμε:
x = πk ή x = π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Από την πρώτη σειρά ριζών, το διάστημα [-π; Το π] ανήκει στους αριθμούς -π. 0; π. Από τη δεύτερη σειρά: (π / 4 - π) και π / 4.
Έτσι, πέντε ρίζες της αρχικής εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα [-π; π].
Απάντηση: 5.
Παράδειγμα 4. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 στο διάστημα [-π; 1,1π].
Λύση:
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως εξής:
tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0 και κάντε αντικατάσταση.
Έστω tg x + ctgx = a. Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας:
(tg x + ctg x) 2 = a 2. Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.
Αφού tg x ctgx = 1, τότε tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, που σημαίνει
tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.
Η αρχική εξίσωση μοιάζει τώρα ως εξής:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, προκύπτει ότι a = -1 ή a = -2.
Ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση, έχουμε:
tg x + ctgx = -1 ή tg x + ctgx = -2. Ας λύσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν.
tg x + 1 / tgx = -1 ή tg x + 1 / tgx = -2.
Με την ιδιότητα δύο αμοιβαία αντίστροφων αριθμών, προσδιορίζουμε ότι η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες και από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε:
tg x = -1, δηλ. x = -π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα [-π; 1,1π] οι ρίζες ανήκουν: -π / 4; -π / 4 + π. Το άθροισμά τους:
-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.
Απάντηση: π / 2.
Παράδειγμα 5. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των ριζών της εξίσωσης sin 3x + sin x = sin 2x στο διάστημα [-π; 0,5π].
Λύση:
Χρησιμοποιούμε τον τύπο sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2), τότε
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x και η εξίσωση γίνεται
2sin 2x cos x = αμαρτία 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Τραβήξτε έξω τον κοινό παράγοντα της αμαρτίας 2x έξω από την παρένθεση
sin 2x (2cos x - 1) = 0. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει:
sin 2x = 0 ή 2cos x - 1 = 0; 
sin 2x = 0 ή cos x = 1/2;
2x = πk ή x = ± π / 3 + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Έτσι, έχουμε τις ρίζες
x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα [-π; 0,5π] οι ρίζες ανήκουν στο -π; -π / 2; 0; π / 2 (από την πρώτη σειρά ριζών). π / 3 (από τη δεύτερη σειρά). -π / 3 (από την τρίτη σειρά). Ο αριθμητικός τους μέσος όρος είναι:
(-π - π / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - π / 3) / 6 = -π / 6.
Απάντηση: -π / 6.
Παράδειγμα 6. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης sin x + cos x = 0 στο διάστημα [-1,25π; 2π].
Λύση:
Αυτή η εξίσωση είναι μια ομοιογενής εξίσωση πρώτου βαθμού. Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέρη του με το cosx (η τιμή της μεταβλητής στην οποία cos x = 0 δεν είναι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, αφού το ημίτονο και το συνημίτονο του ίδιου αριθμού δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα). Η αρχική εξίσωση είναι:
x = -π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα [-1,25π; 2π] ανήκει στις ρίζες -π / 4; (-π / 4 + π); και (-π / 4 + 2π).
Έτσι, το δεδομένο διάστημα περιέχει τρεις ρίζες της εξίσωσης.
Απάντηση: 3.
Μάθετε να κάνετε το πιο σημαντικό πράγμα - να κατανοείτε ξεκάθαρα το σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος και, στη συνέχεια, οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση θα εξαρτάται από εσάς.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από καθηγητή - εγγραφείτε.
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.
Για να λυθεί με επιτυχία τριγωνομετρικές εξισώσειςβολικό στη χρήση μέθοδος σύγκλισηςσε προβλήματα που είχαν λυθεί προηγουμένως. Ας δούμε ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου;
Σε οποιοδήποτε προτεινόμενο πρόβλημα, πρέπει να δείτε το πρόβλημα που λύθηκε προηγουμένως και, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας διαδοχικούς ισοδύναμους μετασχηματισμούς, προσπαθήστε να μειώσετε το δεδομένο πρόβλημα σε απλούστερο.
Έτσι, όταν λύνουν τριγωνομετρικές εξισώσεις, συνήθως συνθέτουν κάποια πεπερασμένη ακολουθία ισοδύναμων εξισώσεων, ο τελευταίος σύνδεσμος των οποίων είναι μια εξίσωση με προφανή λύση. Είναι σημαντικό μόνο να θυμάστε ότι εάν δεν διαμορφωθούν οι δεξιότητες για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, τότε η λύση πιο σύνθετων εξισώσεων θα είναι δύσκολη και αναποτελεσματική.
Επιπλέον, όταν λύνετε τριγωνομετρικές εξισώσεις, δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάτε την πιθανότητα ύπαρξης πολλών λύσεων.
Παράδειγμα 1. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης cos x = -1/2 στο διάστημα.
Λύση:
Μέθοδος Ι.Ας σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = cos x και y = -1/2 και ας βρούμε τον αριθμό των κοινών σημείων τους στο διάστημα (Εικ. 1).
Εφόσον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία στο διάστημα, η εξίσωση περιέχει δύο ρίζες σε αυτό το διάστημα.
Μέθοδος II.Χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο (Εικ. 2), βρίσκουμε τον αριθμό των σημείων που ανήκουν στο διάστημα, στο οποίο cos x = -1/2. Το σχήμα δείχνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Μέθοδος III.Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες της τριγωνομετρικής εξίσωσης, λύνουμε την εξίσωση cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = ± (π - π / 3) + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = ± 2π / 3 + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα περιέχει τις ρίζες 2π / 3 και -2π / 3 + 2π, το k είναι ακέραιος αριθμός. Έτσι, η εξίσωση έχει δύο ρίζες σε ένα δεδομένο διάστημα.
Απάντηση: 2.
Στο μέλλον, οι τριγωνομετρικές εξισώσεις θα επιλύονται με μία από τις προτεινόμενες μεθόδους, η οποία σε πολλές περιπτώσεις δεν αποκλείει τη χρήση άλλων μεθόδων.
Παράδειγμα 2. Βρείτε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης tg (x + π / 4) = 1 στο διάστημα [-2π; 2π].
Λύση:
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες της τριγωνομετρικής εξίσωσης, παίρνουμε:
x + π / 4 = arctan 1 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x + π / 4 = π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
x = πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z);
Το διάστημα [-2π; 2π] αριθμοί -2π ανήκουν; -π; 0; π; 2π. Άρα, η εξίσωση έχει πέντε ρίζες σε ένα δεδομένο διάστημα.
Απάντηση: 5.
Παράδειγμα 3. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης cos 2 x + sin x · cos x = 1 στο διάστημα [-π; π].
Λύση:
Εφόσον 1 = sin 2 x + cos 2 x (βασική τριγωνομετρική ταυτότητα), η αρχική εξίσωση παίρνει τη μορφή:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x = 0;
sin x (sin x - cos x) = 0. Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, επομένως:
sin x = 0 ή sin x - cos x = 0.
Εφόσον η τιμή της μεταβλητής στην οποία cos x = 0 δεν είναι οι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης (το ημίτονο και το συνημίτονο του ίδιου αριθμού δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα), διαιρούμε και τις δύο πλευρές της δεύτερης εξίσωσης με το συν Χ:
sin x = 0 ή sin x / cos x - 1 = 0.
Στη δεύτερη εξίσωση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι tg x = sin x / cos x, τότε:
sin x = 0 ή tg x = 1. Χρησιμοποιώντας τους τύπους, έχουμε:
x = πk ή x = π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Από την πρώτη σειρά ριζών, το διάστημα [-π; Το π] ανήκει στους αριθμούς -π. 0; π. Από τη δεύτερη σειρά: (π / 4 - π) και π / 4.
Έτσι, πέντε ρίζες της αρχικής εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα [-π; π].
Απάντηση: 5.
Παράδειγμα 4. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 στο διάστημα [-π; 1,1π].
Λύση:
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως εξής:
tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0 και κάντε αντικατάσταση.
Έστω tg x + ctgx = a. Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας:
(tg x + ctg x) 2 = a 2. Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.
Αφού tg x ctgx = 1, τότε tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, που σημαίνει
tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.
Η αρχική εξίσωση μοιάζει τώρα ως εξής:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, προκύπτει ότι a = -1 ή a = -2.
Ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση, έχουμε:
tg x + ctgx = -1 ή tg x + ctgx = -2. Ας λύσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν.
tg x + 1 / tgx = -1 ή tg x + 1 / tgx = -2.
Με την ιδιότητα δύο αμοιβαία αντίστροφων αριθμών, προσδιορίζουμε ότι η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες και από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε:
tg x = -1, δηλ. x = -π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα [-π; 1,1π] οι ρίζες ανήκουν: -π / 4; -π / 4 + π. Το άθροισμά τους:
-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.
Απάντηση: π / 2.
Παράδειγμα 5. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των ριζών της εξίσωσης sin 3x + sin x = sin 2x στο διάστημα [-π; 0,5π].
Λύση:
Χρησιμοποιούμε τον τύπο sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2), τότε
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x και η εξίσωση γίνεται
2sin 2x cos x = αμαρτία 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Τραβήξτε έξω τον κοινό παράγοντα της αμαρτίας 2x έξω από την παρένθεση
sin 2x (2cos x - 1) = 0. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει:
sin 2x = 0 ή 2cos x - 1 = 0;
sin 2x = 0 ή cos x = 1/2;
2x = πk ή x = ± π / 3 + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Έτσι, έχουμε τις ρίζες
x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα [-π; 0,5π] οι ρίζες ανήκουν στο -π; -π / 2; 0; π / 2 (από την πρώτη σειρά ριζών). π / 3 (από τη δεύτερη σειρά). -π / 3 (από την τρίτη σειρά). Ο αριθμητικός τους μέσος όρος είναι:
(-π - π / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - π / 3) / 6 = -π / 6.
Απάντηση: -π / 6.
Παράδειγμα 6. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης sin x + cos x = 0 στο διάστημα [-1,25π; 2π].
Λύση:
Αυτή η εξίσωση είναι μια ομοιογενής εξίσωση πρώτου βαθμού. Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέρη του με το cosx (η τιμή της μεταβλητής στην οποία cos x = 0 δεν είναι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, αφού το ημίτονο και το συνημίτονο του ίδιου αριθμού δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα). Η αρχική εξίσωση είναι:
x = -π / 4 + πk, το k είναι ακέραιος αριθμός (k € Z).
Το διάστημα [-1,25π; 2π] ανήκει στις ρίζες -π / 4; (-π / 4 + π); και (-π / 4 + 2π).
Έτσι, το δεδομένο διάστημα περιέχει τρεις ρίζες της εξίσωσης.
Απάντηση: 3.
Μάθετε να κάνετε το πιο σημαντικό πράγμα - να κατανοείτε ξεκάθαρα το σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος και, στη συνέχεια, οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση θα εξαρτάται από εσάς.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
blog. site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.
