A tua richiesta!

13. Risolvi l'equazione 3-4cos 2 x = 0. Trova la somma delle sue radici appartenenti all'intervallo.

Abbassiamo il grado del coseno con la formula: 1 + cos2α = 2cos 2 α. Otteniamo un'equazione equivalente:

3-2 (1 + cos2x) = 0 ⇒ 3-2-2cos2x = 0 ⇒ -2cos2x = -1. Dividiamo entrambi i lati dell'uguaglianza per (-2) e otteniamo l'equazione trigonometrica più semplice:

14. Trova b 5 progressione geometrica se b 4 = 25 e b 6 = 16.

Ogni membro di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri vicini:

(b n) 2 = b n-1 ∙ b n + 1. Abbiamo (b 5) 2 = b 4 ∙ b 6 ⇒ (b 5) 2 = 25 16 ⇒ b 5 = ± 5 4 ⇒ b 5 = ± 20.

15. Trova la derivata della funzione: f (x) = tgx-ctgx.

16. Trova i valori della funzione più grande e più piccolo y (x) = x 2 -12x + 27

sul segmento.

Per trovare i valori più grande e più piccolo di una funzione y = f (x) sul segmento, è necessario trovare i valori di questa funzione alle estremità del segmento e in quei punti critici che appartengono a questo segmento, quindi selezionare il più grande e il più piccolo tra tutti i valori ottenuti.

Troviamo i valori della funzione in x = 3 e in x = 7, ad es. alle estremità del segmento.

y (3) = 3 2 -12 ∙ 3 ​​+ 27 = 9-36 + 27 = 0;

y (7) = 7 2 -12 ∙ 7 + 27 = 49-84 + 27 = -84 + 76 = -8.

Trova la derivata di questa funzione: y '(x) = (x 2 -12x + 27)' = 2x-12 = 2 (x-6); il punto critico x = 6 appartiene a questo intervallo. Trova il valore della funzione in x = 6.

y (6) = 6 2 -12 ∙ 6 + 27 = 36-72 + 27 = -72 + 63 = -9. Ed ora scegliamo tra i tre valori ottenuti: 0; -8 e -9 il più grande e il più piccolo: naib. = 0; a naim. = -9.

17. Trova una vista generale delle derivate per la funzione:

Questa lacuna è l'ambito di questa funzione. Le risposte dovrebbero iniziare con F (x), non f (x) - stiamo cercando un'antiderivata. Per definizione, la funzione F (x) è una primitiva della funzione f (x) se vale l'uguaglianza: F '(x) = f (x). Quindi puoi semplicemente trovare i derivati ​​​​delle risposte suggerite fino a quando non ottieni la funzione data. Una soluzione rigorosa è il calcolo dell'integrale di una data funzione. Applichiamo le formule:

19. Crea un'equazione della retta contenente la mediana BD del triangolo ABC, se i suoi vertici sono A (-6; 2), B (6; 6) C (2; -6).

Per comporre l'equazione di una retta, è necessario conoscere le coordinate di 2 punti di questa retta, e noi conosciamo solo le coordinate del punto B. Poiché la mediana BD divide a metà il lato opposto, il punto D è il punto medio di il segmento AC. Le coordinate del punto medio del segmento sono la semisomma delle coordinate corrispondenti delle estremità del segmento. Trova le coordinate del punto D.

20. Calcolare:

24. L'area di un triangolo regolare che giace alla base di un prisma dritto è

Questo problema è l'inverso del problema n° 24 dell'opzione 0021.

25. Trova lo schema e inserisci il numero mancante: 1; 4; 9; sedici; ...

Ovviamente questo numero 25 , poiché ci viene data una sequenza di quadrati di numeri naturali:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Buona fortuna e successo a tutti!

Per risolvere con successo equazioni trigonometriche comodo da usare metodo di convergenza a problemi precedentemente risolti. Vediamo qual è l'essenza di questo metodo?

In ogni problema proposto, è necessario vedere il problema precedentemente risolto e quindi, utilizzando successive trasformazioni equivalenti, provare a ridurre il problema dato a uno più semplice.

Quindi, quando si risolvono equazioni trigonometriche, di solito costituiscono una sequenza finita di equazioni equivalenti, il cui ultimo collegamento è un'equazione con una soluzione ovvia. È solo importante ricordare che se non si formano le abilità per risolvere le equazioni trigonometriche più semplici, la soluzione di equazioni più complesse sarà difficile e inefficace.

Inoltre, quando si risolvono equazioni trigonometriche, non bisogna mai dimenticare la possibilità dell'esistenza di più soluzioni.

Esempio 1. Trova il numero di radici dell'equazione cos x = -1/2 nell'intervallo.

Soluzione:

Metodo I. Tracciamo i grafici delle funzioni y = cos xey = -1/2 e troviamo il numero dei loro punti comuni sull'intervallo (Fig. 1).

Poiché i grafici delle funzioni hanno due punti comuni sull'intervallo, l'equazione contiene due radici su questo intervallo.

Metodo II. Utilizzando il cerchio trigonometrico (Fig. 2), troviamo il numero di punti appartenenti all'intervallo, in cui cos x = -1/2. La figura mostra che l'equazione ha due radici.

Metodo III. Usando la formula per le radici dell'equazione trigonometrica, risolviamo l'equazione cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k è un intero (k € Z);

x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, k è un numero intero (k € Z);

x = ± (π - π / 3) + 2πk, k è un numero intero (k € Z);

x = ± 2π / 3 + 2πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo contiene le radici 2π / 3 e -2π / 3 + 2π, k è un numero intero. Quindi, l'equazione ha due radici in un dato intervallo.

Risposta: 2.

In futuro, le equazioni trigonometriche saranno risolte con uno dei metodi proposti, che in molti casi non esclude l'uso di altri metodi.

Esempio 2. Trova il numero di soluzioni dell'equazione tg (x + π / 4) = 1 sull'intervallo [-2π; 2π].

Soluzione:

Usando la formula per le radici dell'equazione trigonometrica, otteniamo:

x + π / 4 = arctan 1 + πk, k è un intero (k € Z);

x + π / 4 = π / 4 + πk, k è un intero (k € Z);

x = πk, k è un numero intero (k € Z);

L'intervallo [-2π; 2π] appartengono i numeri -2π; -π; 0; ; 2π. Quindi, l'equazione ha cinque radici in un dato intervallo.

Risposta: 5.

Esempio 3. Trovare il numero di radici dell'equazione cos 2 x + sin x · cos x = 1 sull'intervallo [-π; ].

Soluzione:

Poiché 1 = sin 2 x + cos 2 x (identità trigonometrica di base), l'equazione originale assume la forma:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x = 0;

sin x (sin x - cos x) = 0. Il prodotto è uguale a zero, il che significa che almeno uno dei fattori deve essere uguale a zero, quindi:

sin x = 0 o sin x - cos x = 0.

Poiché il valore della variabile in cui cos x = 0 non sono le radici della seconda equazione (seno e coseno dello stesso numero non possono essere uguali a zero contemporaneamente), dividiamo entrambi i lati della seconda equazione per cos X:

sin x = 0 o sin x / cos x - 1 = 0.

Nella seconda equazione, usiamo il fatto che tg x = sin x / cos x, quindi:

sin x = 0 o tg x = 1.Utilizzando le formule, abbiamo:

x = πk oppure x = π / 4 + πk, k è un numero intero (k € Z).

Dalla prima serie di radici, l'intervallo [-π; π] appartiene ai numeri -π; 0; . Della seconda serie: (π / 4 - π) e π / 4.

Quindi, cinque radici dell'equazione originale appartengono all'intervallo [-π; ].

Risposta: 5.

Esempio 4. Trova la somma delle radici dell'equazione tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sull'intervallo [-π; 1,1π].

Soluzione:

Riscriviamo l'equazione come segue:

tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0 e fai una sostituzione.

Sia tg x + ctgx = a. Eseguiamo il quadrato di entrambi i lati dell'uguaglianza:

(tg x + ctg x) 2 = a 2. Espandiamo le parentesi:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

Poiché tg x ctgx = 1, allora tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, che significa

tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.

L'equazione originale ora assomiglia a questa:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Usando il teorema di Vieta, otteniamo che a = -1 o a = -2.

Facciamo la sostituzione inversa, abbiamo:

tg x + ctgx = -1 o tg x + ctgx = -2. Risolviamo le equazioni risultanti.

tg x + 1 / tgx = -1 o tg x + 1 / tgx = -2.

Per la proprietà di due numeri mutuamente inversi, determiniamo che la prima equazione non ha radici e dalla seconda equazione abbiamo:

tg x = -1, cioè x = -π / 4 + πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo [-π; 1,1π] le radici appartengono: -π / 4; -π / 4 + . La loro somma:

-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.

Risposta: / 2.

Esempio 5. Trovare la media aritmetica delle radici dell'equazione sin 3x + sin x = sin 2x sull'intervallo [-π; 0,5π].

Soluzione:

Usiamo la formula sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2), quindi

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x e l'equazione diventa

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Estrarre il fattore comune di sin 2x fuori dalle parentesi

sin 2x (2cos x - 1) = 0. Risolvi l'equazione risultante:

sin 2x = 0 o 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk oppure x = ± π / 3 + 2πk, k è un numero intero (k € Z).

Quindi, abbiamo le radici

x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo [-π; 0.5π] le radici appartengono a -π; -π / 2; 0; π / 2 (dalla prima serie di radici); π / 3 (dalla seconda serie); -π / 3 (dalla terza serie). La loro media aritmetica è:

(-π - / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - / 3) / 6 = -π / 6.

Risposta: -π / 6.

Esempio 6. Trova il numero di radici dell'equazione sin x + cos x = 0 sull'intervallo [-1,25π; 2π].

Soluzione:

Questa equazione è un'equazione omogenea di primo grado. Dividi entrambe le sue parti per cosx (il valore della variabile in cui cos x = 0 non sono le radici di questa equazione, poiché seno e coseno dello stesso numero non possono essere uguali a zero contemporaneamente). L'equazione originale è:

x = -π / 4 + πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo [-1,25π; 2π] appartiene alle radici -π / 4; (-π / 4 + ); e (-π / 4 + 2π).

Pertanto, l'intervallo dato contiene tre radici dell'equazione.

Risposta: 3.

Impara a fare la cosa più importante: comprendere chiaramente il piano per risolvere il problema, quindi qualsiasi equazione trigonometrica dipenderà da te.

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Per risolvere con successo equazioni trigonometriche comodo da usare metodo di convergenza a problemi precedentemente risolti. Vediamo qual è l'essenza di questo metodo?

In ogni problema proposto, è necessario vedere il problema precedentemente risolto e quindi, utilizzando successive trasformazioni equivalenti, provare a ridurre il problema dato a uno più semplice.

Quindi, quando si risolvono equazioni trigonometriche, di solito costituiscono una sequenza finita di equazioni equivalenti, il cui ultimo collegamento è un'equazione con una soluzione ovvia. È solo importante ricordare che se non si formano le abilità per risolvere le equazioni trigonometriche più semplici, la soluzione di equazioni più complesse sarà difficile e inefficace.

Inoltre, quando si risolvono equazioni trigonometriche, non bisogna mai dimenticare la possibilità dell'esistenza di più soluzioni.

Esempio 1. Trova il numero di radici dell'equazione cos x = -1/2 nell'intervallo.

Soluzione:

Metodo I. Tracciamo i grafici delle funzioni y = cos xey = -1/2 e troviamo il numero dei loro punti comuni sull'intervallo (Fig. 1).

Poiché i grafici delle funzioni hanno due punti comuni sull'intervallo, l'equazione contiene due radici su questo intervallo.

Metodo II. Utilizzando il cerchio trigonometrico (Fig. 2), troviamo il numero di punti appartenenti all'intervallo, in cui cos x = -1/2. La figura mostra che l'equazione ha due radici.

Metodo III. Usando la formula per le radici dell'equazione trigonometrica, risolviamo l'equazione cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k è un intero (k € Z);

x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, k è un numero intero (k € Z);

x = ± (π - π / 3) + 2πk, k è un numero intero (k € Z);

x = ± 2π / 3 + 2πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo contiene le radici 2π / 3 e -2π / 3 + 2π, k è un numero intero. Quindi, l'equazione ha due radici in un dato intervallo.

Risposta: 2.

In futuro, le equazioni trigonometriche saranno risolte con uno dei metodi proposti, che in molti casi non esclude l'uso di altri metodi.

Esempio 2. Trova il numero di soluzioni dell'equazione tg (x + π / 4) = 1 sull'intervallo [-2π; 2π].

Soluzione:

Usando la formula per le radici dell'equazione trigonometrica, otteniamo:

x + π / 4 = arctan 1 + πk, k è un intero (k € Z);

x + π / 4 = π / 4 + πk, k è un intero (k € Z);

x = πk, k è un numero intero (k € Z);

L'intervallo [-2π; 2π] appartengono i numeri -2π; -π; 0; ; 2π. Quindi, l'equazione ha cinque radici in un dato intervallo.

Risposta: 5.

Esempio 3. Trovare il numero di radici dell'equazione cos 2 x + sin x · cos x = 1 sull'intervallo [-π; ].

Soluzione:

Poiché 1 = sin 2 x + cos 2 x (identità trigonometrica di base), l'equazione originale assume la forma:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x = 0;

sin x (sin x - cos x) = 0. Il prodotto è uguale a zero, il che significa che almeno uno dei fattori deve essere uguale a zero, quindi:

sin x = 0 o sin x - cos x = 0.

Poiché il valore della variabile in cui cos x = 0 non sono le radici della seconda equazione (seno e coseno dello stesso numero non possono essere uguali a zero contemporaneamente), dividiamo entrambi i lati della seconda equazione per cos X:

sin x = 0 o sin x / cos x - 1 = 0.

Nella seconda equazione, usiamo il fatto che tg x = sin x / cos x, quindi:

sin x = 0 o tg x = 1.Utilizzando le formule, abbiamo:

x = πk oppure x = π / 4 + πk, k è un numero intero (k € Z).

Dalla prima serie di radici, l'intervallo [-π; π] appartiene ai numeri -π; 0; . Della seconda serie: (π / 4 - π) e π / 4.

Quindi, cinque radici dell'equazione originale appartengono all'intervallo [-π; ].

Risposta: 5.

Esempio 4. Trova la somma delle radici dell'equazione tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sull'intervallo [-π; 1,1π].

Soluzione:

Riscriviamo l'equazione come segue:

tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0 e fai una sostituzione.

Sia tg x + ctgx = a. Eseguiamo il quadrato di entrambi i lati dell'uguaglianza:

(tg x + ctg x) 2 = a 2. Espandiamo le parentesi:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

Poiché tg x ctgx = 1, allora tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, che significa

tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.

L'equazione originale ora assomiglia a questa:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Usando il teorema di Vieta, otteniamo che a = -1 o a = -2.

Facciamo la sostituzione inversa, abbiamo:

tg x + ctgx = -1 o tg x + ctgx = -2. Risolviamo le equazioni risultanti.

tg x + 1 / tgx = -1 o tg x + 1 / tgx = -2.

Per la proprietà di due numeri mutuamente inversi, determiniamo che la prima equazione non ha radici e dalla seconda equazione abbiamo:

tg x = -1, cioè x = -π / 4 + πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo [-π; 1,1π] le radici appartengono: -π / 4; -π / 4 + . La loro somma:

-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.

Risposta: / 2.

Esempio 5. Trovare la media aritmetica delle radici dell'equazione sin 3x + sin x = sin 2x sull'intervallo [-π; 0,5π].

Soluzione:

Usiamo la formula sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2), quindi

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x e l'equazione diventa

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Estrarre il fattore comune di sin 2x fuori dalle parentesi

sin 2x (2cos x - 1) = 0. Risolvi l'equazione risultante:

sin 2x = 0 o 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk oppure x = ± π / 3 + 2πk, k è un numero intero (k € Z).

Quindi, abbiamo le radici

x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo [-π; 0.5π] le radici appartengono a -π; -π / 2; 0; π / 2 (dalla prima serie di radici); π / 3 (dalla seconda serie); -π / 3 (dalla terza serie). La loro media aritmetica è:

(-π - / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - / 3) / 6 = -π / 6.

Risposta: -π / 6.

Esempio 6. Trova il numero di radici dell'equazione sin x + cos x = 0 sull'intervallo [-1,25π; 2π].

Soluzione:

Questa equazione è un'equazione omogenea di primo grado. Dividi entrambe le sue parti per cosx (il valore della variabile in cui cos x = 0 non sono le radici di questa equazione, poiché seno e coseno dello stesso numero non possono essere uguali a zero contemporaneamente). L'equazione originale è:

x = -π / 4 + πk, k è un numero intero (k € Z).

L'intervallo [-1,25π; 2π] appartiene alle radici -π / 4; (-π / 4 + ); e (-π / 4 + 2π).

Pertanto, l'intervallo dato contiene tre radici dell'equazione.

Risposta: 3.

Impara a fare la cosa più importante: comprendere chiaramente il piano per risolvere il problema, quindi qualsiasi equazione trigonometrica dipenderà da te.

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