A B9 feladat egy függvény vagy derivált grafikonját adja meg, amelyből meg kell határoznia a következő mennyiségek egyikét:

1. A derivált értéke egy bizonyos pontban x 0,
2. Maximális vagy minimum pontok (extrém pontok),
3. Növekvő és csökkenő függvények intervallumai (monotonitás intervallumai).

A feladatban bemutatott függvények és deriváltak mindig folytonosak, ami jelentősen megkönnyíti a megoldást. Annak ellenére, hogy a feladat a matematikai elemzés részéhez tartozik, a leggyengébb tanulók is meg tudják csinálni, hiszen nincs mély elméleti tudás itt nem kötelező.

A derivált, a szélsőpontok és a monotonitási intervallumok értékének meghatározásához egyszerű és univerzális algoritmusok állnak rendelkezésre – mindegyiket az alábbiakban tárgyaljuk.

Olvassa el figyelmesen a B9 feladat feltételeit, hogy elkerülje a hülye hibákat: néha elég hosszadalmas szövegekkel találkozik, de fontos feltételek, amelyek befolyásolják a döntés menetét, kevés van.

A derivált érték kiszámítása. Kétpontos módszer

Ha a feladatnak egy f(x) függvény gráfját adjuk meg, amely egy x 0 pontban érinti ezt a gráfot, és ebben a pontban meg kell találni a derivált értékét, akkor a következő algoritmust alkalmazzuk:

1. Keress két „megfelelő” pontot az érintőgráfon: ezek koordinátáinak egész számoknak kell lenniük. Jelöljük ezeket az A (x 1 ; y 1) és B (x 2 ; y 2) pontokat. Írja le helyesen a koordinátákat - ez a megoldás kulcspontja, és minden itt elkövetett hiba helytelen válaszhoz vezet.
2. A koordináták ismeretében könnyen kiszámítható a Δx = x 2 − x 1 argumentum és a Δy = y 2 − y 1 függvény növekménye.
3. Végül megtaláljuk a D = Δy/Δx derivált értékét. Más szóval, el kell osztani a függvény növekményét az argumentum növekményével - és ez lesz a válasz.

Még egyszer jegyezzük meg: az A és B pontot pontosan az érintőn kell keresni, nem pedig az f(x) függvény grafikonján, ahogy ez gyakran megesik. Az érintővonalnak szükségszerűen legalább két ilyen pontot kell tartalmaznia - különben a feladat nem lesz megfelelően összeállítva.

Tekintsük az A (-3; 2) és B (-1; 6) pontokat, és keressük meg a növekményt:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Határozzuk meg a derivált értékét: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Feladat. Az ábrán az y = f(x) függvény grafikonja és egy érintője látható az x 0 abszcissza pontban. Határozzuk meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x 0 pontban.

Tekintsük az A (0; 3) és B (3; 0) pontot, keresse meg a lépésközöket:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Most megtaláljuk a derivált értékét: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Feladat. Az ábrán az y = f(x) függvény grafikonja és egy érintője látható az x 0 abszcissza pontban. Határozzuk meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x 0 pontban.

Tekintsük az A (0; 2) és B (5; 2) pontokat, és keressük meg a növekményt:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Marad a derivált értékének meghatározása: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Az utolsó példából megfogalmazhatunk egy szabályt: ha az érintő párhuzamos az OX tengellyel, akkor a függvény deriváltja az érintőpontban nulla. Ebben az esetben nem is kell semmit számolnia - csak nézze meg a grafikont.

A maximális és minimális pontok kiszámítása

Néha egy függvény grafikonja helyett a B9 feladat a derivált grafikonját adja meg, és megköveteli a függvény maximum- vagy minimumpontjának megtalálását. Ebben a helyzetben a kétpontos módszer haszontalan, de van egy másik, még egyszerűbb algoritmus. Először is határozzuk meg a terminológiát:

1. Az x 0 pontot az f(x) függvény maximális pontjának nevezzük, ha ennek a pontnak valamelyik szomszédságában teljesül a következő egyenlőtlenség: f(x 0) ≥ f(x).
2. Az x 0 pontot az f(x) függvény minimumpontjának nevezzük, ha ennek a pontnak valamelyik szomszédságában teljesül a következő egyenlőtlenség: f(x 0) ≤ f(x).

A derivált gráf maximális és minimális pontjának megtalálásához kövesse az alábbi lépéseket:

1. Rajzolja újra a derivált gráfot, távolítson el minden felesleges információt. A gyakorlat azt mutatja, hogy a szükségtelen adatok csak megzavarják a döntést. Ezért megjelöljük a derivált nulláit a koordinátatengelyen - és ennyi.
2. Keresse meg a derivált előjeleit a nullák közötti intervallumokon! Ha egy x 0 pontról ismert, hogy f'(x 0) ≠ 0, akkor csak két lehetőség lehetséges: f'(x 0) ≥ 0 vagy f'(x 0) ≤ 0. A derivált előjele: könnyen meghatározható az eredeti rajzból: ha a derivált gráf az OX tengely felett van, akkor f'(x) ≥ 0. És fordítva, ha a derivált gráf az OX tengely alatt van, akkor f'(x) ≤ 0.
3. Ismét ellenőrizzük a derivált nulláit és előjeleit. Ahol az előjel mínuszról pluszra változik, az a minimumpont. Ezzel szemben, ha a derivált előjele pluszról mínuszra változik, ez a maximális pont. A számolás mindig balról jobbra történik.

Ez a séma csak folyamatos függvényeknél működik – a B9 feladatban nincs más.

Feladat. Az ábra a [−5; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja. 5]. Keresse meg az f(x) függvény minimális pontját ezen a szakaszon.

Szabaduljunk meg a felesleges információktól, és hagyjuk csak a határokat [−5; 5] és az x = −3 és x = 2,5 derivált nullái. Figyelembe vesszük a jeleket is:

Nyilvánvaló, hogy az x = −3 pontban a derivált előjele mínuszról pluszra változik. Ez a minimum pont.

Feladat. Az ábrán a [−3; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonja látható. 7]. Keresse meg az f(x) függvény maximális pontját ezen a szakaszon.

Rajzoljuk át a grafikont, csak a határokat hagyjuk meg [−3; 7] és az x = −1,7 és x = 5 derivált nullái. Jegyezzük fel a derivált előjeleit a kapott gráfon. Nekünk van:

Nyilvánvaló, hogy az x = 5 pontban a derivált előjele pluszról mínuszra változik - ez a maximum pont.

Feladat. Az ábra a [−6; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja be; 4]. Határozzuk meg az f(x) függvény maximális pontjainak számát a [−4; 3].

A feladat feltételeiből az következik, hogy elég csak a gráfnak azt a részét figyelembe venni, amelyet a [−4; 3]. Ezért építünk egy új gráfot, amelyen csak a határokat jelöljük [−4; 3] és a benne lévő derivált nullái. Mégpedig az x = −3,5 és x = 2 pontok.

Ezen a grafikonon csak egy maximális pont van x = 2. Ezen a ponton változik a derivált előjele pluszról mínuszra.

Egy kis megjegyzés a nem egész koordinátákkal rendelkező pontokhoz. Például az utolsó feladatban az x = −3,5 pontot vettük figyelembe, de ugyanilyen sikerrel vehetjük x = −3,4-et. A probléma helyes összeállítása esetén az ilyen változtatások nem befolyásolhatják a választ, mivel a „fix lakóhely nélküli” pontok közvetlenül nem vesznek részt a probléma megoldásában. Természetesen ez a trükk egész pontokkal nem működik.

Növekvő és csökkenő függvény intervallumainak megtalálása

Egy ilyen feladatnál, mint a maximum és minimum pontoknál, javasolt a derivált grafikonjának használata olyan területek megkeresésére, ahol maga a függvény növekszik vagy csökken. Először is határozzuk meg, mi a növekvő és a csökkenő:

1. Egy f(x) függvényt növekvőnek mondjuk egy szakaszon, ha ebből a szakaszból bármely két x 1 és x 2 pontra igaz a következő állítás: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Más szóval, minél nagyobb az argumentum értéke, annál nagyobb a függvény értéke.
2. Egy f(x) függvényt csökkenőnek mondunk egy szakaszon, ha ebből a szakaszból bármely két x 1 és x 2 pontra igaz a következő állítás: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Azok. A nagyobb argumentumérték kisebb függvényértéknek felel meg.

Fogalmazzunk meg elegendő feltételeket a növekedéshez és a csökkenéshez:

1. Ahhoz, hogy egy f(x) folytonos függvény növekedjen a szakaszon, elegendő, ha a szegmensen belüli deriváltja pozitív, azaz. f’(x) ≥ 0.
2. Ahhoz, hogy egy f(x) folytonos függvény a szakaszon csökkenjen, elegendő, ha a szegmensen belüli deriváltja negatív, azaz. f’(x) ≤ 0.

Fogadjuk el ezeket a kijelentéseket bizonyíték nélkül. Így kapunk egy sémát a növekedési és csökkenési intervallumok megtalálására, amely sok tekintetben hasonlít a szélsőpontok kiszámításának algoritmusához:

1. Távolítson el minden felesleges információt. A derivált eredeti gráfjában elsősorban a függvény nulláira vagyunk kíváncsiak, ezért csak azokat hagyjuk meg.
2. Jelölje be a derivált előjeleit a nullák közötti intervallumokban! Ahol f’(x) ≥ 0, a függvény növekszik, ahol f’(x) ≤ 0, ott csökken. Ha a probléma korlátozásokat állít be az x változóra, akkor ezeket egy új gráfon is megjelöljük.
3. Most, hogy ismerjük a függvény viselkedését és a megszorításokat, hátra van a feladatban szükséges mennyiség kiszámítása.

Feladat. Az ábrán a [−3; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonja látható. 7.5]. Határozzuk meg az f(x) függvény csökkenési intervallumait! Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész számok összegét!

Szokás szerint rajzoljuk át a grafikont és jelöljük ki a határokat [−3; 7,5], valamint az x = -1,5 és x = 5,3 derivált nullái. Ezután megjegyezzük a derivált jeleit. Nekünk van:

Mivel a derivált negatív a (−1,5) intervallumon, ez a csökkenő függvény intervalluma. Marad az összes olyan egész szám összegzése, amely ezen az intervallumon belül van:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Feladat. Az ábra az f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja, amely a [−10; 4]. Keresse meg az f(x) növekvő függvény intervallumait! Válaszában adja meg a legnagyobb hosszát!

Szabaduljunk meg a felesleges információktól. Hagyjuk csak a határokat [−10; 4] és a derivált nullái, amelyekből ezúttal négy volt: x = −8, x = −6, x = −3 és x = 2. Jelöljük a derivált előjeleit, és a következő képet kapjuk:

A növekvő függvény intervallumaira vagyunk kíváncsiak, pl. ilyen, ahol f’(x) ≥ 0. Két ilyen intervallum van a grafikonon: (−8; −6) és (−3; 2). Számítsuk ki a hosszukat:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Mivel meg kell találnunk az intervallumok közül a legnagyobb hosszát, válaszként az l 2 = 5 értéket írjuk fel.

A számológép minden elemi függvény deriváltját kiszámítja, részletes megoldást adva. A differenciálási változó meghatározása automatikusan történik.

Függvény származéka- a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. A derivált megjelenése olyan problémákhoz vezetett, mint például egy pont pillanatnyi sebességének kiszámítása, ha ismert az időtől függő út, egy függvény érintőjének megtalálása egy pontban.

Leggyakrabban egy függvény deriváltja a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, ha létezik.

Meghatározás. Legyen a függvény a pont valamely környezetében definiálva. Ekkor a függvény deriváltját egy pontban határértéknek nevezzük, ha létezik

Hogyan számítsuk ki egy függvény deriváltját?

Ahhoz, hogy megtanuld megkülönböztetni a funkciókat, meg kell tanulnod és meg kell értened differenciálási szabályokés megtanulják használni származékok táblázata.

A megkülönböztetés szabályai

Legyen és egy valós változó tetszőleges differenciálható függvényei, és legyen valamilyen valós állandó. Akkor

— szabály a függvények szorzatának megkülönböztetésére

— a hányadosfüggvények megkülönböztetésének szabálya

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — függvény differenciálása változó kitevővel

— összetett függvény megkülönböztetésének szabálya

— a hatványfüggvény megkülönböztetésének szabálya

Egy függvény származéka online

Számológépünk gyorsan és pontosan kiszámítja bármely online függvény deriváltját. A program nem követ el hibákat a derivált kiszámításakor, és segít elkerülni a hosszú és fárasztó számításokat. Online számológép Hasznos lehet abban az esetben is, ha ellenőrizni kell a megoldás helyességét, és ha hibás, gyorsan megtalálja a hibát.

1. példa

Referencia: A függvények jelölésének következő módjai egyenértékűek: Egyes feladatokban célszerű a függvényt „játéknak”, másoknál pedig „ef from x”-nek jelölni.

Először megtaláljuk a származékot:

2. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban!

, , teljes funkcióvizsgálat satöbbi.

3. példa

Számítsa ki a függvény deriváltját a pontban! Először keressük meg a származékot:

Nos, ez teljesen más kérdés. Számítsuk ki a derivált értékét a pontban:

Ha nem érti, hogyan találták meg a származékot, térjen vissza a téma első két leckéhez. Ha bármilyen nehézsége (félreértése) van az arctangenssel és annak jelentésével kapcsolatban, Szükségszerűen tanulmány módszertani anyag Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai– a legutolsó bekezdés. Mert van még elég arctangens a diákkorhoz.

4. példa

Számítsa ki a függvény deriváltját a pontban!

Egy függvény grafikonjának érintőjének egyenlete

Az előző bekezdés megszilárdításához vegye fontolóra a -hez tartozó érintő megtalálásának problémáját függvénygrafikon ezen a ponton. Az iskolában találkoztunk ezzel a feladattal, és a felsőbb matematika során is megjelenik.

Nézzük a legegyszerűbb „bemutató” példát.

Írjon fel egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére az abszcissza pontban! Azonnal adok egy kész grafikus megoldást a problémára (a gyakorlatban a legtöbb esetben ez nem szükséges):

Az érintő szigorú definícióját a segítségével adjuk meg függvény deriváltjának meghatározása, de egyelőre a kérdés technikai részét sajátítjuk el. Bizonyára szinte mindenki intuitív módon megérti, mi az érintő. Ha „ujjainkon” magyarázod, akkor egy függvény grafikonjának érintője a következő egyenes, amely a függvény grafikonjára vonatkozik az egyetlen pont. Ebben az esetben az egyenes minden közeli pontja a lehető legközelebb helyezkedik el a függvény grafikonjához.

A mi esetünkben: az érintőnél (standard jelölés) egyetlen pontban érinti a függvény grafikonját.

A feladatunk pedig az, hogy megtaláljuk az egyenes egyenletét.

Függvény származéka egy pontban

Hogyan találjuk meg egy függvény deriváltját egy pontban? Ennek a feladatnak két nyilvánvaló pontja következik a megfogalmazásból:

1) Meg kell találni a származékot.

2) Egy adott ponton ki kell számítani a derivált értékét.

1. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban!

Súgó: A függvények következő jelölési módjai egyenértékűek:


Egyes feladatokban célszerű a függvényt „játéknak”, másoknál pedig „ef from x”-nek jelölni.

Először megtaláljuk a származékot:

Remélem, sokan már megszokták, hogy szóban találjanak ilyen származékokat.

A második lépésben kiszámítjuk a derivált értékét a pontban:

Egy kis bemelegítő példa a saját megoldáshoz:

2. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban!

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

A derivált egy pontban történő megtalálásának szükségessége a következő feladatokban merül fel: egy függvény grafikonjának érintőjének szerkesztése (következő bekezdés), egy extrémum függvényének vizsgálata , függvény vizsgálata gráf inflexiójához , teljes funkcióvizsgálat satöbbi.

De a szóban forgó feladat itt történik tesztekés önmagában. És általában ilyen esetekben a megadott függvény meglehetősen összetett. Ezzel kapcsolatban nézzünk még két példát.

3. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját! pontban.
Először is keressük meg a származékot:

A származékot elvileg megtaláltuk, és behelyettesítheti a szükséges értéket. De igazából nem akarok semmit sem csinálni. A kifejezés nagyon hosszú, és az „x” jelentése tört. Ezért igyekszünk a deriváltunkat a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsíteni. Ebben az esetben próbáljuk meg az utolsó három kifejezést közös nevezőre hozni: pontban.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Hogyan találjuk meg az F(x) függvény deriváltjának értékét az Xo pontban? Egyáltalán hogy oldod meg ezt?

Ha adott a képlet, akkor keresse meg a deriváltot, és X helyett X-nullát helyettesítsen. Kiszámítja
Ha a B-8 Egységes Államvizsgáról, grafikonról beszélünk, akkor meg kell találni annak a szögnek a tangensét (akut vagy tompaszög), amelyet az X tengely érintője alkot (egy derékszögű háromszög mentális felépítésével és a a szög érintője)

Timur Adilkhodzsaev

Először is el kell döntenie a jelet. Ha az x0 pont a koordinátasík alsó részén található, akkor a válasz előjele mínusz, ha magasabb, akkor +.
Másodszor, tudnia kell, mi a tange egy téglalapban. Ez pedig az ellenkező oldal (láb) és a szomszédos oldal (szintén láb) aránya. Általában néhány fekete folt található a festményen. Ezekből a jelekből derékszögű háromszöget alkot, és megkeresi az érintőt.

Hogyan találjuk meg az f x függvény deriváltjának értékét az x0 pontban?

nincs konkrét kérdés – 3 évvel ezelőtt

Általános esetben ahhoz, hogy egy függvény deriváltjának értékét egy adott változóra vonatkozóan meg tudjuk találni, meg kell különböztetni az adott függvényt ehhez a változóhoz képest. Esetedben X változóval. A kapott kifejezésben X helyett X értékét tedd arra a pontra, amelyhez meg kell találnod a derivált értékét, pl. esetedben helyettesítsd be a nulla X-et, és számítsd ki az eredményül kapott kifejezést.

Nos, az Ön vágya, hogy megértse ezt a kérdést, véleményem szerint kétségtelenül megérdemel egy +-t, amelyet tiszta lelkiismerettel adok.

A származék megtalálásának problémájának ezt a megfogalmazását gyakran az anyag megszilárdítására teszik fel geometriai jelentése derivált. Egy adott függvény gráfja javasolt, teljesen tetszőleges és egyenlettel nem meghatározott, és meg kell találni a derivált értékét (nem magát a deriváltot, figyeljetek!) a megadott X0 pontban. Ehhez konstruáljon érintőt a -hoz adott funkciótés megkeresi a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait. Ezután ennek az érintőnek az egyenletét y=кx+b formában állítjuk fel.

Ebben az egyenletben a k és együttható a derivált értéke. Már csak meg kell találni a b együttható értékét. Ehhez keressük meg y értékét x = o-nál, legyen egyenlő 3-mal - ez a b együttható értéke. Az X0 és Y0 értékeit behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és megtaláljuk k - a derivált értékét ezen a ponton.

Sok elméletet írtak a geometriai jelentésről. Nem megyek bele a függvénynövekmény származtatásába, de hadd emlékeztessem a feladatok elvégzésének alapjait:

A derivált az x pontban egyenlő az y = f(x) függvény grafikonjának ezen a ponton lévő érintőjének meredekségével, azaz az X tengely hajlásszögének érintője.

Vegyük azonnal a feladatot az egységes államvizsgáról, és kezdjük el megérteni:

1. számú feladat. A képen látható függvény grafikonja y = f(x) és az érintője az x0 abszcissza pontban. Keresse meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x0 pontban.
Aki siet és nem akarja megérteni a magyarázatokat:építs fel egy tetszőleges ilyen háromszöget (lásd alább), és oszd el az álló oldalt (függőleges) a fekvő (vízszintes) oldallal, és szerencséd lesz, ha nem felejted el a jelet (ha a vonal csökken (→↓) , akkor a válasz mínusz legyen, ha a sor növekszik (→), akkor a válasznak pozitívnak kell lennie!)

Meg kell találni az érintő és az X tengely közötti szöget, nevezzük α-nak: húzzunk az X tengellyel párhuzamos egyenest bárhol a grafikon érintőjén keresztül, ugyanazt a szöget kapjuk.

Az x0 pontot jobb nem venni, mert A pontos koordináták meghatározásához nagyméretű nagyítóra lesz szüksége.

Tetszőleges derékszögű háromszöget felvéve (az ábrán 3 lehetőség javasolt) tgα-t kapunk (a szögek ekkor megegyeznek, mint megfelelő), azaz. megkapjuk az f(x) függvény deriváltját az x0 pontban. Miért van ez így?

Ha érintőket rajzolunk más x2, x1 stb. az érintők mások lesznek.

Menjünk vissza a 7. osztályba, hogy vonalat építsünk!

Az egyenes egyenletét az y = kx + b egyenlet adja meg, ahol

k - dőlés az X tengelyhez képest.

b az Y tengellyel való metszéspont és az origó közötti távolság.

Az egyenes deriváltja mindig ugyanaz: y" = k.

Bármelyik ponton is vesszük a deriváltot, az változatlan marad.

Ezért nincs más hátra, mint megkeresni a tgα-t (ahogy fentebb említettük: az álló oldalt el kell osztani a fekvő oldallal). A szemközti oldalt elosztjuk a szomszédos oldallal, azt kapjuk, hogy k = 0,5. Ha azonban a grafikon csökken, akkor az együttható negatív: k = -0,5.

Azt tanácsolom, hogy ellenőrizze magát második út:
Két pont segítségével határozhat meg egy egyenest. Keressük meg bármely két pont koordinátáit. Például (-2;-2) és (2;-4):

Helyettesítsük be a pontok koordinátáit az y = kx + b egyenletbe y és x helyett:

−2 = −2k + b

Ezt a rendszert megoldva b = −3, k = −0,5 kapjuk

Következtetés: A második módszer hosszabb ideig tart, de nem felejti el a jelet.

Válasz: − 0,5

2. feladat. A képen látható derivált gráf f(x) függvények. Az abszcissza tengelyen nyolc pont van jelölve: x1, x2, x3, ..., x8. Hány pont található az f(x) növekvő függvény intervallumán?

Ha egy függvény grafikonja csökken - a derivált negatív (és fordítva igaz).

Ha egy függvény grafikonja növekszik, a derivált pozitív (és fordítva igaz).

Ez a két kifejezés segít a legtöbb probléma megoldásában.

Alaposan nézd meg egy derivált vagy függvény rajzát kapja meg, majd válasszon egyet a két kifejezés közül.

Készítsük el a függvény sematikus grafikonját. Mert Adjuk a derivált grafikonját, majd ahol negatív, ott csökken a függvény grafikonja, ahol pozitív, ott növekszik!

Kiderült, hogy 3 pont a növekvő területeken fekszik: x4; x5; x6.

Válasz: 3

3. feladat. Az f(x) függvény a (-6; 4) intervallumon van definiálva. A képen látható származékának grafikonja. Keresse meg annak a pontnak az abszcisszáját, ahol a függvény felveszi a legnagyobb értékét.

Azt tanácsolom, hogy mindig ábrázolja a függvénygrafikon menetét, ehhez hasonló nyilakkal vagy sematikusan előjelekkel (mint a 4. és 5. sz.):

Nyilvánvaló, hogy ha a gráf −2-re nő, akkor a maximális pont −2.

Válasz: −2

4. feladat. Az ábrán az f(x) függvény és az abszcissza tengely tizenkét pontjának grafikonja látható: x1, x2, ..., x12. Ezek közül hány pontban negatív a függvény deriváltja?

A probléma az ellenkezője, adott egy függvény grafikonja, vázlatosan kell ábrázolni, hogy fog kinézni a függvény deriváltjának grafikonja, és meg kell számolni, hogy hány pont lesz a negatív tartományban.

Pozitív: x1, x6, x7, x12.

Negatív: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Válasz: 7

Egy másik típusú feladat, amikor néhány szörnyű „szélsőségről” kérdezik? Nem lesz nehéz megtalálni, mi ez, de elmagyarázom a grafikonokhoz.

5. feladat. Az ábra a (-16; 6) intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Határozzuk meg az f(x) függvény szélsőpontjainak számát a [-11; 5].

Jelöljük a -11-től 5-ig terjedő intervallumot!

Csillogó szemünket fordítsuk az előjelre: adott a függvény deriváltjának grafikonja =>, akkor a szélsőségek az X tengellyel való metszéspontok.

Válasz: 3

6. feladat. Az ábra a (-13; 9) intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Határozzuk meg az f(x) függvény maximális pontjainak számát a [-12; 5].

Jelöljük a -12-től 5-ig terjedő intervallumot!

Egy szemmel nézhetjük a táblázatot, a maximum pont egy szélsőérték, így előtte a derivált pozitív (a függvény növekszik), utána pedig a derivált negatív (a függvény csökken). Az ilyen pontokat bekarikázzuk.

A nyilak mutatják, hogyan viselkedik a függvénygrafikon

Válasz: 3

7. feladat. Az ábra a (-7; 5) intervallumon definiált f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg azon pontok számát, amelyekben az f(x) függvény deriváltja egyenlő 0-val.

Megnézheti a fenti táblázatot (a derivált egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy ezek szélsőséges pontok). És ebben a feladatban a függvény grafikonja adott, ami azt jelenti, hogy meg kell találni inflexiós pontok száma!

Vagy a szokásos módon elkészítheti a derivált sematikus grafikonját.

A derivált nulla, ha egy függvény grafikonja megváltoztatja az irányát (növekvőről csökkenőre és fordítva)

Válasz: 8

8. feladat. A képen látható derivált gráf a (-2; 10) intervallumon definiált f(x) függvény. Keresse meg a növekvő függvény intervallumait! f(x). Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét!

Készítsük el a függvény sematikus grafikonját:

Ahol növekszik, 4 egész pontot kapunk: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Válasz: 22

9. számú feladat. A képen látható derivált gráf a (-6; 6) intervallumon definiált f(x) függvény. Határozzuk meg azon f(x) pontok számát, amelyeknél a függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az y = 2x + 13 egyenessel.

Megadjuk a derivált grafikonját! Ez azt jelenti, hogy az érintőnket le kell „fordítani” származékra.

Az érintő deriváltja: y" = 2.

Most készítsük el mindkét származékot:

Az érintők három pontban metszik egymást, ami azt jelenti, hogy a válaszunk 3.

Válasz: 3

10. feladat. Az ábrán az f(x) függvény grafikonja látható, és a -2, 1, 2, 3 pontok közül melyikben a legkisebb a derivált értéke? Kérjük, válaszában ezt a pontot jelezze.

A feladat némileg hasonló az elsőhöz: a derivált értékének meghatározásához meg kell alkotni egy pontban ennek a gráfnak az érintőjét, és meg kell találni a k ​​együtthatót.

Ha a vonal csökken, k< 0.

Ha az egyenes növekszik, k > 0.

Gondoljuk át, hogyan befolyásolja az együttható értéke a vonal meredekségét:

Ha k = 1 vagy k = − 1, a grafikon félúton lesz az X és Y tengely között.

Minél közelebb van az egyenes az X tengelyhez, annál közelebb van a k együttható nullához.

Minél közelebb van az egyenes az Y tengelyhez, annál közelebb van a k együttható a végtelenhez.

A -2 és 1 k pontban<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>itt lesz a derivált legkisebb értéke

Válasz: 1

11. számú feladat. Az egyenes az y = 3x + 9 érintője az y = x³ + x² + 2x + 8 függvény grafikonjának. Keresse meg az érintőpont abszcisszáját!

Az egyenes akkor érinti a gráfot, ha a grafikonoknak van közös pontja, akárcsak a származékaiknak. Tegyük egyenlővé a gráfegyenleteket és származékaikat:

A második egyenlet megoldása után 2 pontot kapunk. Annak ellenőrzésére, hogy melyik a megfelelő, behelyettesítjük az x-eket az első egyenletbe. Csak egy fog megtenni.

Egyáltalán nem akarok köbegyenletet megoldani, de másodfokú egyenletet szívesen megoldok.

De mit írj le válaszul, ha két „normális” választ kapsz?

Ha x(x)-et behelyettesítünk az eredeti grafikonokba y = 3x + 9 és y = x³ + x² + 2x + 8, akkor ugyanazt az Y-t kell kapnia.

y= 1³+1²+2×1+8=12

Jobb! Tehát x=1 lesz a válasz

Válasz: 1

12. feladat. Az y = − 5x − 6 egyenes érinti az ax² + 5x − 5 függvény grafikonját. Találni.

Hasonlóképpen egyenlőségjelet tegyünk a függvények és származékaik között:

Oldjuk meg ezt a rendszert a és x változókra:

Válasz: 25

A származékos feladatot az egyik legnehezebbnek tartják az Egységes Államvizsga első részében, azonban egy kis odafigyeléssel és a kérdés megértésével sikerülni fog, és növelni fogja ennek a feladatnak a teljesítési arányát!