Η διαδικασία που μόλις ακολουθήσαμε είναι τόσο κοινή στα μαθηματικά που έχει εφευρεθεί μια ειδική σημείωση για τις ποσότητες ε και x: το ε συμβολίζεται με Δt και το x με Δs. Η τιμή του Δt σημαίνει «μικρές προσθήκες στο t», και εννοείται ότι αυτή η προσθήκη μπορεί να γίνει και μικρότερη. Το σύμβολο Δ σε καμία περίπτωση δεν σημαίνει πολλαπλασιασμό με κάποια τιμή, όπως το sin θ δεν σημαίνει s i n 0. Αυτή είναι μόνο μια προσθήκη στον χρόνο, με το σύμβολο Δ να μας θυμίζει τον ιδιαίτερο χαρακτήρα του. Λοιπόν, αν το Δ δεν είναι παράγοντας, τότε δεν μπορεί να μειωθεί σε σχέση με το Δs/Δt. Είναι όπως στην έκφραση sin θ/sin 2θ να κόψεις όλα τα γράμματα και να πάρεις 1/2. Σε αυτούς τους νέους συμβολισμούς, η ταχύτητα είναι ίση με το όριο του λόγου Δs/Δt καθώς το Δt τείνει στο μηδέν, δηλ.

Αυτό είναι ουσιαστικά ο τύπος (8.3), αλλά τώρα είναι πιο ξεκάθαρο ότι όλα αλλάζουν εδώ και, επιπλέον, σας υπενθυμίζει ακριβώς ποιες ποσότητες αλλάζουν.
Υπάρχει ένας άλλος νόμος που ισχύει με καλή ακρίβεια. Λέει: η μεταβολή της απόστασης είναι ίση με την ταχύτητα πολλαπλασιαζόμενη με το χρονικό διάστημα κατά το οποίο συνέβη αυτή η αλλαγή, δηλαδή Δs = υΔt. Αυτός ο κανόνας ισχύει αυστηρά μόνο όταν η ταχύτητα δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια του διαστήματος Δt, και αυτό, γενικά, συμβαίνει μόνο όταν το Δt είναι αρκετά μικρό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως γράφει ds = υdt, όπου dt σημαίνει το χρονικό διάστημα Δt, με την προϋπόθεση ότι είναι αυθαίρετα μικρό. Εάν το διάστημα Δt είναι αρκετά μεγάλο, τότε η ταχύτητα μπορεί να αλλάξει κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου και η έκφραση Δs = υΔt θα είναι ήδη κατά προσέγγιση. Ωστόσο, αν γράψουμε dt, τότε αυτό σημαίνει ότι το χρονικό διάστημα είναι απείρως μικρό, και με αυτή την έννοια η έκφραση ds = υdt είναι ακριβής. Στη νέα σημείωση, η έκφραση (8.5) έχει τη μορφή

Η ποσότητα ds/dt ονομάζεται "παράγωγος του s ως προς το t" (ένα τέτοιο όνομα θυμίζει αυτό που αλλάζει), και η σύνθετη διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται επίσης. ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Αν τα ds και dt εμφανίζονται χωριστά, και όχι ως λόγος ds/dt, τότε ονομάζονται διαφορικά. Για να σας γνωρίσω καλύτερα τη νέα ορολογία, θα πω επίσης ότι στην προηγούμενη παράγραφο βρήκαμε την παράγωγο της συνάρτησης 5t 2 , ή απλά την παράγωγο της 5t 2 . Αποδείχθηκε ότι ήταν ίσο με 10t. Καθώς εξοικειώνεστε περισσότερο με τις νέες λέξεις, η ίδια η σκέψη θα σας γίνεται πιο ξεκάθαρη. Για εξάσκηση, ας βρούμε την παράγωγο μιας πιο σύνθετης συνάρτησης. Εξετάστε την έκφραση s = At ​​3 + Bt + C, η οποία μπορεί να περιγράψει την κίνηση ενός σημείου. Τα γράμματα Α, Β, Γ, καθώς και στη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση, δηλώνουν σταθερούς αριθμούς. Πρέπει να βρούμε την ταχύτητα κίνησης που περιγράφεται από αυτόν τον τύπο ανά πάσα στιγμή t. Για αυτό, θεωρήστε τη στιγμή t + ∆t, και προσθέστε μερικές πρόσθετες Δs στο s και βρείτε πώς το Δs εκφράζεται ως Δt. Επειδή η

Δεν χρειαζόμαστε όμως την ίδια την τιμή του Δs, αλλά τον λόγο Δs/Δt. Αφού διαιρέσουμε με Δt, παίρνουμε την παράσταση

που, αφού το Δt τείνει στο μηδέν, θα μετατραπεί σε

Αυτή είναι η διαδικασία λήψης μιας παραγώγου ή διαφοροποίησης συναρτήσεων. Στην πραγματικότητα, είναι κάπως πιο εύκολο από ό, τι φαίνεται με την πρώτη ματιά. Σημειώστε ότι εάν σε επεκτάσεις όπως οι προηγούμενες υπάρχουν όροι ανάλογοι με (Δt) 2 ή (Δt) 3 ή και υψηλότερες δυνάμεις, τότε μπορούν να διαγραφούν αμέσως, αφού εξακολουθούν να εξαφανίζονται όταν στο τέλος θα Δt τείνουν στο μηδέν. Μετά από λίγη προπόνηση, θα δείτε αμέσως τι πρέπει να μείνει και τι πρέπει να απορρίψετε αμέσως. Υπάρχουν πολλοί κανόνες και τύποι για τη διαφοροποίηση διάφορα είδηλειτουργίες. Μπορείτε είτε να τα απομνημονεύσετε είτε να χρησιμοποιήσετε ειδικούς πίνακες. Ένας μικρός κατάλογος τέτοιων κανόνων δίνεται στον Πίνακα. 8.3.

Περνώντας στις φυσικές εφαρμογές της παραγώγου, θα χρησιμοποιήσουμε ελαφρώς διαφορετικούς συμβολισμούς από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί στη φυσική.

Πρώτον, αλλάζει ο χαρακτηρισμός των συναρτήσεων. Πράγματι, ποιες λειτουργίες πρόκειται να διαφοροποιήσουμε; Αυτές οι συναρτήσεις είναι φυσικά μεγέθη που εξαρτώνται από το χρόνο. Για παράδειγμα, η συντεταγμένη ενός σώματος x(t) και η ταχύτητά του v(t) μπορούν να δοθούν με τύπους όπως αυτοί:

Υπάρχει ένας άλλος συμβολισμός για την παράγωγο, ο οποίος είναι πολύ κοινός τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική:

(διαβάζεται ¾de x από de te¿).

Ας σταθούμε αναλυτικότερα στην έννοια της σημειογραφίας (29). Ο μαθηματικός το κατανοεί με δύο τρόπους, είτε ως όριο:

ή ως κλάσμα, του οποίου παρονομαστής είναι η χρονική προσαύξηση dt, και αριθμητής το λεγόμενο διαφορικό dx της συνάρτησης x(t). Η έννοια του διαφορικού δεν είναι δύσκολη, αλλά δεν θα το συζητήσουμε τώρα. σας περιμένει στο πρώτο πιάτο.

Ο φυσικός, που δεν περιορίζεται από τις απαιτήσεις της μαθηματικής αυστηρότητας, κατανοεί τη σημειογραφία (29) πιο ανεπίσημα. Έστω dx η μεταβολή των συντεταγμένων με το χρόνο dt. Ας πάρουμε το διάστημα dt τόσο μικρό ώστε ο λόγος dx=dt να είναι κοντά στο όριο του (30 ) με ακρίβεια που μας ταιριάζει.

Και τότε, θα πει ο φυσικός, η παράγωγος της συντεταγμένης ως προς το χρόνο είναι απλώς ένα κλάσμα, στον αριθμητή του οποίου υπάρχει μια αρκετά μικρή αλλαγή στη συντεταγμένη dx και στον παρονομαστή υπάρχει μια αρκετά μικρή χρονική περίοδος dt, κατά την οποία συνέβη αυτή η αλλαγή στη συντεταγμένη. Μια τέτοια χαλαρή κατανόηση της παραγώγου είναι χαρακτηριστική για τη συλλογιστική στη φυσική. Επιπλέον, θα τηρούμε αυτό το φυσικό επίπεδο αυστηρότητας.

Ας επιστρέψουμε στο αρχικό παράδειγμα (26 ) και ας υπολογίσουμε την παράγωγο της συντεταγμένης και ταυτόχρονα ας δούμε την κοινή χρήση των σημειώσεων (28 ) και (29 ):

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) =dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Το σύμβολο παραγωγής dt d πριν από την παρένθεση είναι το ίδιο με το μοτίβο πάνω από την παρένθεση στην παλιά σημείωση.)

Σημειώστε ότι η υπολογισμένη παράγωγος της συντεταγμένης αποδείχθηκε ίση με την ταχύτητα του σώματος (27). Αυτό δεν είναι τυχαίο και πρέπει να το συζητήσουμε λεπτομερέστερα.

2.1 Παράγωγος συντεταγμένη

Πρώτα απ 'όλα, σημειώνουμε ότι η ταχύτητα στο (27 ) μπορεί να είναι θετική και αρνητική. Δηλαδή, η ταχύτητα είναι θετική για t< 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.

Τι σημαίνει? Είναι πολύ απλό: δεν έχουμε να κάνουμε με την απόλυτη τιμή της ταχύτητας, αλλά με την προβολή vx του διανύσματος ταχύτητας στον άξονα Χ. Επομένως, αντί για (27), θα ήταν πιο σωστό να γράψουμε:

Αν ξεχάσατε ποια είναι η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, τότε διαβάστε την αντίστοιχη ενότητα του άρθρου ¾ Διανύσματα στη φυσική¿. Εδώ θυμόμαστε μόνο ότι το πρόσημο της προβολής vx αντανακλά τη σχέση μεταξύ της κατεύθυνσης της ταχύτητας και της κατεύθυνσης του άξονα Χ:

vx > 0 , το σώμα κινείται προς την κατεύθυνση του άξονα Χ. vx< 0 , тело движется против оси X.

(Για παράδειγμα, αν vx = 3 m/s, τότε αυτό σημαίνει ότι το σώμα κινείται με ταχύτητα 3 m/s προς την αντίθετη κατεύθυνση από τον άξονα Χ.)

Επομένως, στο παράδειγμά μας (31 ) έχουμε την ακόλουθη εικόνα κίνησης: στο t< 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t >2 το σώμα, επιταχυνόμενο, κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x.

Ας υποθέσουμε ότι η ταχύτητα του σώματος σε απόλυτη τιμή είναι ίση με v. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις κατεύθυνσης κίνησης.

1. Αν το σώμα κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ, τότε μια μικρή αλλαγή στη συντεταγμένη dx είναι θετική και ίση με τη διαδρομή που διανύει το σώμα σε χρόνο dt. Να γιατί

x = dx dt = v:

2. Αν το σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x, τότε dx< 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

x = dx dt = v:

Σημειώστε τώρα ότι στην πρώτη περίπτωση vx = v, και στη δεύτερη περίπτωση vx = v. Έτσι, και οι δύο περιπτώσεις συνδυάζονται σε έναν τύπο:

και φτάνουμε στο πιο σημαντικό γεγονός: η παράγωγος της συντεταγμένης του σώματος ισούται με την προβολή της ταχύτητας του σώματος στον δεδομένο άξονα.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι το πρόσημο της αυξανόμενης (φθίνουσας) συνάρτησης λειτουργεί. Και συγκεκριμένα:

x > 0) vx > 0) το σώμα κινείται προς την κατεύθυνση του άξονα Χ) η συντεταγμένη x αυξάνεται. Χ< 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:

2.2 Επιτάχυνση

Η ταχύτητα ενός σώματος χαρακτηρίζει τον ρυθμό μεταβολής των συντεταγμένων του. Αλλά η ταχύτητα μπορεί επίσης να αλλάξει πιο αργά ή πιο γρήγορα. Ένα χαρακτηριστικό του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι ένα φυσικό μέγεθος που ονομάζεται επιτάχυνση.

Έστω, για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου κατά την ομοιόμορφη επιτάχυνση να αυξηθεί από v0 = 2 m/s σε v = 14 m/s σε χρόνο t = 3 s. Η επιτάχυνση του αυτοκινήτου υπολογίζεται από τον τύπο:

Έτσι, σε ένα δευτερόλεπτο, η ταχύτητα του αυτοκινήτου αυξάνεται κατά 4 m/s.

Και ποια είναι η επιτάχυνση αν η ταχύτητα, αντίθετα, μειώθηκε από v0 = 14 m/s σε v = 2 m/s στον ίδιο χρόνο t = 3 s; Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο (33) παίρνουμε:

Σε ένα δευτερόλεπτο, όπως βλέπουμε, η ταχύτητα μειώνεται κατά 4 m / s.

Είναι δυνατόν να μιλήσουμε για επιτάχυνση εάν η ταχύτητα ποικίλλει άνισα; Φυσικά, είναι δυνατό, αλλά μόνο θα είναι μια στιγμιαία επιτάχυνση, η οποία εξαρτάται επίσης από τον χρόνο. Το συλλογιστικό σχήμα είναι ήδη γνωστό σε εσάς: στον τύπο (33 ) αντί για το χρονικό διάστημα t παίρνουμε ένα μικρό διάστημα dt, αντί για τη διαφορά v v0 παίρνουμε την αύξηση dv της ταχύτητας στο χρόνο dt, και ως αποτέλεσμα που παίρνουμε:

Έτσι, αποδεικνύεται ότι η επιτάχυνση είναι παράγωγο της ταχύτητας.

Ο τύπος (34), ωστόσο, δεν περιγράφει όλες τις καταστάσεις που προκύπτουν στη μηχανική. Για παράδειγμα, όταν κινούμαστε ομοιόμορφα κατά μήκος ενός κύκλου, η ταχύτητα του σώματος δεν αλλάζει σε απόλυτη τιμή, και σύμφωνα με το (34) θα έπρεπε να έχουμε λάβει a = v = 0. Αλλά γνωρίζετε πολύ καλά ότι το σώμα έχει επιτάχυνση, κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου και ονομάζεται κεντρομόλος. Επομένως, ο τύπος (34) χρειάζεται κάποια τροποποίηση.

Αυτή η τροποποίηση συνδέεται με το γεγονός ότι η επιτάχυνση είναι στην πραγματικότητα ένα διάνυσμα. Αποδεικνύεται ότι το διάνυσμα επιτάχυνσης δείχνει την κατεύθυνση της αλλαγής στην ταχύτητα του σώματος. Τι σημαίνει αυτό, θα μάθουμε τώρα με απλά παραδείγματα.

Αφήστε το σώμα να κινηθεί κατά μήκος του άξονα Χ. Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις κατεύθυνσης επιτάχυνσης: κατά μήκος του άξονα Χ και έναντι του άξονα Χ, αντίστοιχα.

1. Το διάνυσμα επιτάχυνσης ~a κατευθύνεται από κοινού με τον άξονα Χ (Εικ. 18). Η προβολή επιτάχυνσης στον άξονα Χ είναι θετική: ax > 0.

Ρύζι. 18. τσεκούρι > 0

ΣΕ Σε αυτή την περίπτωση, η ταχύτητα αλλάζει στη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ. Δηλαδή:

Εάν το σώμα κινηθεί προς τα δεξιά (vx > 0), τότε επιταχύνει: η ταχύτητα του modulo του σώματος αυξάνεται. Σε αυτή την περίπτωση, η προβολή ταχύτητας vx επίσης αυξάνεται.

Εάν το σώμα μετακινηθεί προς τα αριστερά (vx< 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.

Έτσι, αν ax > 0, τότε η προβολή της ταχύτητας vx αυξάνεται ανεξάρτητα από το αν

προς ποια κατεύθυνση κινείται το σώμα.

2. Το διάνυσμα επιτάχυνσης ~a κατευθύνεται αντίθετα από τον άξονα Χ (Εικ. 19). Η προβολή επιτάχυνσης στον άξονα Χ είναι αρνητική: αξ< 0.

Ρύζι. 19.αξ< 0

ΣΕ Σε αυτή την περίπτωση, η ταχύτητα αλλάζει προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα Χ. Δηλαδή:

Εάν το σώμα κινηθεί προς τα δεξιά (vx > 0), τότε επιβραδύνεται: η ταχύτητα του modulo του σώματος μειώνεται. Η προβολή ταχύτητας vx μειώνεται επίσης σε αυτή την περίπτωση.

Εάν το σώμα μετακινηθεί προς τα αριστερά (vx< 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.

Αν λοιπόν τσεκούρι< 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Η σχέση μεταξύ του πρόσημου του άξονα προβολής επιτάχυνσης και της αύξησης (μείωσης) της προβολής ταχύτητας vx που βρίσκεται σε αυτά τα παραδείγματα μας οδηγεί στην επιθυμητή τροποποίηση του τύπου (34):

Παράδειγμα. Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα (26):

x = 1 + 12t 3t2

(η συντεταγμένη μετριέται σε μέτρα, ο χρόνος σε δευτερόλεπτα). Διαφοροποιώντας δύο φορές διαδοχικά, παίρνουμε:

vx=x=126t;

ax=vx=6:

Όπως μπορείτε να δείτε, η επιτάχυνση είναι σταθερή modulo και ίση με 6 m/s2. Κατευθυνόμενη επιτάχυνση προς την αντίθετη κατεύθυνση από τον άξονα Χ.

Το παραπάνω παράδειγμα είναι μια περίπτωση ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης, στην οποία το μέτρο και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης παραμένουν αμετάβλητα (ή, εν συντομία, ~a = const). Η ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση είναι ένας από τους πιο σημαντικούς και συχνότερους τύπους κίνησης στη μηχανική.

Από αυτό το παράδειγμα, είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι με ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση, η προβολή της ταχύτητας είναι μια γραμμική συνάρτηση του χρόνου και η συντεταγμένη είναι μια τετραγωνική συνάρτηση.

Παράδειγμα. Εξετάστε μια πιο εξωτική περίπτωση:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 .

Η φυσική έννοια του παραγώγου. Η ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά περιλαμβάνει μια ομάδα εργασιών για την επίλυση των οποίων είναι απαραίτητη η γνώση και η κατανόηση της φυσικής σημασίας της παραγώγου. Συγκεκριμένα, υπάρχουν εργασίες όπου δίνεται ο νόμος κίνησης ενός συγκεκριμένου σημείου (αντικειμένου), που εκφράζεται με μια εξίσωση, και απαιτείται να βρεθεί η ταχύτητά του σε μια συγκεκριμένη στιγμή του χρόνου κίνησης ή ο χρόνος μετά τον οποίο το αντικείμενο αποκτά μια ορισμένη δεδομένη ταχύτητα.Οι εργασίες είναι πολύ απλές, λύνονται σε ένα βήμα. Ετσι:

Έστω ο νόμος της κίνησης ενός υλικού σημείου x (t) κατά μήκος του άξονα συντεταγμένων, όπου x είναι η συντεταγμένη του κινούμενου σημείου, t είναι ο χρόνος.

Η ταχύτητα σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι η παράγωγος της συντεταγμένης σε σχέση με το χρόνο. Αυτή είναι η μηχανική έννοια του παραγώγου.

Ομοίως, η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο:

Έτσι, η φυσική έννοια της παραγώγου είναι η ταχύτητα. Αυτή μπορεί να είναι η ταχύτητα κίνησης, η ταχύτητα μιας αλλαγής σε μια διαδικασία (για παράδειγμα, η ανάπτυξη βακτηρίων), η ταχύτητα της εργασίας (και ούτω καθεξής, υπάρχουν πολλές εφαρμοζόμενες εργασίες).

Επιπλέον, πρέπει να γνωρίζετε τον πίνακα των παραγώγων (πρέπει να τον γνωρίζετε καθώς και τον πίνακα πολλαπλασιασμού) και τους κανόνες διαφοροποίησης. Συγκεκριμένα, για την επίλυση των καθορισμένων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τις πρώτες έξι παραγώγους (βλ. πίνακα):

Εξετάστε τα καθήκοντα:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

όπου x t είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα που μετράται από την έναρξη της κίνησης. Να βρείτε την ταχύτητά του (σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο) τη χρονική στιγμή t = 5 s.

Η φυσική έννοια της παραγώγου είναι η ταχύτητα (ταχύτητα κίνησης, ταχύτητα αλλαγής διαδικασίας, ταχύτητα εργασίας κ.λπ.)

Ας βρούμε τον νόμο της μεταβολής της ταχύτητας: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Για t = 5 έχουμε:

Απάντηση: 3

Αποφασίστε μόνοι σας:

Το υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα σύμφωνα με το νόμο x (t) = 6t 2 - 48t + 17, όπου Χ- απόσταση από το σημείο αναφοράς σε μέτρα, t- χρόνος σε δευτερόλεπτα, μετρημένος από την έναρξη της κίνησης. Να βρείτε την ταχύτητά του (σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο) τη χρονική στιγμή t = 9 s.

Το υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα σύμφωνα με το νόμο x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, όπου Χt- χρόνος σε δευτερόλεπτα, μετρημένος από την έναρξη της κίνησης. Να βρείτε την ταχύτητά του (σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο) τη χρονική στιγμή t = 6 s.

Το υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με το νόμο

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Οπου Χ- απόσταση από το σημείο αναφοράς σε μέτρα,t- χρόνος σε δευτερόλεπτα, μετρημένος από την έναρξη της κίνησης. Να βρείτε την ταχύτητά του (σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο) τη χρονική στιγμή t = 3 s.

Το υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με το νόμο

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

όπου x είναι η απόσταση από το σημείο αναφοράς σε μέτρα, t είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα που μετράται από την έναρξη της κίνησης. Σε ποιο χρονικό σημείο (σε δευτερόλεπτα) ήταν η ταχύτητά της ίση με 6 m/s;

Ας βρούμε τον νόμο της αλλαγής ταχύτητας:

Για να μάθετε σε ποια χρονική στιγμήtη ταχύτητα ήταν ίση με 3 m / s, είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση:

Απάντηση: 3

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με το νόμο x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, όπου Χ- απόσταση από το σημείο αναφοράς σε μέτρα, t- χρόνος σε δευτερόλεπτα, μετρημένος από την έναρξη της κίνησης. Σε ποιο χρονικό σημείο (σε δευτερόλεπτα) ήταν η ταχύτητά της ίση με 3 m/s;

Το υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με το νόμο

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

Οπου Χ- απόσταση από το σημείο αναφοράς σε μέτρα, t- χρόνος σε δευτερόλεπτα, μετρημένος από την έναρξη της κίνησης. Σε ποιο χρονικό σημείο (σε δευτερόλεπτα) ήταν η ταχύτητά της ίση με 2 m/s;

Σημειώνω ότι η εστίαση μόνο σε αυτό το είδος εργασιών στις εξετάσεις δεν αξίζει τον κόπο. Μπορούν εντελώς απροσδόκητα να εισάγουν εργασίες αντίστροφα από αυτές που παρουσιάζονται. Όταν δοθεί ο νόμος της αλλαγής της ταχύτητας, θα τεθεί το ζήτημα της εύρεσης του νόμου της κίνησης.

Συμβουλή: σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να βρείτε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ταχύτητας (αυτές είναι επίσης εργασίες σε μία ενέργεια). Εάν πρέπει να βρείτε την απόσταση που διανύσατε για ένα συγκεκριμένο χρονικό σημείο, τότε πρέπει να αντικαταστήσετε τον χρόνο στην εξίσωση που προκύπτει και να υπολογίσετε την απόσταση. Ωστόσο, θα αναλύσουμε και τέτοιες εργασίες, μην το χάσετε!Σου εύχομαι επιτυχία!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Μέχρι τώρα, είχαμε συνδέσει την έννοια της παραγώγου με τη γεωμετρική αναπαράσταση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Ωστόσο, θα ήταν χονδροειδές λάθος να περιοριστεί ο ρόλος της έννοιας της παραγώγου μόνο στο πρόβλημα του προσδιορισμού της κλίσης της εφαπτομένης σε μια δεδομένη καμπύλη. Ένα ακόμη πιο σημαντικό έργο από επιστημονική άποψη είναι ο υπολογισμός του ρυθμού μεταβολής οποιασδήποτε ποσότητας f(t), αλλάζοντας με την πάροδο του χρόνου t. Από αυτή την πλευρά ο Νεύτων προσέγγισε τον διαφορικό λογισμό. Ειδικότερα, ο Νεύτωνας προσπάθησε να αναλύσει το φαινόμενο της ταχύτητας, λαμβάνοντας υπόψη τον χρόνο και τη θέση ενός κινούμενου σωματιδίου ως μεταβλητές (σύμφωνα με τον Νεύτωνα, «fluents»). Όταν ένα συγκεκριμένο σωματίδιο κινείται κατά μήκος του άξονα x, τότε η κίνησή του προσδιορίζεται πλήρως, αφού η συνάρτηση είναι δεδομένη x = f(t), υποδεικνύοντας τη θέση του σωματιδίου x οποιαδήποτε στιγμή t. Η «ομοιόμορφη κίνηση» με σταθερή ταχύτητα b στον άξονα x προσδιορίζεται από μια γραμμική συνάρτηση x = a + bt, όπου a είναι η θέση του σωματιδίου στην αρχική στιγμή (για t = 0).

Η κίνηση ενός σωματιδίου σε ένα επίπεδο περιγράφεται ήδη από δύο συναρτήσεις

x = f(t), y = g(t),

που ορίζουν τις συντεταγμένες του ως συνάρτηση του χρόνου. Συγκεκριμένα, δύο γραμμικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε ομοιόμορφη κίνηση

x = a + bt, y = c + dt,

όπου b και d είναι τα δύο "συστατικά" της σταθερής ταχύτητας, και a και c είναι οι συντεταγμένες της αρχικής θέσης του σωματιδίου (στο t = 0) η τροχιά του σωματιδίου είναι μια ευθεία γραμμή, η εξίσωση της οποίας είναι

(x - a) d - (y - c) b = 0

προκύπτει εξαλείφοντας το t από τις δύο παραπάνω σχέσεις.

Εάν ένα σωματίδιο κινείται στο κατακόρυφο επίπεδο x, y υπό την επίδραση μόνο της βαρύτητας, τότε η κίνησή του (αυτό αποδεικνύεται στη στοιχειώδη φυσική) προσδιορίζεται από δύο εξισώσεις

Οπου Α Β Γ Δείναι σταθερές ανάλογα με την κατάσταση του σωματιδίου την αρχική στιγμή, και g είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας, η οποία είναι περίπου 9,81 αν ο χρόνος μετριέται σε δευτερόλεπτα και η απόσταση μετριέται σε μέτρα. Η τροχιά κίνησης που προκύπτει με την εξάλειψη του t από αυτές τις δύο εξισώσεις είναι μια παραβολή

Αν μόνο b≠0; Διαφορετικά, η τροχιά είναι ένα τμήμα του κατακόρυφου άξονα.

Εάν το σωματίδιο αναγκαστεί να κινηθεί κατά μήκος κάποια δεδομένης καμπύλης (ακριβώς όπως ένα τρένο κινείται κατά μήκος σιδηροτροχιών), τότε η κίνησή του μπορεί να προσδιοριστεί από τη συνάρτηση s (t) (συνάρτηση του χρόνου t) ίση με το μήκος του τόξου s που υπολογίζεται κατά μήκος της δεδομένης καμπύλης από κάποιο σημείο εκκίνησης Р 0 στη θέση του σωματιδίου στο σημείο P τη χρονική στιγμή t. Για παράδειγμα, αν μιλάμε για κύκλο μονάδας x 2 + y 2 = 1, μετά η συνάρτηση s = ctκαθορίζει σε αυτόν τον κύκλο μια ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση με ταχύτητα Με.

* Ασκηση. Σχεδιάστε τροχιές επίπεδων κινήσεων που δίνονται από τις εξισώσεις: 1) x \u003d sin t, y \u003d cos t; 2) x = sin 2t, y = cos 3t; 3) x \u003d sin 2t, y \u003d 2 sin 3t; 4) στην παραβολική κίνηση που περιγράφεται παραπάνω, υποθέστε την αρχική θέση του σωματιδίου (στο t = 0) στην αρχή και υποθέστε b>0, d>0. Βρείτε τις συντεταγμένες του υψηλότερου σημείου της τροχιάς. Να βρείτε το χρόνο t και την τιμή x που αντιστοιχεί στη δεύτερη τομή της τροχιάς με τον άξονα x.

Ο πρώτος στόχος του Νεύτωνα ήταν να βρει την ταχύτητα ενός σωματιδίου που κινείται άνισα. Ας εξετάσουμε, για λόγους απλότητας, την κίνηση ενός σωματιδίου κατά μήκος κάποιας ευθείας γραμμής που δίνεται από τη συνάρτηση x = f(t). Εάν η κίνηση ήταν ομοιόμορφη, δηλ. εκτελούνταν με σταθερή ταχύτητα, τότε αυτή η ταχύτητα θα μπορούσε να βρεθεί παίρνοντας δύο στιγμές του χρόνου t και t 1 και τις αντίστοιχες θέσεις των σωματιδίων f(t)Και f(t1)και δημιουργώντας μια σχέση

Για παράδειγμα, αν το t μετριέται σε ώρες και το x σε χιλιόμετρα, τότε t 1 - t \u003d 1διαφορά x 1 - xθα είναι ο αριθμός των χιλιομέτρων που διανύθηκαν σε 1 ώρα και v- ταχύτητα (σε χιλιόμετρα ανά ώρα). Λέγοντας ότι η ταχύτητα είναι μια σταθερή τιμή, εννοούν μόνο ότι η αναλογία διαφοράς

δεν αλλάζει για καμία τιμή των t και t 1 . Αλλά αν η κίνηση είναι ανομοιόμορφη (που συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν ένα σώμα βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση, η ταχύτητα της οποίας αυξάνεται καθώς πέφτει), τότε η σχέση (3) δεν δίνει την τιμή της ταχύτητας τη στιγμή t. , αλλά αντιπροσωπεύει αυτό που συνήθως ονομάζεται μέση ταχύτητα στο χρονικό διάστημα από t έως t 1 . Για να πάρει ταχύτητα την ώρα τ, πρέπει να υπολογίσετε το όριο μέση ταχύτητακαθώς το t 1 τείνει να t. Έτσι, ακολουθώντας τον Νεύτωνα, ορίζουμε την ταχύτητα ως εξής:

Με άλλα λόγια, η ταχύτητα είναι η παράγωγος της διαδρομής που διανύθηκε (οι συντεταγμένες του σωματιδίου στην ευθεία) σε σχέση με το χρόνο ή ο "στιγμιαίος ρυθμός αλλαγής" της διαδρομής σε σχέση με το χρόνο - σε αντίθεση με Μέσηςο ρυθμός μεταβολής που καθορίζεται από τον τύπο (3).

Ο ρυθμός μεταβολής της ίδιας της ταχύτηταςπου ονομάζεται επιτάχυνση.Η επιτάχυνση είναι απλώς μια παράγωγος μιας παραγώγου. συνήθως συμβολίζεται με το σύμβολο f "(t) και καλείται δεύτερο παράγωγοαπό τη συνάρτηση f(t).