Konstruksyon na may mga kumpas at teorya ng pinuno. Mga problemang hindi kayang lutasin ng kumpas at ruler. Konstruksyon ng mga regular na polygon

Ang aralin sa video na "Construction with a compass and ruler" ay naglalaman ng materyal na pang-edukasyon, na siyang batayan para sa paglutas ng mga problema sa konstruksiyon. Ang mga geometric na konstruksyon ay isang mahalagang bahagi ng paglutas ng maraming praktikal na gawain. Halos walang geometric na gawain ang maaaring makumpleto nang walang kakayahang maipakita nang tama ang mga kondisyon sa isang pagguhit. Ang pangunahing layunin ng araling video na ito ay palalimin ang kaalaman ng mag-aaral tungkol sa paggamit ng mga tool sa pagguhit para sa pagbuo ng mga geometric na hugis, upang ipakita ang mga kakayahan ng mga tool na ito, at upang turuan kung paano lutasin ang mga simpleng problema sa konstruksiyon.

Ang pag-aaral gamit ang isang video lesson ay may maraming mga pakinabang, kabilang ang kalinawan at kalinawan ng mga constructions na ginawa, dahil ang materyal ay ipinapakita gamit ang electronic na paraan na malapit sa tunay na konstruksiyon sa board. Ang mga istraktura ay malinaw na nakikita mula sa anumang lugar sa silid-aralan, mahahalagang puntos naka-highlight sa kulay. At pinapalitan ng saliw ng boses ang pagtatanghal ng guro ng isang karaniwang bloke ng materyal na pang-edukasyon.

Nagsisimula ang aralin sa video sa pag-anunsyo ng pamagat ng paksa. Pinapaalalahanan ang mga mag-aaral na mayroon na silang ilang kasanayan sa pagbuo ng mga geometric na hugis. Sa mga nakaraang aralin, nang pinag-aralan ng mga mag-aaral ang mga pangunahing kaalaman ng geometry at pinagkadalubhasaan ang mga konsepto ng isang tuwid na linya, isang punto, isang anggulo, isang segment, isang tatsulok, at gumuhit ng mga segment na katumbas ng data, nagsagawa sila ng mga konstruksyon ng pinakasimpleng geometric figure. Ang ganitong mga konstruksyon ay hindi nangangailangan ng mga kumplikadong kasanayan, ngunit ang tamang pagkumpleto ng mga gawain ay mahalaga para sa karagdagang trabaho sa mga geometric na bagay at paglutas ng mas kumplikadong mga problemang geometriko.

Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng listahan ng mga pangunahing kasangkapan na ginagamit sa paggawa ng mga konstruksyon kapag nilulutas ang mga geometric na problema. Ang mga larawan ay nagpapakita ng scale ruler, isang compass, isang right-angle triangle, at isang protractor.

Pagpapalawak ng pang-unawa ng mga mag-aaral kung paano gaganap iba't ibang uri mga konstruksyon, inirerekomenda silang bigyang-pansin ang mga konstruksyon na isinasagawa nang walang scale ruler, at para sa kanila lamang ang isang compass at isang ruler na walang mga dibisyon ay maaaring gamitin. Nabanggit na ang gayong pangkat ng mga problema sa pagtatayo, kung saan ginagamit lamang ang isang pinuno at isang compass, ay nakikilala nang hiwalay sa geometry.

Upang matukoy kung aling mga geometric na problema ang maaaring malutas gamit ang isang ruler at compass, iminungkahi na isaalang-alang ang mga kakayahan ng mga tool sa pagguhit na ito. Ang isang pinuno ay tumutulong upang gumuhit ng isang di-makatwirang tuwid na linya, upang bumuo ng isang tuwid na linya na dumadaan sa ilang mga punto. Ang compass ay idinisenyo para sa pagguhit ng mga bilog. Sa tulong lamang ng isang compass posible ang pagtatayo ng isang arbitrary na bilog. Gamit ang isang compass, gumuhit din ng isang segment na katumbas ng isang ito. Ang ipinahiwatig na mga kakayahan ng mga tool sa pagguhit ay ginagawang posible upang maisagawa ang isang bilang ng mga gawain sa pagtatayo. Kabilang sa mga katulad na gawain sa pagtatayo:

  1. pagbuo ng isang anggulo na katumbas ng isang ibinigay na isa;
  2. pagguhit ng isang linya na patayo sa ibinigay na isa, na dumadaan sa tinukoy na punto;
  3. paghahati ng isang segment sa dalawang pantay na bahagi;
  4. isang bilang ng iba pang mga gawain sa pagtatayo.

Susunod, iminungkahi na lutasin ang gawain sa pagtatayo gamit ang isang ruler at compass. Ang screen ay nagpapakita ng kondisyon ng problema, na kung saan ay upang i-plot sa isang tiyak na ray ang isang segment na katumbas ng isang tiyak na segment mula sa simula ng ray. Ang solusyon sa problemang ito ay nagsisimula sa pagbuo ng isang arbitrary na segment AB at ray OS. Bilang isang solusyon sa problemang ito, iminungkahi na bumuo ng isang bilog na may radius AB at sentro sa punto O. Pagkatapos ng pagtatayo, ang intersection ng itinayong bilog na may ray OS sa ilang punto D ay nabuo ang sinag na kinakatawan ng segment OD ay isang segment na katumbas ng segment AB. Ang problema ay nalutas.

Ang video lesson na "Construction with a compass and ruler" ay maaaring gamitin kapag ipinaliwanag ng isang guro ang mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng mga praktikal na problema sa konstruksiyon. Maaari mo ring makabisado ang pamamaraang ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng materyal na ito sa iyong sarili. Ang video lesson na ito ay makakatulong din sa guro kapag naglalahad ng materyal sa paksang ito nang malayuan.

Encyclopedic YouTube

    1 / 5

    ✪ Ika-7 baitang, aralin 22, Mga Konstruksyon na may mga compass at ruler

    ✪ Geometry 7 Circle Constructions na may compass at ruler

    ✪ Pagbuo ng isang tatsulok gamit ang dalawang gilid at ang anggulo sa pagitan ng mga ito

    ✪ Geometry 7 Mga halimbawa ng mga problema sa konstruksyon

    ✪ Ika-7 baitang, aralin 23, Mga halimbawa ng mga problema sa pagtatayo

    Mga subtitle

Mga halimbawa

Problema sa bisection. Gumamit ng compass at ruler para hatiin ang segment na ito AB sa dalawang pantay na bahagi. Ang isa sa mga solusyon ay ipinapakita sa figure:

  • Gamit ang isang compass gumuhit kami ng mga bilog na may mga sentro sa mga punto A At B radius AB.
  • Paghahanap ng mga intersection point P At Q dalawang itinayong bilog (mga arko).
  • Gamit ang isang ruler, gumuhit ng isang segment o linya na dumadaan sa mga punto P At Q.
  • Paghahanap ng gustong midpoint ng segment AB- punto ng intersection AB At PQ.

Pormal na kahulugan

Sa mga problema sa konstruksiyon, marami sa mga sumusunod na bagay ang isinasaalang-alang: lahat ng punto ng eroplano, lahat ng tuwid na linya ng eroplano, at lahat ng mga bilog ng eroplano. Sa mga kondisyon ng problema, ang isang tiyak na hanay ng mga bagay ay unang tinukoy (itinuring na itinayo). Pinapayagan na magdagdag (bumuo) sa hanay ng mga itinayong bagay:

  1. di-makatwirang punto;
  2. isang arbitrary na punto sa isang naibigay na linya;
  3. isang arbitrary na punto sa isang ibinigay na bilog;
  4. ang punto ng intersection ng dalawang ibinigay na linya;
  5. mga punto ng intersection/tangency ng isang ibinigay na linya at isang ibinigay na bilog;
  6. mga punto ng intersection/tangency ng dalawang ibinigay na bilog;
  7. isang di-makatwirang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto;
  8. isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto;
  9. isang arbitrary na bilog na may sentro sa isang naibigay na punto;
  10. isang arbitrary na bilog na may radius na katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang ibinigay na mga punto;
  11. isang bilog na may sentro sa isang naibigay na punto at isang radius na katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang ibinigay na mga punto.

Kinakailangan, gamit ang isang may hangganang bilang ng mga operasyong ito, upang bumuo ng isa pang hanay ng mga bagay na nasa isang ibinigay na kaugnayan sa orihinal na hanay.

Ang solusyon sa problema sa pagtatayo ay naglalaman ng tatlong mahahalagang bahagi:

  1. Paglalarawan ng paraan para sa pagbuo ng isang naibigay na set.
  2. Patunay na ang set na binuo sa inilarawang paraan ay talagang nasa isang ibinigay na relasyon sa orihinal na set. Karaniwan ang patunay ng konstruksyon ay isinasagawa bilang isang regular na patunay ng theorem, batay sa mga axiom at iba pang napatunayang theorems.
  3. Pagsusuri ng inilarawang paraan ng pagtatayo para sa pagiging angkop nito sa iba't ibang mga pagpipilian paunang kondisyon, pati na rin para sa pagiging natatangi o hindi natatangi ng solusyon na nakuha ng inilarawang pamamaraan.

Mga Kilalang Isyu

Ang isa pang kilala at hindi malulutas na problema gamit ang isang compass at ruler ay ang pagbuo ng isang tatsulok gamit ang tatlong ibinigay na haba ng mga bisector. Ang problemang ito ay nananatiling hindi malulutas kahit na may isang tool na nagsasagawa ng trisection ng isang anggulo, tulad ng isang tomahawk.

Mga katanggap-tanggap na segment para sa pagtatayo gamit ang compass at ruler

Gamit ang mga tool na ito, posible na bumuo ng isang segment na ang haba ay:

Upang makabuo ng isang segment na may haba ayon sa bilang na katumbas ng produkto, quotient at square root ng mga haba ng ibinigay na mga segment, kinakailangang tumukoy ng isang segment ng unit sa construction plane (iyon ay, isang segment ng haba 1). Ang pag-extract ng mga ugat mula sa mga segment na may iba pang natural na kapangyarihan maliban sa isang kapangyarihan ng 2 ay imposible gamit ang isang compass at ruler. Kaya, halimbawa, imposibleng bumuo ng isang segment ng haba mula sa isang segment ng yunit gamit ang isang compass at isang ruler. Mula sa katotohanang ito, lalo na, sumusunod na ang problema ng pagdodoble ng isang kubo ay hindi malulutas.

Posible at imposibleng mga konstruksyon

Mula sa isang pormal na pananaw, ang solusyon sa anumang problema sa konstruksiyon ay binabawasan sa isang graphical na solusyon ng ilang algebraic equation, at ang mga coefficient ng equation na ito ay nauugnay sa mga haba ng ibinigay na mga segment. Samakatuwid, maaari nating sabihin na ang gawain sa pagtatayo ay bumaba sa paghahanap ng mga tunay na ugat ng ilang algebraic equation.

Samakatuwid, ito ay maginhawa upang pag-usapan ang pagbuo ng isang numero - isang graphical na solusyon sa isang equation ng isang tiyak na uri.

Batay sa mga posibleng konstruksyon ng mga segment, posible ang mga sumusunod na konstruksyon:

  • Pagbuo ng mga solusyon sa mga linear na equation.
  • Pagbuo ng mga solusyon sa mga equation na bumababa sa mga solusyon ng mga quadratic equation.

Sa madaling salita, posible na bumuo lamang ng mga segment na katumbas ng mga expression ng aritmetika gamit ang square root ng orihinal na mga numero (ibinigay na haba ng mga segment).

Mahalagang tandaan na mahalaga na ang desisyon ay dapat ipahayag gamit parisukat mga ugat, hindi mga radikal ng di-makatwirang antas. Kahit na ang isang algebraic equation ay may solusyon sa mga radical, hindi ito sumusunod na posible na bumuo ng isang segment na katumbas ng solusyon nito gamit ang isang compass at ruler. Ang pinakasimpleng equation ay: x 3 − 2 = 0 , (\displaystyle x^(3)-2=0,) nauugnay sa sikat na problema ng pagdodoble ng kubo, na bumababa sa kubiko equation na ito. Tulad ng nabanggit sa itaas, ang solusyon sa equation na ito ( 2 3 (\displaystyle (\sqrt[(3)](2)))) ay hindi maaaring itayo gamit ang isang compass at ruler.

Ang kakayahang bumuo ng isang regular na 17-gon ay sumusunod mula sa expression para sa cosine ng gitnang anggulo ng gilid nito:

cos ⁡ (2 π 17) = − 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + (\displaystyle \cos (\left((\frac (2\pi )(17))\right))=- (\frac (1)(16))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (34-2(\sqrt (17))))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , (\displaystyle +(\frac (1)(8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17))-(\ sqrt (34-2(\sqrt (17))))-2(\sqrt (34+2(\sqrt (17)))))),) na, sa turn, ay sumusunod mula sa posibilidad ng pagbabawas ng isang equation ng form x F n − 1 = 0 , (\displaystyle x^(F_(n))-1=0,) saan F n (\displaystyle F_(n))- anumang prime number Fermat, gamit ang pagbabago ng variable sa isang quadratic equation.

Mga pagkakaiba-iba at paglalahat

  • Mga konstruksyon gamit ang isang compass. Ayon sa Mohr-Mascheroni theorem, sa tulong ng isang compass maaari kang bumuo ng anumang figure na maaaring itayo gamit ang isang compass at isang ruler. Sa kasong ito, ang isang tuwid na linya ay itinuturing na itinayo kung ang dalawang punto ay tinukoy dito.
  • Mga konstruksyon gamit ang isang ruler. Malinaw, sa tulong ng isang solong pinuno, ang mga projective-invariant na konstruksyon lamang ang maaaring isagawa. Sa partikular,
    • imposible kahit na hatiin ang isang segment sa dalawang pantay na bahagi,
    • Imposible ring mahanap ang sentro ng isang bilog.
gayunpaman,
  • Kung mayroong isang paunang iginuhit na bilog sa eroplano na may markang sentro na may isang pinuno, maaari mong isagawa ang parehong mga konstruksyon tulad ng sa isang compass at isang ruler (

Ang materyal sa talatang ito ay maaaring gamitin sa mga elektibong klase. Maaari itong iharap sa mga mag-aaral, kapwa sa anyo ng isang panayam at sa anyo ng mga ulat ng mag-aaral.

Ang mga problema na kilala mula noong sinaunang panahon bilang "mga sikat na problema ng unang panahon" ay nakakuha ng maraming pansin sa maraming siglo. Tatlong sikat na problema ang karaniwang lumitaw sa ilalim ng pangalang ito:

1) parisukat ang bilog,

2) trisection ng anggulo,

3) pagdodoble ng kubo.

Ang lahat ng mga gawaing ito ay lumitaw noong sinaunang panahon mula sa mga praktikal na pangangailangan ng mga tao. Sa unang yugto ng kanilang pag-iral, kumilos sila bilang mga problema sa computational: gamit ang ilang "mga recipe", tinatayang mga halaga ng nais na dami (lugar ng isang bilog, circumference, atbp.) ay kinakalkula. Sa ikalawang yugto ng kasaysayan ng mga problemang ito, ang mga makabuluhang pagbabago sa kanilang kalikasan ay nagaganap: sila ay naging mga geometriko (nakabubuo) na mga problema.

SA Sinaunang Greece sa panahong ito, binigyan sila ng mga klasikal na pormulasyon:

1) bumuo ng isang parisukat na katumbas ng laki sa ibinigay na bilog;

2) hatiin ang anggulong ito sa tatlong pantay na bahagi;

3) bumuo ng isang gilid ng isang bagong kubo, ang dami nito ay magiging dalawang beses kaysa sa ibinigay na kubo.

Ang lahat ng mga geometric na konstruksyon ay iminungkahi na isagawa gamit ang isang compass at ruler.

Ang pagiging simple ng pagbabalangkas ng mga problemang ito at ang "hindi malulutas na mga paghihirap" na nakatagpo sa paraan upang malutas ang mga ito ay nag-ambag sa paglago ng kanilang katanyagan. Sa pagsisikap na magbigay ng mahigpit na solusyon sa mga problemang ito, ang mga sinaunang Griyegong siyentipiko "sa daan" ay nakakuha ng maraming mahahalagang resulta para sa matematika, na nag-ambag sa pagbabago ng magkakaibang kaalaman sa matematika tungo sa isang independiyenteng deduktibong agham (ang Pythagoreans, Hippocrates of Chios at Archimedes ay umalis isang partikular na kapansin-pansing marka sa oras na iyon).

Ang problema ng pagdodoble ng kubo.

Ang problema ng pagdodoble ng isang kubo ay ang mga sumusunod: pag-alam sa gilid ng isang ibinigay na kubo, bumuo ng isang gilid ng isang kubo na ang dami ay magiging dalawang beses sa dami ng ibinigay na kubo.

Hayaang ang a ay ang haba ng gilid ng isang ibinigay na kubo, x ang haba ng gilid ng gustong kubo. Hayaan ang dami ng isang naibigay na kubo, at ang dami ng nais na kubo, pagkatapos, ayon sa pormula para sa pagkalkula ng dami ng isang kubo, mayroon tayo na: =, at dahil, ayon sa mga kondisyon ng problema, tayo dumating sa equation.

Alam mula sa algebra na ang mga nakapangangatwiran na ugat ng ibinigay na equation na may mga integer coefficient ay maaari lamang maging integer at mapabilang sa mga divisors ng libreng termino ng equation. Ngunit ang tanging divisors ng numero 2 ay ang mga numerong +1, - 1, +2, - 2, at wala sa mga ito ang nakakatugon sa orihinal na equation. Samakatuwid, ang equation ay walang makatwirang mga ugat, na nangangahulugan na ang problema ng pagdodoble ng isang kubo ay hindi malulutas gamit ang isang compass at ruler.

Ang problema ng pagdodoble ng isang kubo gamit ang isang compass at ruler ay maaari lamang malutas nang humigit-kumulang. Narito ang isa sa pinaka mga simpleng paraan tinatayang solusyon sa problemang ito.

Hayaan ang AB=BC=a, at ABC. Binubuo namin ang AD=AC, pagkatapos ay ang CD na may katumpakan na 1%. Sa katunayan, ang CD 1.2586…. Sa parehong oras = 1.2599….

Ang problema ng pag-squaring ng bilog.

Ang pagbibigay-katwiran sa hindi kalutasan ng problema gamit ang isang compass at ruler.

Ang problema ng pag-squaring ng isang bilog ay ang mga sumusunod: bumuo ng isang parisukat na katumbas ng laki ng bilog.

Hayaan ang radius ng ibinigay na bilog, at hayaan ang haba ng gilid ng gustong parisukat. Pagkatapos, mula dito.

Dahil dito, malulutas ang problema ng pag-squaring ng bilog kung gagawa tayo ng isang segment ng haba. Kung ang radius ng isang partikular na bilog ay kinuha bilang isang segment ng yunit (=1), kung gayon ang bagay ay mababawasan sa pagbuo ng isang segment ng haba mula sa isang segment ng yunit.

Tulad ng nalalaman, ang pag-alam sa isang segment ng yunit, maaari tayong gumamit ng isang compass at ruler upang bumuo lamang ng mga segment na ang mga haba ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga rational na numero gamit ang isang may hangganan na hanay ng mga rational na operasyon at pagkuha ng mga square root at, samakatuwid, ay mga algebraic na numero. Sa kasong ito, hindi lahat ng algebraic na numero ay gagamitin. Halimbawa, hindi ka makakagawa ng segment ng haba, atbp.

Noong 1882, pinatunayan ni Lindemann na ito ay transendental. Ito ay sumusunod na imposibleng bumuo ng isang segment ng haba na may isang compass at isang ruler at, samakatuwid, sa mga ibig sabihin nito ang problema ng pag-squaring ng isang bilog ay hindi malulutas.

Tinatayang solusyon ng problema gamit ang compass at ruler.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga diskarte para sa tinatayang pagtatayo ng mga segment ng haba. Ang pamamaraan na ito ay ang mga sumusunod. Ang isang-kapat ng bilog na AB na may sentro sa punto O at isang radius na katumbas ng isa ay nahahati sa kalahati sa pamamagitan ng punto C. Sa pagpapatuloy ng diameter CD, tinanggal namin ang isang segment DE na katumbas ng radius. Mula sa punto E gumuhit kami ng mga sinag na EA at EB hanggang sa mag-intersect sila sa tangent sa punto C. Ang cut segment AB ay humigit-kumulang katumbas ng haba ng arc AB, at ang dobleng segment ay katumbas ng kalahating bilog.

Ang relatibong error ng approximation na ito ay hindi lalampas sa 0.227%.

Problema sa trisection ng anggulo.

Ang pagbibigay-katwiran sa hindi kalutasan ng problema gamit ang isang compass at ruler.

Ang problema sa trisection ng anggulo ay ang mga sumusunod: Hatiin ang anggulong ito sa tatlong pantay na bahagi.

Limitahan natin ang ating sarili sa paglutas ng problema para sa mga anggulo na hindi hihigit sa 90. Kung ang anggulo ay malabo, kung gayon =180-, kung saan<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Tandaan na (sa pagkakaroon ng isang segment ng yunit) ang problema ng pagbuo ng anggulo (90) ay katumbas ng problema ng pagbuo ng segment x=cos. Sa katunayan, kung ang anggulo ay itinayo, kung gayon ang pagtatayo ng segment x = cos ay nabawasan sa pagbuo ng isang tamang tatsulok gamit ang hypotenuse at isang matinding anggulo.

Bumalik. Kung ang isang segment x ay itinayo, kung gayon ang pagbuo ng isang anggulo na ang x = cos ay nabawasan sa pagbuo ng isang tamang tatsulok gamit ang hypotenuse at binti.

Hayaan ang ibinigay na anggulo at ang nais na anggulo, kaya =. Pagkatapos cos=cos 3. Ito ay kilala na cos 3= 4cos-3cos. Samakatuwid, sa pag-aakalang cos = at cos =, dumating tayo sa equation:

cos =4cos-3cos,

Ang isang segment, at samakatuwid ay isang anggulo, ay mabubuo lamang kung ang equation na ito ay may hindi bababa sa isang rational root. Ngunit hindi ito nangyayari para sa lahat, at samakatuwid ang problema ng trisection ng isang anggulo, sa pangkalahatan, ay hindi malulutas gamit ang isang compass at isang ruler. Halimbawa. Sa =60 nakukuha natin ang =1 at ang nahanap na equation ay nasa anyong: . Madaling i-verify na ang equation na ito ay walang anumang makatwirang ugat, na nangangahulugan na imposibleng hatiin ang isang anggulo ng 60 sa tatlong pantay na bahagi gamit ang isang compass at ruler. Kaya, ang problema ng trisection ng isang anggulo ay hindi malulutas sa isang compass at isang ruler sa pangkalahatang anyo.

Tinatayang solusyon ng problema gamit ang compass at ruler.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga pamamaraan para sa tinatayang solusyon ng problema gamit ang isang compass at ruler, na iminungkahi ni Albert Durer (1471-1528).

Hayaang ibigay ang anggulong ASB. Mula sa vertex S inilalarawan namin ang isang bilog na may di-makatwirang radius at ikinonekta ang mga punto ng intersection ng mga gilid ng anggulo sa bilog sa pamamagitan ng chord AB. Hinahati namin ang chord na ito sa tatlong pantay na bahagi sa mga puntong R at R (A R = R R = RB). Mula sa mga puntong A at B, tulad ng mula sa mga sentro, na may radii A R = RB, inilalarawan natin ang mga arko na nagsasalubong sa bilog sa mga puntong T at T. Isagawa natin ang RSAB. Sa radii A S= BS gumuhit kami ng mga arko na nagsasalubong sa AB sa mga puntong U at U. Ang mga arko AT, SS at TB ay pantay sa isa't isa, dahil ang mga ito ay nasa ilalim ng pantay na mga kuwerdas.

Upang mahanap ang mga trisection point ng anggulo X at X, hinahati ni Dürer ang mga segment na RU at RU sa tatlong pantay na bahagi ng mga puntos na PV at PV. Pagkatapos ay gumuhit kami ng mga arko na may radii AV at BV na nagsalubong sa bilog sa mga puntong X at X. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito sa S, nakukuha namin ang dibisyon ng anggulong ito sa tatlong pantay na bahagi na may magandang pagtatantya sa mga tunay na halaga.

I. Panimula.

II. Pangunahing bahagi:

    Pagbuo ng isang segment na katumbas ng produkto ng dalawang iba pa gamit ang isang compass at ruler:

    1. unang paraan ng pagtatayo;

      pangalawang paraan ng pagtatayo;

      ikatlong paraan ng pagtatayo,

d) ikaapat na paraan ng pagtatayo.

2) Pagbuo ng isang segment na katumbas ng ratio ng iba pang dalawa gamit ang isang compass at ruler:

      unang paraan ng pagtatayo;

      pangalawang paraan ng pagtatayo.

Konklusyon.

Aplikasyon.

Panimula

Ang geometric constructions, o ang teorya ng geometric constructions, ay isang seksyon ng geometry kung saan ang mga tanong at pamamaraan para sa pagbuo ng mga geometric na figure ay pinag-aaralan, gamit ang ilang partikular na elemento ng construction. Ang mga geometriko na konstruksyon ay pinag-aaralan kapwa sa Euclidean geometry at sa iba pang mga geometry, kapwa sa eroplano at sa kalawakan. Ang mga klasikong kasangkapan sa pagtatayo ay isang compass at isang ruler (one-sided mathematical), gayunpaman, may mga constructions na may iba pang mga tool: isang compass lamang, isang ruler lamang, kung ang isang bilog at ang sentro nito ay iguguhit sa eroplano, isang ruler lamang ang may magkatulad na mga gilid, atbp.

Ang lahat ng mga problema sa konstruksiyon ay batay sa mga postulate ng konstruksiyon, iyon ay, sa pinakasimpleng mga problema sa elementarya sa konstruksiyon, at ang problema ay itinuturing na nalutas kung ito ay nabawasan sa isang may hangganang bilang ng mga simpleng problemang postulate.

Naturally, ang bawat instrumento ay may sariling nakabubuo na puwersa - ang sarili nitong hanay ng mga postulate. Kaya, alam na imposibleng hatiin ang isang segment sa dalawang pantay na bahagi gamit lamang ang isang ruler, ngunit posible ang paggamit ng compass.

Ang sining ng pagbuo ng mga geometric na figure gamit ang mga compass at ruler ay lubos na binuo sa sinaunang Greece. Isa sa pinakamahirap na gawain sa pagtatayo, na nagawa na nila noon, ay ang pagbuo ng isang bilog na tangent sa tatlong ibinigay na mga bilog.

Sa paaralan sila ay nag-aaral ng ilang mga simpleng constructions na may mga compass at isang ruler (isang panig na walang mga dibisyon): pagbuo ng isang linya na dumadaan sa isang tiyak na punto at patayo o parallel sa isang ibinigay na linya; paghahati ng isang naibigay na anggulo sa kalahati, paghahati ng isang segment sa maraming pantay na bahagi, gamit ang teorama ni Thales (sa esensya, paghahati ng isang segment sa isang natural na numero); pagbuo ng isang segment na mas malaki kaysa sa ibinigay na isa sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng mga beses (sa pangkalahatan, pagpaparami ng isang segment sa isang natural na numero). Gayunpaman, hindi pa kami nakatagpo ng problema kung saan kakailanganin naming gumamit ng compass at ruler upang i-multiply ang isang segment sa isang segment, iyon ay, upang bumuo ng isang segment na katumbas ng produkto ng dalawang ibinigay na mga segment, o upang hatiin ang isang segment sa isang segment, iyon ay, upang bumuo ng isang segment na katumbas ng ratio ng dalawang iba pang mga segment. Natagpuan namin ang problemang ito na napaka-interesante, at nagpasya kaming siyasatin ito, subukang maghanap ng solusyon at ang posibilidad ng paglalapat ng nahanap na paraan ng solusyon sa paglutas ng iba pang mga problema, halimbawa, sa matematika at pisika.

Kapag nilulutas ang mga problema sa konstruksiyon, ang tradisyonal na pamamaraan ay nagrerekomenda ng apat na yugto: pagsusuri, pagtatayo, patunay at pananaliksik. Gayunpaman, ang pamamaraan na ito para sa paglutas ng mga problema sa konstruksiyon ay itinuturing na napaka-akademiko, at ang pagpapatupad nito ay nangangailangan ng maraming oras, kaya madalas ang ilang mga yugto ng tradisyonal na pamamaraan para sa paglutas ng isang problema ay tinanggal, halimbawa, ang mga yugto ng patunay at pananaliksik. Sa aming trabaho, hangga't maaari, ginamit namin ang lahat ng apat na yugto, at kahit na pagkatapos lamang kung saan may pangangailangan at kapakinabangan.

At panghuli: ang paraan na nakita namin para sa pagbuo ng nabanggit na mga segment ay nagsasangkot ng paggamit, bilang karagdagan sa isang compass at ruler, ng isang arbitraryong napiling bahagi ng yunit. Ang pagpapakilala ng isang segment ng unit ay dinidiktahan din ng katotohanang kinakailangan ito kahit man lang upang makumpirma ang bisa ng paraan na aming nahanap para sa paghahanap ng isang segment gamit ang mga partikular na partikular na halimbawa.

PANGKALAHATANG SULIRANIN I

Gamit ang isang compass at ruler, bumuo ng isang segment na katumbas ng produkto ng dalawang iba pang mga segment.

Tandaan:

dapat:

    Ang pinuno ay isang panig, walang mga dibisyon.

    Ang isang bahagi ng haba ng yunit ay ibinigay.

Mag-aral.

1. Isaalang-alang ang mga linyang y=2x-2 2 at y=3x-3 2 at subukang hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito gamit ang mga geometric at analytical na pamamaraan:

A
) pamamaraang geometriko ( Fig.1) ay nagpakita na ang mga coordinate ng point A ng intersection ng mga linyang ito: "5" ay ang abscissa, "6" ay ang ordinate, i.e. AE=5, AD=6.

b) kinukumpirma ng analytical na paraan ang resultang ito, i.e. Ang A (5;6) ay ang punto ng intersection ng mga linya.

Sa katunayan, nalutas ang sistema ng mga equation

y=6 A(5;6) - punto ng intersection ng mga linya.

2. Isaalang-alang ang segment: OB=2, OS=3, AD=6, AE=5.

Maaaring ipagpalagay na ang BP = OV × OS, dahil 6=2x3; AE=OB+OS, kasi 5=2+3 , kung saan

2=OB ay ang angular coefficient ng equation y=2x-2 2, 3=OS ang angular coefficient ng equation y=3x-3 2, AD=y A, OD=x A ay ang mga coordinate ng point A ng ang intersection ng aming mga linya.

Suriin natin ang aming palagay gamit ang isang pangkalahatang halimbawa gamit ang analytical method, i.e. sa mga equation ng mga linya y=mx-m 2 at y=nx-n 2 (kung saan m≠n) sinusuri namin na ang punto ng intersection ng mga linya ay may mga coordinate:

y=nx-n 2 nx-n 2 =mx-m 2 x=(m 2 -n 2)÷(m-n)=m+n at y=mx-m 2 =m(m+n)-m 2 = mn

mga coordinate ng point A ng intersection ng mga linya, kung saan ang m at n ay ang mga angular coefficient ng mga linyang ito, atbp.

3. Ito ay nananatiling makahanap ng isang paraan para sa pagbuo ng isang segment. AD=OB×OS=m∙n=y A - mga ordinate ng punto A ng intersection ng mga tuwid na linya Y=mx-m 2 at Y=nx-n 2, kung saan ang m≠n at m=OB, n=OC ay mga segment na naka-plot sa axis Oh. At para dito kailangan nating maghanap ng paraan para sa pagbuo ng mga tuwid na linya Y=mx-m 2 at Y=nx-n 2. Mula sa pangangatwiran ay malinaw na ang mga tuwid na linyang ito ay dapat dumaan sa mga punto B at C ng mga segment na OB=m at OC=n, na nabibilang sa axis ng baka.

Tandaan 1. Ang mga pagtatalaga sa itaas ng mga segment ay tumutugma sa Fig. 1 "Mga Appendice"

Unang paraan pagbuo ng segment AD=mn, kung saan m>1 unit, n>1 unit, m≠n.

segment ng yunit

arbitrary na segment, m>1 unit, n>1 unit.

n ay isang arbitrary na segment, kung saan ang m≠n.

Konstruksyon (Fig.2)

    Gumawa tayo ng direktang OX

    Lagyan natin ng OA 1 ang OX = m

    Sa OX inilalagay namin ang A 1 C 1 = 1 unit

    Buuin natin ang C 1 B 1 =m, kung saan ang C 1 B 1 ┴ OX

    Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya A 1 B 1, ang equation na kung saan ay y=mx-m 2 sa XOU coordinate axes (ang sukat sa mga axes ay pareho).

Tandaan:


Fig.2

Tandaan 1.

Sa katunayan, ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linyang ito ay tgά 1 = C 1 B 1 /A 1 C 1 =m/1ed=m, na dumadaan sa punto A 1 ng segment OA 1 =m.

Katulad nito, bumuo kami ng isang tuwid na linya, ang equation na kung saan ay Y = nx-n 2.

6. Sa axis ng OX ay nag-plot kami ng OA 2 =n (point A 2 accidentally coincided with point C1).

7. Sa axis ng OX inilalagay namin ang A 2 C 2 = 1 unit.

8. Buuin ang B 2 C 2 =n, kung saan B 2 C 2 ┴ OX.

9. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya B 2 A 2, ang equation nito ay Y = nx-n 2.

Tandaan 2. Sa katunayan, ang padaplis ng slope ng tuwid na linyang ito ay tg ά 2 =C 2 B 2 /A 2 C 2 =n/1ed=n, na dumadaan sa punto A 2 ng segment OA 2 =n.

10. Nakatanggap kami ng t.A (m+n; mn) – ang punto ng intersection ng mga linyang Y=mx-m 2 at Y=nx-n 2

11. Iguhit natin ang AD patayo sa x, kung saan ang D ay kabilang sa x axis.

12. Segment AD=mn (ordinate ng point A), i.e. ang kinakailangang segment.

Tandaan 3. a) sa katunayan, kung sa aming halimbawa, n = 4 na mga yunit, m = 3 mga yunit, pagkatapos ay dapat mayroong AD = mn = 3 mga yunit ∙ 4 na mga yunit = 12 mga yunit. Ito ang nangyari sa atin: BP = 12 units; b) tuwid na linya B 1 B 2 ay hindi ginamit sa konstruksiyon na ito. Sa B - masyadong.

Mayroong hindi bababa sa tatlo pa iba't ibang paraan pagbuo ng segment AD=mn.

Pangalawang paraan pagbuo ng segment AD=mn, Saanm>1 unit,n>1 unit,mAtn– anumang.

Pagsusuri

Pagsusuri ng dati nang ginawang pagguhit (Larawan 2), kung saan gamit ang natagpuang paraan ng paggawa ng mga tuwid na linya Y=mx-m 2 at Y=nx-n 2 ay natagpuan nila ang t.A (m+n; mn) (ito ang unang paraan ), ay nagmumungkahi na ang t.A(m+n; mn) ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagbuo ng alinman sa mga tuwid na linyang ito (Y=mx-m 2 o Y=nx-n 2) at ang perpendikular na AD, kung saan ang AD ay patayo sa OX, AD =mn, D ay kabilang sa axis OH. Kung gayon ang kinakailangang punto A (m+n; mn) ay ang intersection point ng alinman sa mga linyang ito at ang perpendikular na AD. Ito ay sapat na upang mahanap ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga tuwid na linya na ito, ang mga tangent kung saan, ayon sa mga angular coefficient, ay katumbas ng m at n, i.e. tg ά 1= m at tg ά 2 =n. Isinasaalang-alang na ang tg ά 1 =m/1unit=m at tg ά 2 =n/1unit=n, kung saan ang 1unit ay isang unit segment, madali kang makakagawa ng mga tuwid na linya na ang mga equation ay Y=mx-m 2 at Y=nx-n 2.

segment ng yunit

n n>1 unit, m at n ay anumang mga numero.

P

konstruksiyon (Larawan 3)

Fig.3

1. Isagawa natin ang direktang OX.

2. Sa axis ng OX ay inilalagay namin ang segment na OA 1 =m.

3. Sa axis ng OX ay inilalagay namin ang segment A 1 D = n.

4. Sa axis ng OX ay inilalagay namin ang segment A 1 C 1 = 1 unit.

5. Binubuo namin ang C 1 B 1 = m, kung saan ang C 1 B 1 ┴ OX.

6. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya A1B1, ang equation na kung saan ay Y = mx-m2, sa XOU coordinate axes (ang sukat sa mga axes ay pareho).

7. Ibalik ang patayo sa OX sa punto D.

8. Nakukuha namin ang point A (m+n; mn) - ang punto ng intersection ng tuwid na linya Y=mx-m2 at ang perpendicular AD

9.Segment AD=mn, iyon ay, ang kinakailangang segment.

Konklusyon: Ang pangalawang pamamaraan na ito ay mas unibersal kaysa sa unang pamamaraan, dahil pinapayagan ka nitong mahanap ang puntong A(m+n;mn) at kapag m=n>1 unit, ang mga coordinate ng puntong ito ay A(2m;m 2) at AD=m 2.

Sa madaling salita, pinapayagan ka ng pamamaraang ito na makahanap ng isang segment na katumbas ng parisukat ng ibinigay na isa, ang haba nito ay higit sa 1 yunit.

Komento: Sa katunayan, kung sa aming halimbawa m = 3 yunit, n = 5 yunit, dapat itong AD = mn = 3 yunit × 5 yunit = 15 yunit. Ito ang nakuha namin: AD=15 units.

Pangatlong paraan pagbuo ng isang segmentAD= mn, Saanm>1 unit,n>1 unit atm≠ n.

Gamit ang figure No. 2, gumuhit kami ng putol-putol na linya na may tuwid na linya B 1 B 2 patungo sa intersection na may OX sa punto E € OX, at isang tuwid na linya B 1 B ┴ B 2 C 2, pagkatapos

B 1 B=C 1 C 2 =OS 2 -OS 1 =(n+1 unit)-(m+1 unit)=n-m, at B 2 B=B 2 C 2 -B 1 C 1 =m-n => B 1 В=В 2 В=>∆В 1 ВВ 2 - isosceles, rectangular>∆EC 1 В 1 - isosceles, rectangular => ά=45º

kasi OS 1 =m+1 units, at EC 1 =B 1 C 1 =m, pagkatapos ay OE=OS 1 -EC 1 =m+1 units-m=1 units.

Mula sa pangangatwiran ay sumusunod na ang mga puntos B 1 at B 2 ay maaaring matagpuan nang magkaiba, dahil ang mga ito ay ang mga punto ng intersection ng tuwid na linya EB 1 na iginuhit sa isang anggulo ά = 45º sa axis ng OX at mga patayo sa OX: B 1 C 1 at B 2 C 2, at OE = 1 unit Dagdag pa, gamit ang mga naunang pamamaraan , magkakaroon tayo ng sumusunod na paraan ng pagtatayo.

Isang segment.

n n>1 unit, at m≠n.

Konstruksyon (Larawan 4)

1. Isagawa natin ang direktang OX.

7. Itabi ang OA 2 =n, kung saan A 2 € OX.

8. Itabi ang A 2 C 2 = 1 unit, kung saan C 2 € OX.

9. Ibalik natin ang patayo C 2 B 2 sa OX axis sa punto C 2, kung saan ang B 2 ay ang punto ng intersection ng patayo na may tuwid na linya EB 1.

10. Gumuhit kami ng isang linya A 2 B 2, ang equation na kung saan ay Y = nx-n 2, hanggang sa mag-intersect ito sa linya A 1 B 1 sa punto A.

11. Ibinababa namin ang isang patayo sa OX mula sa punto A at makakuha ng AD na katumbas ng mn, kung saan ang D € OX, dahil sa mga coordinate planes ang XOU axes ang mga coordinate ng point A ay (m+n;mn).


Fig.4

Komento: Ang kawalan ng pamamaraang ito ay kapareho ng sa unang paraan ng pagtatayo, kung saan ang pagtatayo ay posible lamang sa ilalim ng kondisyong m≠n.

Ikaapat na paraan pagbuo ng isang segmentAD= mn, SaanmAtn- anuman, mas malaki sa isang segment.

Isang segment.

n n>1 unit, m at n ay anuman.

Konstruksyon (Larawan 5)


Fig.5

1. Isagawa natin ang direktang OX.

2. Itabi ang OE = 1 unit, kung saan E € OX.

3. Piliin ang EC 1 =m, kung saan C 1 € OX.

4. Ibalik ang patayo sa punto C 1 sa axis ng OX.

5. Buuin natin ang ά=C 1 EB 1 =45º, kung saan ang B 1 ay ang punto ng intersection ng patayo C 1 B 1 na may gilid na ά=45º.

6. Pagtabi ng OA 1 =m, gumuhit kami ng isang tuwid na linya A 1 B 1, ang equation na kung saan ay Y = mx-m 2, A € OX.

7. Itabi ang A 1 D=n, kung saan D € OX.

8. Ibalik natin ang patayo sa punto D hanggang sa mag-intersect ito sa punto A na may tuwid na linya A 1 B 1, na ang equation ay Y=mx-m 2.

9. Perpendicular segment AD = ang produkto ng mga segment na m at n, iyon ay, AD=mn, mula noong A (m+n; mn).

Komento: Ang pamamaraang ito ay maihahambing sa una at pangatlong pamamaraan, kung saan m≠n, dahil nakikitungo tayo sa anumang mga segment m at n, ang isang yunit ng segment ay maaaring mas mababa sa isa lamang sa mga ito na kasangkot sa simula ng konstruksiyon (mayroon kaming m> 1 yunit).

Pangkalahatang suliranin II

Gamit ang isang compass at ruler, bumuo ng isang segment na katumbas ng ratio ng dalawang iba pang mga segment.

Tandaan:

Ang segment ng unit ay mas mababa kaysa sa segment ng divisor.

Ang unang paraan upang bumuo ng isang segmentn= k/ m, Saanm>1 unit

Isang segment.

Konstruksyon (Larawan 6)

2. Sa op-amp inilalagay namin ang OM = k.

3. Sa OX inilalagay namin ang OA 1 = m.

4. Sa OX inilalagay namin ang A 1 C 1 = 1 unit.

5. Buuin natin ang C 1 B 1 =m, kung saan ang C 1 B 1 ┴ OX.

6. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya A 1 B 1, ang equation nito ay y=mx-m 2 sa XOU coordinate axes (ang sukat sa mga axes ay pareho, katumbas ng 1 unit).

7. Ibalik natin ang perpendikular ng MA sa punto M sa axis OU, kung saan ang A ay ang punto ng intersection ng MA na may tuwid na linya A 1 B 1 (i.e. A € A 1 B 1).

8. Ibaba natin ang isang patayo mula sa punto A hanggang sa axis ng OX hanggang sa mag-intersect ito sa axis ng OX sa punto D. Segment AD=OM=k=mn.

9.Segment A 1 D= n - ang kinakailangang segment na katumbas ng n=k/m.

R ay.6

Patunay:

1. Ang equation ng straight line A 1 B 1 ay valid Y=mx-m 2, na may Y=0 mayroon tayong 0=mx-m 2 => x=m=OA 1, at ang slope ay tg

2.B ∆ADA 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 =>A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k×1 units/m= mn/m=n, ibig sabihin. At 1 D=n=k/m ang kinakailangang segment.

Magkomento. Sa katunayan, kung sa ating halimbawa m=3 unit, k=15 units, dapat ay A 1 D=n=k/m=15 units/3 units=5 units. Ganun ang nangyari sa amin.

Pangalawang paraan pagbuo ng isang segmentn= k/ m, Saanm>1 unit

Isang segment.



Fig.7

1. Buuin ang XOU coordinate axes.

2. Sa op-amp inilalagay namin ang OM = k.

3. Itabi ang OE = 1 unit, kung saan E € OX.

4. Itabi ang EC 1 =m, kung saan C 1 € OX.

5. Ibalik ang patayo sa punto C 1 sa axis ng OX.

6. Binubuo namin ang C 1 EB 1 = 45º, kung saan ang B 1 ay ang punto ng intersection ng perpendicular C 1 B 1 na may gilid ng anggulo C 1 EB 1 = 45º.

7. Sa OX inilalagay namin ang OA 1 = m.

8. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya A 1 B 1, ang equation na kung saan ay y=mx-m 2 sa XOU coordinate axes (ang sukat sa mga axes ay pareho, katumbas ng 1 unit).

9. Ibalik natin ang perpendikular ng MA sa punto M sa axis OU, kung saan ang A ay ang punto ng intersection ng MA na may tuwid na linya A 1 B 1 (i.e. A € A 1 B 1).

10. Ibaba natin ang isang patayo mula sa punto A hanggang sa axis ng OX hanggang sa mag-intersect ito sa axis ng OX sa punto D. Segment AD=OM=k=mn.

11.Segment A 1 D=n - ang kinakailangang segment na katumbas ng n=k/m.

Patunay:

1.∆B 1 C 1 E - hugis-parihaba at isosceles, dahil C 1 EB 1 =45º =>B 1 C 1 =EC 1 =m.

2.A 1 C 1 =OS 1 - OA 1 =(OE+EC1) - OA 1 =1 unit+m-m=1 unit.

3. Ang equation ng straight line A 1 B 1 ay talagang Y=mx-m 2, na may Y=0 mayroon tayong 0=mx-m 2 => x=m=OA 1, at ang slope ay tg

4.B ∆ADA 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 => A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k ×1 unit/m= mn/m=n, ibig sabihin. At 1 D=n=k/m ang kinakailangang segment.

Konklusyon

Sa aming trabaho, natagpuan at ginalugad namin ang iba't ibang mga pamamaraan para sa pagbuo, gamit ang isang compass at isang ruler, isang segment na katumbas ng produkto o ratio ng dalawang iba pang mga segment, na dati nang naibigay ang aming kahulugan ng mga aksyon na ito na may mga segment, dahil sa walang espesyal na literatura kami hindi lamang makahanap ng kahulugan ng multiplikasyon at paghahati ng mga segment, ngunit kahit na binanggit ang mga operasyong ito sa mga segment.

Dito ginamit namin ang halos lahat ng apat na yugto: pagsusuri, pagbuo, patunay at pananaliksik.

Sa konklusyon, nais naming tandaan ang posibilidad ng paggamit ng mga nahanap na pamamaraan para sa pagbuo ng mga segment sa ilang mga sangay ng pisika at matematika.

1. Kung pinahaba mo ang mga tuwid na linya y=mx-m 2 at y=nx-n 2 (n>m>0) sa intersection na may OU axis, maaari kang makakuha ng mga segment na katumbas ng m 2 , n 2 , n 2 - m 2 (Fig.8), kung saan OK=m 2, OM= n 2, KM= n 2 - m 2.

R
ay.8

Patunay:

Kung x=0, kung gayon y=0-m 2 =>OK=m 2.

Parehong napatunayan na OM = n 2 => KM = OM-OK = n 2 - m 2 .

2. Dahil ang produkto ng dalawang mga segment ay ang lugar ng isang rektanggulo na may mga gilid na katumbas ng mga segment na ito, kung gayon, na natagpuan ang isang segment na katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, sa gayon ay kinakatawan namin ang lugar ng rektanggulo sa anyo ng isang segment na ang haba ay katumbas ng bilang sa lugar na ito.

3. Sa mechanics at thermodynamics, may mga pisikal na dami, halimbawa, trabaho (A = FS, A = PV), na ayon sa bilang ay katumbas ng mga lugar ng mga parihaba na itinayo sa kaukulang mga coordinate na eroplano, samakatuwid, sa mga gawain kung saan kinakailangan , halimbawa, upang ihambing ang trabaho ayon sa lugar ng mga parihaba, napakadaling gawin ito kung ang mga lugar na ito ay kinakatawan sa anyo ng mga segment na ayon sa numero ay katumbas ng mga lugar ng mga parihaba. At ang mga segment ay madaling ihambing sa bawat isa.

4. Ang itinuturing na paraan ng pagtatayo ay nagpapahintulot sa iyo na bumuo ng iba pang mga segment, halimbawa, gamit ang sistema ng mga equation y=mx-m 3 at y=nx-n 3, maaari kang bumuo ng mga segment na may data m at n tulad ng m 2 +mn +n 2 at mn(m+n), dahil ang punto A ng intersection ng mga linya na tinukoy ng sistemang ito ng mga equation ay may mga coordinate (m 2 +mn+n 2 ; mn(m+n), at posible ring bumuo mga segment n 3 , m 3 , at ang pagkakaiba n 3 - m 3 na nakuha sa op-amp sa negatibong rehiyon sa X=0.

Gumagana. ... tulong kumpas At mga pinuno. Algoritmo ng dibisyon segment AB sa kalahati: 1) ilagay ang binti kumpas sa punto A; 2) i-install ang solusyon kumpas pantay haba segment ...

  • Talambuhay ni Pythagoras

    Talambuhay >> Matematika

    ... pagtatayo regular na mga geometric na hugis na may sa tulong kumpas At mga pinuno. ... tulong kumpas At mga pinuno. Higit sa dalawa ... katumbas ng b/4+p, ang isang binti ay katumbas ng b/4, at isa pa b/2-p. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mayroon tayo: (b/4+p)=(b/4)+(b/4-p) o ...

    • Kung ito ay natural na sa pamamagitan ng allowance ng isang mas malawak na iba't ibang mga tool ay nagiging posible upang malutas ang isang mas malaking hanay ng mga problema sa konstruksiyon, pagkatapos ay maaaring mahulaan ng isa na, sa kabaligtaran, sa mga paghihigpit na ipinataw sa mga tool, ang klase ng mga malulutas na problema. ay makitid. Ang lahat ng mas kapansin-pansin ay dapat isaalang-alang ang pagtuklas na ginawa ng Italyano Mascheroni (1750-1800):lahat ng geometric na konstruksyon na maaaring gawin gamit ang isang compass at straightedge ay maaaring gawin sa isang compass lamang. Siyempre, dapat tandaan na imposibleng aktwal na gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng dalawang ibinigay na mga punto nang walang ruler, kaya ang pangunahing konstruksyon na ito ay hindi sakop ng teorya ni Mascheroni. Sa halip, kailangan nating ipagpalagay na ang isang linya ay ibinibigay kung ang dalawa sa mga punto nito ay ibinigay. Ngunit sa tulong lamang ng isang compass posible na mahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya na tinukoy sa paraang ito, o ang punto ng intersection ng isang linya na may bilog.

    Marahil ang pinakasimpleng halimbawa ng pagtatayo ng Mascheroni ay ang pagdodoble ng isang partikular na segment AB. Ang solusyon ay naibigay na sa pp. 174-175. Dagdag pa, sa pp. 175-176 natutunan namin kung paano hatiin ang segment na ito sa kalahati. Tingnan natin ngayon kung paano hatiin ang arko ng isang bilog na AB na may gitnang O sa kalahati. Sa radius AO gumuhit kami ng dalawang arko na may mga sentro A at B. Mula sa punto O inilalagay namin sa mga arko na ito ang dalawang arko na OP at OQ na OP = OQ = AB. Pagkatapos ay nakita namin ang intersection point R ng arc na may center P at radius РВ at ang arc na may center Q at radius QA. Sa wakas, ang pagkuha ng segment OR bilang radius, inilalarawan namin ang isang arko na may sentro P o Q hanggang sa mag-intersect ito sa arc AB - ang intersection point ay ang nais na midpoint ng arc AB. Iniiwan namin ang patunay bilang ehersisyo sa mambabasa.

    Imposibleng patunayan ang pangunahing pahayag ni Mascheroni sa pamamagitan ng pagpapakita, para sa bawat pagtatayo na maaaring gawin gamit ang isang compass at straightedge, kung paano ito magagawa sa isang compass lamang: pagkatapos ng lahat, ang mga posibleng konstruksyon ay hindi mabilang. Ngunit makakamit natin ang parehong layunin kung itatatag natin na ang bawat isa sa mga sumusunod na pangunahing konstruksyon ay magagawa gamit ang isang kumpas:

    1. Gumuhit ng bilog kung ang sentro at radius nito ay ibinigay.
    2. Hanapin ang mga intersection point ng dalawang bilog.
    3. Hanapin ang mga intersection point ng isang linya at isang bilog.
    4. Hanapin ang punto ng intersection ng dalawang linya.

    Ang anumang geometric na konstruksyon (sa karaniwang kahulugan, na may pag-aakalang isang compass at straightedge) ay binubuo ng isang may hangganang pagkakasunud-sunod ng mga elementaryong konstruksyon na ito. Na ang unang dalawa sa kanila ay maaaring gawin gamit ang isang solong compass ay agad na malinaw. Ang mas mahirap na mga konstruksyon 3 at 4 ay isinasagawa gamit ang mga katangian ng inversion na tinalakay sa nakaraang talata.

    Bumaling tayo sa construction 3: mahahanap natin ang mga punto ng intersection ng isang binigay na bilog C na may linya na dumadaan sa mga puntong ito A at B. Gumuhit tayo ng mga arko na may mga sentrong A at B at radii na katumbas ng AO at BO, ayon sa pagkakabanggit, maliban sa para sa puntong O, magsa-intersect sila sa puntong P. Pagkatapos ay bubuo tayo ng puntong Q, kabaligtaran sa puntong P na may kaugnayan sa bilog na C (tingnan ang pagkakagawa na inilarawan sa pahina 174). Sa wakas, gumuhit tayo ng isang bilog na may gitnang Q at radius QO (tiyak na magsa-intersect ito sa C): ang mga intersection point nito na X at X" na may bilog na C ay ang nais na mga. Ang mga puntos na X at X" ay nasa pantay na distansya mula sa O at P (tulad ng para sa mga puntong A at B, ang kanilang katulad na pag-aari ay agad na sumusunod mula sa konstruksyon). Sa katunayan, sapat na na sumangguni sa katotohanan na ang puntong kabaligtaran sa puntong Q ay pinaghihiwalay mula sa mga puntong X at X" sa layo na katumbas ng radius ng bilog C (tingnan ang pahina 173). Kapansin-pansin na ang Ang bilog na dumadaan sa mga puntong X, X" at O, ay ang kabaligtaran ng tuwid na linyang AB sa pagbabaligtad na may kaugnayan sa bilog na C, dahil ang bilog na ito at ang tuwid na linyang AB ay nagsalubong sa C sa parehong mga punto. (Sa panahon ng pagbabaligtad, ang mga punto ng pangunahing bilog ay nananatiling hindi gumagalaw.) Ang ipinahiwatig na konstruksiyon ay imposible lamang kung ang tuwid na linyang AB ay dumaan sa gitnang C. Ngunit pagkatapos ay ang mga intersection point ay matatagpuan sa pamamagitan ng konstruksiyon na inilarawan sa pahina 178, bilang ang mga midpoint ng arcs C na nakuha kapag gumuhit kami ng isang arbitrary na bilog na may sentro B, intersecting sa C sa mga punto B 1 at B 2.

    Ang paraan ng pagguhit ng isang bilog na kabaligtaran sa isang tuwid na linya na nagkokonekta sa dalawang ibinigay na mga punto ay agad na nagbibigay ng konstruksiyon paglutas ng problema 4. Hayaang ang mga tuwid na linya ay ibigay sa pamamagitan ng mga puntos na A, B at A", B" (Larawan 50, Gumuhit tayo ng isang arbitrary na bilog C at, gamit ang pamamaraan sa itaas, bumuo ng mga bilog na kabaligtaran sa mga tuwid na linya na AB at A "B"). . Ang mga bilog na ito ay nagsalubong sa puntong O at sa isa pang puntong Y. Ang puntong X, ang kabaligtaran ng puntong Y, ay ang gustong punto ng intersection: kung paano ito ibubuo ay naipaliwanag na sa itaas. Na ang X ay ang nais na punto ay malinaw mula sa katotohanan na ang Y ay ang tanging punto na kabaligtaran sa puntong sabay-sabay na kabilang sa parehong mga tuwid na linya AB at A"B", samakatuwid, ang puntong X, ang kabaligtaran ng Y, ay dapat na magkasabay sa parehong AB at A "IN".

    Ang dalawang konstruksyon na ito ay kumpletuhin ang patunay ng pagkakapareho sa pagitan ng mga konstruksyon ni Mascheroni, kung saan pinapayagan na gumamit lamang ng isang compass, at mga ordinaryong geometric na konstruksyon na may isang compass at isang ruler.

    Hindi namin inisip ang kagandahan ng paglutas ng mga indibidwal na problema na aming isinasaalang-alang dito, dahil ang aming layunin ay linawin ang panloob na kahulugan ng mga konstruksyon ni Mascheroni. Ngunit bilang isang halimbawa ay ipahiwatig din namin ang pagbuo ng isang regular na pentagon; mas tiyak, pinag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng ilang limang punto sa bilog na maaaring magsilbing vertices ng isang regular na inscribed na pentagon.

    Hayaang ang A ay isang arbitrary na punto sa bilog na K. Dahil ang gilid ng isang regular na inscribed na hexagon ay katumbas ng radius ng bilog, hindi magiging mahirap na i-plot ang mga puntos na B, C, D sa K upang ang AB = BC = CD = 60° (Larawan 51). Gumuhit kami ng mga arko na may mga sentro A at D na may radius na katumbas ng AC; hayaan silang mag-intersect sa punto X. Pagkatapos, kung O ang sentro ng K, isang arko na may sentro A at radius OX ay magsalubong sa K sa punto F, na siyang midpoint ng arc BC (tingnan ang pahina 178). Pagkatapos, na may radius na katumbas ng radius K, inilalarawan namin ang mga arko na may sentrong F na nagsasalubong sa K sa mga puntong G at H. Hayaang ang Y ay isang punto na ang mga distansya mula sa mga puntong G at H ay katumbas ng OX at na pinaghihiwalay mula sa X sa pamamagitan ng sentro O. Sa kasong ito, ang segment na AY ay bilang mga oras ay ang gilid ng nais na pentagon. Ang patunay ay iniiwan bilang pagsasanay sa mambabasa. Nakatutuwang tandaan na tatlong magkakaibang radii lamang ang ginagamit sa pagtatayo.

    Noong 1928, natagpuan ng Danish na matematiko na si Hjelmslev ang isang kopya ng isang aklat na tinatawag Euclides Danicus, na inilathala noong 1672 ng hindi kilalang may-akda G. Morom. Mula sa pahina ng pamagat ay maaaring isaisip na ito ay isa lamang sa mga bersyon ng Euclidean na "Mga Prinsipyo", marahil ay nilagyan ng isang editoryal na komento. Ngunit sa maingat na pagsusuri, lumabas na naglalaman ito ng kumpletong solusyon sa problema ni Mascheroni, na natagpuan bago pa ang Mascheroni.

    Mga ehersisyo. Sa sumusunod, ibinigay ang isang paglalarawan ng mga konstruksyon ni Mohr. Suriin kung tama ang mga ito. Bakit masasabing nalulutas nila ang problemang Mascheroni?

    May inspirasyon ng mga resulta ng Mascheroni, Jacob Steiner (1796-1863) sinubukang pag-aralan ang mga konstruksyon na maaaring gawin gamit lamang ang ruler. Siyempre, ang pinuno lamang ay hindi humahantong sa kabila ng mga limitasyon ng isang ibinigay na field ng numero, at samakatuwid ay hindi sapat na gawin ang lahat ng mga geometric na konstruksyon sa kanilang klasikal na kahulugan. Ngunit ang higit na kapansin-pansin ay ang mga resulta na nakuha ni Steiner sa ilalim ng paghihigpit na ipinakilala niya - upang gamitin ang compass nang isang beses lamang. Pinatunayan niya na ang lahat ng mga konstruksyon sa eroplano na maaaring gawin sa isang compass at isang ruler ay maaari ding gawin sa isang solong ruler, sa kondisyon na ang isang solong nakapirming bilog na may isang sentro ay ibinigay. Ang mga konstruksyon na ito ay nagsasangkot ng paggamit ng mga projective na pamamaraan at ilalarawan sa ibang pagkakataon (tingnan ang pahina 228).

    * Imposibleng gawin nang walang bilog, at, bukod dito, may sentro. Halimbawa, kung ang isang bilog ay ibinigay, ngunit ang sentro nito ay hindi ipinahiwatig, kung gayon imposibleng mahanap ang sentro gamit ang isang pinuno lamang. Patutunayan natin ngayon ito, na tumutukoy, gayunpaman, sa isang katotohanang itatatag mamaya (tingnan ang p. 252): mayroong ganoong pagbabago ng eroplano sa sarili nito na a) ang isang bilog ay nananatiling hindi gumagalaw, b) bawat tuwid na linya ay lumiliko. sa isang tuwid na linya, na may ) ang gitna ng isang nakatigil na bilog ay hindi nananatiling nakatigil, ngunit gumagalaw. Ang mismong pag-iral ng naturang pagbabago ay nagpapahiwatig ng imposibilidad ng pagtatayo ng sentro ng isang bilog gamit ang isang solong pinuno. Sa katunayan, anuman ang pamamaraan ng pagtatayo, ito ay bumaba sa isang serye ng mga hiwalay na hakbang na binubuo ng pagguhit ng mga tuwid na linya at paghahanap ng kanilang mga intersection sa isa't isa o sa isang partikular na bilog. Isipin natin ngayon na ang buong pigura sa kabuuan ay isang bilog, at ang lahat ng mga tuwid na linya na iginuhit sa kahabaan ng pinuno kapag itinatayo ang sentro ay napapailalim sa isang pagbabagong-anyo, ang pagkakaroon nito ay ipinapalagay natin dito. Pagkatapos ay malinaw na ang figure na nakuha pagkatapos ng pagbabago ay makakatugon din sa lahat ng mga kinakailangan ng konstruksiyon; ngunit ang konstruksiyon na ipinahiwatig ng figure na ito ay hahantong sa isang puntong naiiba sa gitna ng ibinigay na bilog. Nangangahulugan ito na ang konstruksiyon na pinag-uusapan ay imposible.



    MGA KAUGNAY NA ARTIKULO