Nagbibigay ang Problema B9 ng graph ng isang function o derivative kung saan kailangan mong tukuyin ang isa sa mga sumusunod na dami:

1. Ang halaga ng derivative sa ilang punto x 0,
2. Pinakamataas o pinakamababang puntos (extremum point),
3. Mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng mga function (mga agwat ng monotonicity).

Ang mga function at derivatives na ipinakita sa problemang ito ay palaging tuluy-tuloy, na ginagawang mas madali ang solusyon. Sa kabila ng katotohanan na ang gawain ay kabilang sa seksyon ng pagsusuri sa matematika, kahit na ang pinakamahina na mga mag-aaral ay magagawa ito, dahil walang malalim na teoretikal na kaalaman hindi kinakailangan dito.

Upang mahanap ang halaga ng derivative, extremum point at monotonicity interval, may mga simple at unibersal na algorithm - lahat ng mga ito ay tatalakayin sa ibaba.

Basahin nang mabuti ang mga kondisyon ng problema B9 upang maiwasan ang paggawa ng mga hangal na pagkakamali: kung minsan ay makakatagpo ka ng napakahabang mga teksto, ngunit mahahalagang kondisyon, na nakakaimpluwensya sa takbo ng desisyon, kakaunti.

Pagkalkula ng derivative value. Dalawang punto na pamamaraan

Kung ang problema ay binibigyan ng graph ng isang function f(x), padaplis sa graph na ito sa ilang punto x 0, at kinakailangan upang mahanap ang halaga ng derivative sa puntong ito, ang sumusunod na algorithm ay inilapat:

1. Maghanap ng dalawang "sapat" na punto sa tangent graph: ang kanilang mga coordinate ay dapat na integer. Tukuyin natin ang mga puntong ito A (x 1 ; y 1) at B (x 2 ; y 2). Isulat nang tama ang mga coordinate - ito ay isang mahalagang punto sa solusyon, at anumang pagkakamali dito ay hahantong sa isang maling sagot.
2. Alam ang mga coordinate, madaling kalkulahin ang pagtaas ng argumento Δx = x 2 − x 1 at ang pagtaas ng function na Δy = y 2 − y 1 .
3. Sa wakas, nakita namin ang halaga ng derivative D = Δy/Δx. Sa madaling salita, kailangan mong hatiin ang pagtaas ng function sa pagdagdag ng argumento - at ito ang magiging sagot.

Tandaan nating muli: ang mga puntong A at B ay dapat na eksaktong hanapin sa tangent, at hindi sa graph ng function na f(x), gaya ng madalas na nangyayari. Ang tangent na linya ay kinakailangang maglaman ng hindi bababa sa dalawang ganoong mga punto - kung hindi, ang problema ay hindi bubuuin nang tama.

Isaalang-alang ang mga puntos A (−3; 2) at B (−1; 6) at hanapin ang mga increment:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Hanapin natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at isang padaplis dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 3) at B (3; 0), hanapin ang mga increment:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Ngayon nakita natin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at isang padaplis dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x 0 .

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 2) at B (5; 2) at hanapin ang mga increment:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Nananatili itong hanapin ang halaga ng derivative: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Mula sa huling halimbawa, maaari tayong magbalangkas ng isang panuntunan: kung ang tangent ay parallel sa OX axis, ang derivative ng function sa punto ng tangency ay zero. Sa kasong ito, hindi mo na kailangang magbilang ng anuman - tingnan lamang ang graph.

Pagkalkula ng maximum at minimum na mga puntos

Minsan, sa halip na isang graph ng isang function, ang Problema B9 ay nagbibigay ng graph ng derivative at nangangailangan ng paghahanap ng maximum o minimum point ng function. Sa sitwasyong ito, ang dalawang-puntong pamamaraan ay walang silbi, ngunit may isa pa, kahit na mas simpleng algorithm. Una, tukuyin natin ang terminolohiya:

1. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na f(x) kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ay mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay: f(x 0) ≥ f(x).
2. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function na f(x) kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ay mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay: f(x 0) ≤ f(x).

Upang mahanap ang maximum at minimum na puntos sa derivative graph, sundin lamang ang mga hakbang na ito:

1. I-redraw ang derivative graph, na inaalis ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ang hindi kinakailangang data ay nakakasagabal lamang sa desisyon. Samakatuwid, minarkahan namin ang mga zero ng derivative sa coordinate axis - at iyon lang.
2. Alamin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung sa ilang punto x 0 ay alam na f'(x 0) ≠ 0, kung gayon dalawang opsyon lamang ang posible: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. Ang tanda ng derivative ay madaling matukoy mula sa orihinal na guhit: kung ang derivative graph ay nasa itaas ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≥ 0. At vice versa, kung ang derivative graph ay nasa ibaba ng OX axis, kung gayon ang f'(x) ≤ 0.
3. Sinusuri namin muli ang mga zero at palatandaan ng derivative. Kung saan nagbabago ang sign mula minus hanggang plus ay ang pinakamababang punto. Sa kabaligtaran, kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, ito ang pinakamataas na punto. Ang pagbibilang ay palaging ginagawa mula kaliwa hanggang kanan.

Gumagana lamang ang scheme na ito para sa tuluy-tuloy na pag-andar - walang iba sa problema B9.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−5; 5]. Hanapin ang pinakamababang punto ng function na f(x) sa segment na ito.

Alisin natin ang hindi kinakailangang impormasyon at iwanan lamang ang mga hangganan [−5; 5] at mga zero ng derivative na x = −3 at x = 2.5. Pansinin din namin ang mga palatandaan:

Malinaw, sa puntong x = −3 ang tanda ng derivative ay nagbabago mula minus hanggang plus. Ito ang pinakamababang punto.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7]. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na f(x) sa segment na ito.

I-redraw natin ang graph, na iiwan lamang ang mga hangganan [−3; 7] at mga zero ng derivative x = −1.7 at x = 5. Pansinin natin ang mga palatandaan ng derivative sa resultang graph. Meron kami:

Malinaw, sa puntong x = 5 ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus - ito ang pinakamataas na punto.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−6; 4]. Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f(x) na kabilang sa segment [−4; 3].

Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na sapat na upang isaalang-alang lamang ang bahagi ng graph na limitado ng segment [−4; 3]. Samakatuwid, bumuo kami ng bagong graph kung saan minarkahan lamang namin ang mga hangganan [−4; 3] at mga zero ng derivative sa loob nito. Ibig sabihin, mga puntos x = −3.5 at x = 2. Nakukuha namin ang:

Sa graph na ito mayroon lamang isang maximum na punto x = 2. Sa puntong ito na ang tanda ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus.

Isang maliit na tala tungkol sa mga puntos na may mga non-integer na coordinate. Halimbawa, sa huling problema ang puntong x = −3.5 ay isinasaalang-alang, ngunit sa parehong tagumpay maaari nating kunin ang x = −3.4. Kung ang problema ay pinagsama-sama nang tama, ang mga pagbabagong ito ay hindi dapat makaapekto sa sagot, dahil ang mga puntong "walang nakapirming lugar ng paninirahan" ay hindi direktang nakikilahok sa paglutas ng problema. Siyempre, hindi gagana ang trick na ito sa mga integer point.

Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function

Sa ganitong problema, tulad ng mga punto ng maximum at minimum, iminumungkahi na gamitin ang graph ng derivative upang mahanap ang mga lugar kung saan ang function mismo ay tumataas o bumababa. Una, tukuyin natin kung ano ang pagtaas at pagbaba:

1. Ang isang function na f(x) ay sinasabing tumataas sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang sumusunod na pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Sa madaling salita, mas malaki ang halaga ng argumento, mas malaki ang halaga ng function.
2. Ang isang function na f(x) ay sinasabing bumababa sa isang segment kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang sumusunod na pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Yung. Ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

Bumuo tayo ng sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba:

1. Upang ang tuluy-tuloy na function na f(x) ay tumaas sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay positibo, i.e. f’(x) ≥ 0.
2. Upang bumaba ang tuluy-tuloy na function na f(x) sa segment , sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay negatibo, i.e. f’(x) ≤ 0.

Tanggapin natin ang mga pahayag na ito nang walang ebidensya. Kaya, nakakakuha kami ng isang pamamaraan para sa paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, na sa maraming paraan ay katulad ng algorithm para sa pagkalkula ng mga extremum na puntos:

1. Alisin ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Sa orihinal na graph ng derivative, pangunahing interesado kami sa mga zero ng function, kaya iiwan lang namin ang mga ito.
2. Markahan ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung saan ang f'(x) ≥ 0, ang function ay tumataas, at kung saan ang f'(x) ≤ 0, ito ay bumababa. Kung ang problema ay nagtatakda ng mga paghihigpit sa variable na x, minarkahan din namin ang mga ito sa isang bagong graph.
3. Ngayon na alam natin ang pag-uugali ng function at ang mga hadlang, nananatili itong kalkulahin ang dami na kinakailangan sa problema.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan [−3; 7.5]. Hanapin ang mga pagitan ng pagbaba ng function na f(x). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na kasama sa mga pagitan na ito.

Gaya ng dati, i-redraw natin ang graph at markahan ang mga hangganan [−3; 7.5], pati na rin ang mga zero ng derivative na x = −1.5 at x = 5.3. Pagkatapos ay tandaan namin ang mga palatandaan ng derivative. Meron kami:

Dahil ang derivative ay negatibo sa pagitan (− 1.5), ito ang agwat ng pagpapababa ng function. Ito ay nananatiling pagsasama-sama ng lahat ng mga integer na nasa loob ng agwat na ito:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Gawain. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x), na tinukoy sa pagitan [−10; 4]. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function na f(x). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Alisin natin ang hindi kinakailangang impormasyon. Iwanan lamang natin ang mga hangganan [−10; 4] at mga zero ng derivative, kung saan mayroong apat sa pagkakataong ito: x = −8, x = −6, x = −3 at x = 2. Markahan natin ang mga palatandaan ng derivative at kunin ang sumusunod na larawan:

Interesado kami sa mga pagitan ng pagtaas ng function, i.e. kung saan ang f’(x) ≥ 0. Mayroong dalawang ganoong pagitan sa graph: (−8; −6) at (−3; 2). Kalkulahin natin ang kanilang mga haba:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Dahil kailangan nating hanapin ang haba ng pinakamalaki sa pagitan, isulat natin ang halaga l 2 = 5 bilang sagot.

Kinakalkula ng calculator ang mga derivatives ng lahat ng elementary function, na nagbibigay ng detalyadong solusyon. Awtomatikong natutukoy ang variable ng pagkakaiba-iba.

Derivative ng isang function- isa sa pinakamahalagang konsepto sa pagsusuri sa matematika. Ang paglitaw ng derivative ay humantong sa mga problema tulad ng, halimbawa, pagkalkula ng madalian na bilis ng isang punto sa isang sandali sa oras, kung ang landas depende sa oras ay kilala, ang problema ng paghahanap ng tangent sa isang function sa isang punto.

Kadalasan, ang derivative ng isang function ay tinukoy bilang ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, kung mayroon ito.

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function sa ilang kapitbahayan ng punto. Kung gayon ang derivative ng function sa isang punto ay tinatawag na limitasyon, kung ito ay umiiral

Paano makalkula ang derivative ng isang function?

Upang matutunan ang pagkakaiba-iba ng mga function, kailangan mong matuto at maunawaan mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at matutong gumamit talahanayan ng mga derivatives.

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Hayaan at maging arbitrary differentiable function ng isang real variable at maging ilang real constant. Pagkatapos

— panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng produkto ng mga function

— panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng mga quotient function

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — pagkita ng kaibhan ng isang function na may variable exponent

— panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function

— panuntunan para sa pagkakaiba ng isang function ng kapangyarihan

Derivative ng isang function online

Mabilis at tumpak na kakalkulahin ng aming calculator ang derivative ng anumang function online. Ang programa ay hindi magkakamali kapag kinakalkula ang derivative at tutulungan kang maiwasan ang mahaba at nakakapagod na mga kalkulasyon. Online na calculator Magiging kapaki-pakinabang din ito sa kaso kung kinakailangan upang suriin ang kawastuhan ng iyong solusyon, at kung ito ay mali, mabilis na hanapin ang error.

Halimbawa 1

Sanggunian: Ang mga sumusunod na paraan ng pag-notate ng isang function ay katumbas: Sa ilang mga gawain ay maginhawa upang italaga ang function bilang "laro", at sa iba pa bilang "ef mula sa x".

Una naming mahanap ang derivative:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa isang punto

, , buong pag-aaral ng function at iba pa.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang derivative ng function sa punto. Una, hanapin natin ang derivative:

Well, iyon ay isang ganap na naiibang bagay. Kalkulahin natin ang halaga ng derivative sa punto:

Kung hindi mo naiintindihan kung paano natagpuan ang derivative, bumalik sa unang dalawang aralin ng paksa. Kung mayroon kang anumang mga paghihirap (hindi pagkakaunawaan) sa arctangent at mga kahulugan nito, Kailangan pag-aaral metodolohikal na materyal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar– ang pinakahuling talata. Dahil mayroon pa ring sapat na mga arctangent para sa edad ng mag-aaral.

Halimbawa 4

Kalkulahin ang derivative ng function sa punto.

Equation ng tangent sa graph ng isang function

Upang pagsama-samahin ang nakaraang talata, isaalang-alang ang problema sa paghahanap ng tangent sa function graph Simula ngayon. Nakatagpo namin ang gawaing ito sa paaralan, at lumilitaw din ito sa kurso ng mas mataas na matematika.

Tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa ng "pagpapakita".

Sumulat ng equation para sa tangent sa graph ng function sa abscissa point. Kaagad akong magbibigay ng isang handa na graphical na solusyon sa problema (sa pagsasagawa, sa karamihan ng mga kaso hindi ito kinakailangan):

Ang isang mahigpit na kahulugan ng isang tangent ay ibinigay gamit kahulugan ng derivative ng isang function, ngunit sa ngayon ay pag-uusapan natin ang teknikal na bahagi ng isyu. Tiyak na halos lahat ay madaling maunawaan kung ano ang isang tangent. Kung ipaliwanag mo ito "sa iyong mga daliri", ang tangent sa graph ng isang function ay tuwid, na may kinalaman sa graph ng function sa ang nag-iisa punto. Sa kasong ito, ang lahat ng kalapit na punto ng linya ay matatagpuan nang mas malapit hangga't maaari sa graph ng function.

Tulad ng inilapat sa aming kaso: sa tangent (karaniwang notasyon) hinawakan ang graph ng function sa isang punto.

At ang aming gawain ay upang mahanap ang equation ng linya.

Derivative ng isang function sa isang punto

Paano mahahanap ang derivative ng isang function sa isang punto? Dalawang halatang punto ng gawaing ito ang sumusunod mula sa mga salita:

1) Kinakailangang hanapin ang derivative.

2) Kinakailangang kalkulahin ang halaga ng derivative sa isang naibigay na punto.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa isang punto

Tulong: Ang mga sumusunod na paraan ng pag-notate ng isang function ay katumbas:


Sa ilang mga gawain ay maginhawa upang italaga ang function bilang "laro", at sa iba pa bilang "ef mula sa x".

Una naming mahanap ang derivative:

Sana marami na ang nakasanayan na ang paghahanap ng mga ganitong derivatives sa bibig.

Sa ikalawang hakbang, kinakalkula namin ang halaga ng derivative sa punto:

Isang maliit na halimbawa ng warm-up para sa paglutas nito sa iyong sarili:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa isang punto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang pangangailangan upang mahanap ang derivative sa isang punto ay lumitaw sa mga sumusunod na gawain: pagbuo ng isang tangent sa graph ng isang function (susunod na talata), pag-aaral ng isang function para sa isang extremum , pag-aaral ng isang function para sa inflection ng isang graph , buong pag-aaral ng function at iba pa.

Ngunit ang gawaing pinag-uusapan ay nangyayari sa mga pagsubok at sa sarili. At, bilang isang patakaran, sa mga ganitong kaso ang ibinigay na function ay medyo kumplikado. Sa bagay na ito, tingnan natin ang dalawa pang halimbawa.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa puntong .
Una, hanapin natin ang derivative:

Ang derivative, sa prinsipyo, ay natagpuan, at maaari mong palitan ang kinakailangang halaga. Pero wala talaga akong gustong gawin. Ang expression ay napakahaba, at ang kahulugan ng "x" ay fractional. Samakatuwid, sinusubukan naming gawing simple ang aming derivative hangga't maaari. Sa kasong ito, subukan nating dalhin ang huling tatlong termino sa isang karaniwang denominator: sa puntong .

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Paano mahahanap ang halaga ng derivative ng function na F(x) sa puntong Xo? Paano mo rin ito malulutas?

Kung ang formula ay ibinigay, pagkatapos ay hanapin ang derivative at palitan ang X-zero sa halip na X. Kalkulahin
Kung pinag-uusapan natin ang B-8 Unified State Exam, graph, kailangan mong hanapin ang tangent ng anggulo (talamak o mahina) na nabuo ang tangent sa X axis (gamit ang mental construction ng isang right triangle at tinutukoy ang padaplis ng anggulo)

Timur Adilkhodzhaev

Una, kailangan mong magpasya sa sign. Kung ang point x0 ay matatagpuan sa ibabang bahagi ng coordinate plane, kung gayon ang pag-sign sa sagot ay magiging minus, at kung mas mataas, pagkatapos ay +.
Pangalawa, kailangan mong malaman kung ano ang tange sa isang parihaba. At ito ang ratio ng kabaligtaran na bahagi (binti) sa katabing bahagi (din binti). Karaniwang may ilang itim na marka sa pagpipinta. Mula sa mga markang ito ay bumubuo ka ng isang tamang tatsulok at hanapin ang tange.

Paano mahahanap ang halaga ng derivative ng function f x sa point x0?

walang partikular na tanong na ibinigay - 3 taon na ang nakakaraan

Sa pangkalahatang kaso, upang mahanap ang halaga ng derivative ng isang function na may paggalang sa ilang variable sa ilang mga punto, kailangan mong pag-iba-ibahin ang ibinigay na function na may paggalang sa variable na ito. Sa iyong kaso, sa pamamagitan ng variable X. Sa resultang expression, sa halip na X, ilagay ang halaga ng X sa punto kung saan kailangan mong hanapin ang halaga ng derivative, i.e. sa iyong kaso, palitan ang zero X at kalkulahin ang resultang expression.

Buweno, ang iyong pagnanais na maunawaan ang isyung ito, sa palagay ko, ay walang alinlangan na nararapat sa isang +, na ibinibigay ko nang may malinis na budhi.

Ang pormulasyon na ito ng problema sa paghahanap ng derivative ay madalas na iniharap upang pagsamahin ang materyal sa geometriko na kahulugan derivative. Ang isang graph ng isang tiyak na function ay iminungkahi, ganap na arbitrary at hindi tinukoy ng isang equation, at ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng derivative (hindi ang derivative mismo, isipin mo!) sa tinukoy na punto X0. Upang gawin ito, bumuo ng isang padaplis sa ibinigay na function at hinahanap ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes. Pagkatapos ang equation ng tangent na ito ay iginuhit sa anyo y=кx+b.

Sa equation na ito, ang coefficient k at ang magiging halaga ng derivative. Ang natitira na lang ay hanapin ang halaga ng koepisyent b. Upang gawin ito, nakita namin ang halaga ng y sa x = o, hayaan itong maging katumbas ng 3 - ito ang halaga ng koepisyent b. Pinapalitan namin ang mga halaga ng X0 at Y0 sa orihinal na equation at hanapin ang k - ang aming halaga ng derivative sa puntong ito.

Maraming teorya ang naisulat tungkol sa kahulugang geometriko. Hindi ako pupunta sa derivation ng pagtaas ng function, ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang mga pangunahing kaalaman para sa pagkumpleto ng mga gawain:

Ang derivative sa puntong x ay katumbas ng slope ng tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong ito, iyon ay, ito ay ang tangent ng anggulo ng pagkahilig sa X axis.

Agad nating kunin ang gawain mula sa Unified State Exam at simulang unawain ito:

Gawain Blg. 1. Ang ipinapakita ng larawan graph ng isang function y = f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x0.
Sino ang nagmamadali at hindi gustong maunawaan ang mga paliwanag: buuin ang anumang tulad na tatsulok (tulad ng ipinapakita sa ibaba) at hatiin ang nakatayong bahagi (patayo) sa nakahiga na bahagi (pahalang) at ikaw ay mapalad kung hindi mo malilimutan ang tungkol sa tanda (kung ang linya ay bumababa (→↓) , kung gayon ang sagot ay dapat na minus, kung ang linya ay tumaas (→), kung gayon ang sagot ay dapat na positibo!)

Kailangan mong hanapin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ng X axis, tawagin natin itong α: gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa X axis kahit saan sa pamamagitan ng tangent sa graph, nakukuha natin ang parehong anggulo.

Ito ay mas mahusay na hindi kumuha ng point x0, dahil Kakailanganin mo ang isang malaking magnifying glass upang matukoy ang eksaktong mga coordinate.

Ang pagkuha ng anumang tamang tatsulok (3 mga pagpipilian ang iminungkahing sa figure), nakita namin ang tgα (ang mga anggulo ay pantay, bilang katumbas), i.e. nakukuha natin ang derivative ng function na f(x) sa puntong x0. Bakit ganito?

Kung gumuhit tayo ng mga tangent sa ibang mga punto x2, x1, atbp. ang mga tangent ay magkakaiba.

Bumalik tayo sa ika-7 baitang para bumuo ng linya!

Ang equation ng isang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation na y = kx + b, kung saan

k - pagkahilig na nauugnay sa X axis.

b ay ang distansya sa pagitan ng intersection point na may Y axis at ang pinagmulan.

Ang derivative ng isang tuwid na linya ay palaging pareho: y" = k.

Sa anumang punto sa linya na kunin natin ang derivative, hindi ito magbabago.

Samakatuwid, ang natitira na lang ay upang mahanap ang tgα (tulad ng nabanggit sa itaas: hatiin ang nakatayong gilid sa gilid ng nakahiga). Hinahati namin ang kabaligtaran ng katabi, nakukuha namin na k = 0.5. Gayunpaman, kung ang graph ay bumababa, ang koepisyent ay negatibo: k = −0.5.

Ipinapayo ko sa iyo na suriin ang iyong sarili pangalawang paraan:
Maaari mong tukuyin ang isang tuwid na linya gamit ang dalawang puntos. Hanapin natin ang mga coordinate ng alinmang dalawang puntos. Halimbawa, (-2;-2) at (2;-4):

Palitan natin ang mga coordinate ng mga puntos sa equation na y = kx + b sa halip na y at x:

−2 = −2k + b

Ang paglutas ng sistemang ito, nakukuha natin ang b = −3, k = −0.5

Konklusyon: Ang pangalawang paraan ay mas matagal, ngunit sa loob nito ay hindi mo malilimutan ang tungkol sa pag-sign.

Sagot: − 0.5

Gawain Blg. 2. Ang ipinapakita ng larawan derivative graph mga function f(x). Walong puntos ang minarkahan sa abscissa axis: x1, x2, x3, ..., x8. Ilan sa mga puntong ito ang nasa pagitan ng pagtaas ng function f(x)?

Kung ang graph ng isang function ay bumababa - ang derivative ay negatibo (at vice versa ay totoo).

Kung ang graph ng isang function ay tumaas, ang derivative ay positibo (at vice versa ay totoo).

Tutulungan ka ng dalawang pariralang ito na malutas ang karamihan sa mga problema.

Tingnan mong mabuti isang drawing ng isang derivative o function ay ibibigay sa iyo, at pagkatapos ay pumili ng isa sa dalawang parirala.

Bumuo tayo ng schematic graph ng function. kasi Bibigyan tayo ng graph ng derivative, pagkatapos kung saan ito ay negatibo, ang graph ng function ay bumababa, kung saan ito ay positibo, ito ay tumataas!

Lumalabas na 3 puntos ang nasa pagtaas ng mga lugar: x4; x5; x6.

Sagot: 3

Gawain Blg. 3. Ang function na f(x) ay tinukoy sa pagitan (-6; 4). Ang ipinapakita ng larawan graph ng derivative nito. Hanapin ang abscissa ng punto kung saan ang function ay tumatagal sa pinakamalaking halaga nito.

Ipinapayo ko sa iyo na palaging i-plot kung paano napupunta ang function graph, gamit ang mga arrow na tulad nito o schematically na may mga palatandaan (tulad ng sa No. 4 at No. 5):

Malinaw, kung ang graph ay tumaas sa −2, kung gayon ang pinakamataas na punto ay −2.

Sagot: −2

Gawain Blg. 4. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na f(x) at labindalawang puntos sa abscissa axis: x1, x2, ..., x12. Ilan sa mga puntong ito ang derivative ng function na negatibo?

Ang problema ay ang kabaligtaran, dahil sa isang graph ng isang function, kailangan mong schematically plot kung ano ang magiging hitsura ng graph ng derivative ng function at bilangin kung gaano karaming mga puntos ang makikita sa negatibong hanay.

Positibong: x1, x6, x7, x12.

Negatibo: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Sagot: 7

Isa pang uri ng gawain kapag tinanong tungkol sa ilang kakila-kilabot na "mga sukdulan"? Hindi magiging mahirap para sa iyo na mahanap kung ano ito, ngunit ipapaliwanag ko ito para sa mga graph.

Gawain Blg. 5. Ang figure ay nagpapakita ng graph ng derivative ng function na f(x), na tinukoy sa pagitan (-16; 6). Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function na f(x) sa pagitan [-11; 5].

Markahan natin ang pagitan mula -11 hanggang 5!

Ibaling natin ang ating matingkad na mga mata sa sign: isang graph ng derivative ng function ang ibinigay => pagkatapos ang extrema ay ang mga punto ng intersection sa X axis.

Sagot: 3

Gawain Blg. 6. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng function na f(x), na tinukoy sa pagitan (-13; 9). Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function na f(x) sa pagitan [-12; 5].

Markahan natin ang pagitan mula -12 hanggang 5!

Maaari mong tingnan ang talahanayan gamit ang isang mata; Ang mga naturang punto ay binilog.

Ipinapakita ng mga arrow kung paano kumikilos ang function graph

Sagot: 3

Gawain Blg. 7. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan (-7; 5). Hanapin ang bilang ng mga puntos kung saan ang derivative ng function na f(x) ay katumbas ng 0.

Maaari mong tingnan ang talahanayan sa itaas (ang derivative ay katumbas ng zero, na nangangahulugang ito ay mga extremum point). At sa problemang ito ang graph ng function ay ibinigay, na nangangahulugang kailangan mong hanapin bilang ng mga inflection point!

O maaari mong, gaya ng dati: bumuo ng isang schematic graph ng derivative.

Ang derivative ay zero kapag binago ng graph ng isang function ang direksyon nito (mula sa pagtaas patungo sa pagbaba at vice versa)

Sagot: 8

Gawain Blg. 8. Ang ipinapakita ng larawan derivative graph function na f(x), na tinukoy sa pagitan (-2; 10). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(x). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.

Bumuo tayo ng schematic graph ng function:

Kung saan ito tumaas, makakakuha tayo ng 4 na integer na puntos: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Sagot: 22

Gawain Blg. 9. Ang ipinapakita ng larawan derivative graph function na f(x), na tinukoy sa pagitan (-6; 6). Hanapin ang bilang ng mga puntos na f(x) kung saan ang tangent sa graph ng function ay kahanay o tumutugma sa linyang y = 2x + 13.

Binigyan kami ng graph ng derivative! Nangangahulugan ito na ang ating tangent ay kailangang "isalin" sa isang derivative.

Derivative ng tangent: y" = 2.

Ngayon ay buuin natin ang parehong mga derivatives:

Ang mga tangent ay bumalandra sa tatlong punto, na nangangahulugang ang aming sagot ay 3.

Sagot: 3

Gawain Blg. 10. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na f(x), at ang mga puntos -2, 1, 2, 3 ay minarkahan Sa alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.

Ang gawain ay medyo katulad ng una: upang mahanap ang halaga ng derivative, kailangan mong bumuo ng isang tangent sa graph na ito sa isang punto at hanapin ang coefficient k.

Kung ang linya ay bumababa, k< 0.

Kung tumataas ang linya, k > 0.

Isipin natin kung paano makakaapekto ang halaga ng koepisyent sa slope ng linya:

Sa k = 1 o k = − 1, ang graph ay magiging kalahati sa pagitan ng X at Y axes.

Kung mas malapit ang tuwid na linya sa X axis, mas malapit ang k coefficient sa zero.

Kung mas malapit ang tuwid na linya sa Y axis, mas malapit ang coefficient k sa infinity.

Sa puntong -2 at 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>dito magiging pinakamaliit na halaga ng derivative

Sagot: 1

Gawain Blg. 11. Ang linya ay tangent y = 3x + 9 sa graph ng function na y = x³ + x² + 2x + 8. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Ang tuwid na linya ay magiging padaplis sa graph kapag ang mga graph ay may isang karaniwang punto, pati na rin ang kanilang mga derivatives. I-equate natin ang mga graph equation at ang mga derivatives nito:

Nang malutas ang pangalawang equation, nakakakuha kami ng 2 puntos. Upang suriin kung alin ang angkop, pinapalitan namin ang bawat isa sa mga x sa unang equation. Isa lang ang gagawa.

Hindi ko nais na lutasin ang isang kubiko na equation, ngunit gusto kong lutasin ang isang parisukat na equation.

Ngunit ano ang dapat mong isulat bilang tugon kung nakakuha ka ng dalawang "normal" na sagot?

Kapag pinapalitan ang x(x) sa orihinal na mga graph na y = 3x + 9 at y = x³ + x² + 2x + 8 dapat mong makuha ang parehong Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Tama! Kaya x=1 ang magiging sagot

Sagot: 1

Gawain Blg. 12. Ang tuwid na linya na y = − 5x − 6 ay padaplis sa graph ng function na ax² + 5x − 5. Humanap ng.

Ipapantay natin ang mga function at ang kanilang mga derivatives:

Lutasin natin ang sistemang ito para sa mga variable a at x:

Sagot: 25

Ang gawain na may mga derivatives ay itinuturing na isa sa pinakamahirap sa unang bahagi ng Unified State Exam, gayunpaman, sa kaunting pangangalaga at pag-unawa sa tanong, magtatagumpay ka at madaragdagan mo ang porsyento ng pagkumpleto ng gawaing ito!