Fraktalny płatek śniegu, jeden z najbardziej znanych i tajemniczych obiektów geometrycznych, został opisany przez Helgę von Koch na początku naszego stulecia. Według tradycji w naszej literaturze nazywa się go płatkiem śniegu Kocha. Jest to bardzo „kolczasta” figura geometryczna, którą metaforycznie można postrzegać jako wynik wielokrotnego „powielania” Gwiazdy Dawida. Jego sześć głównych promieni pokrytych jest nieskończoną liczbą dużych i małych „igiełkowych” wierzchołków. Każdy mikroskopijny fragment konturu płatka śniegu jest jak dwa groszki w strąku, podobny do całego dużego promienia, a duży promień z kolei zawiera nieskończoną liczbę tych samych mikroskopijnych fragmentów.
Na międzynarodowym sympozjum na temat metodologii modelowania matematycznego w Warnie w 1994 roku natknąłem się na prace bułgarskich autorów, którzy opisali swoje doświadczenia z wykorzystaniem płatków śniegu Kocha i innych podobnych obiektów na lekcjach w szkole średniej do zilustrowania problemu podzielności przestrzeni i filozoficzne aporie Zenona. Ponadto, z edukacyjnego punktu widzenia, moim zdaniem, bardzo interesująca jest sama zasada konstruowania regularnych fraktalnych struktur geometrycznych - zasada rekurencyjnego mnożenia podstawowego elementu. Nie bez powodu natura „uwielbia” formy fraktalne. Wyjaśnia to właśnie fakt, że uzyskuje się je poprzez prostą reprodukcję i zmianę wielkości pewnego elementarnego elementu budulcowego. Jak wiadomo, natura nie obfituje w rozmaite przyczyny i tam, gdzie to możliwe, radzi sobie z najprostszymi rozwiązaniami algorytmicznymi. Przyjrzyj się uważnie konturom liści, a w wielu przypadkach odkryjesz wyraźny związek z kształtem konturu płatka śniegu Kocha.
Wizualizacja fraktalnych struktur geometrycznych możliwa jest wyłącznie przy pomocy komputera. Już teraz bardzo trudno jest ręcznie skonstruować płatek śniegu Kocha powyżej trzeciego rzędu, ale naprawdę chcesz spojrzeć w nieskończoność! Dlaczego więc nie spróbować opracować odpowiedniego programu komputerowego. W RuNet można znaleźć zalecenia dotyczące budowy płatka śniegu Kocha z trójkątów. Wynik tego algorytmu wygląda jak zbiór przecinających się linii. Bardziej interesujące jest połączenie tej figury z „kawałków”. Kontur płatka śniegu Kocha składa się z segmentów o równej długości nachylonych pod kątem 0°, 60° i 120° w stosunku do poziomej osi x. Jeśli oznaczymy je odpowiednio 1, 2 i 3, to płatek śniegu dowolnej kolejności będzie składał się z kolejnych trójek - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... itd. Każdy z tych trzech typów segmentów można dołączyć do poprzedniego na jednym lub drugim końcu. Biorąc tę okoliczność pod uwagę, możemy założyć, że kontur płatka śniegu składa się z segmentów sześciu typów. Oznaczmy je 0, 1, 2, 3, 4, 5. W ten sposób otrzymujemy możliwość zakodowania konturu dowolnego rzędu za pomocą 6 cyfr (patrz rysunek).
Płatek śniegu wyższego rzędu uzyskuje się z poprzednika niższego rzędu, zastępując każdą krawędź czterema, połączonymi jak złożone dłonie (_/\_). Krawędź typu 0 zostaje zastąpiona czterema krawędziami 0, 5, 1, 0 itd. zgodnie z tabelą:
| 0 | 0 1 5 0 |
| 1 | 1 2 0 1 |
| 2 | 2 3 1 2 |
| 3 | 3 4 2 3 |
| 4 | 4 5 3 4 |
| 5 | 5 0 4 5 |
Prosty trójkąt równoboczny można traktować jako płatek śniegu Kocha zerowego rzędu. W opisywanym systemie kodowania odpowiada wpisowi 0, 4, 2. Wszystko inne można uzyskać poprzez opisane zamienniki. Nie będę tutaj podawać kodu procedury i tym samym pozbawiam Cię przyjemności tworzenia własnego programu. Podczas pisania nie jest wcale konieczne używanie jawnego wywołania rekurencyjnego. Można go zastąpić regularnym cyklem. W trakcie pracy będziesz miał kolejny powód, aby pomyśleć o rekurencji i jej roli w tworzeniu quasi-fraktalnych form otaczającego nas świata i na końcu ścieżki (jeśli oczywiście nie jesteś zbyt leniwy przejść przez to do końca) będziesz mógł podziwiać skomplikowany wzór konturów fraktalnego płatka śniegu, a także wreszcie spojrzeć w oblicze nieskończoności.
Płatek śniegu KochaNa początku XX wieku matematycy poszukiwali krzywych, które w żadnym punkcie nie mają stycznej. Oznaczało to, że krzywa zmieniała gwałtownie swój kierunek i to z olbrzymią prędkością (pochodna była równa nieskończoności). Poszukiwanie tych krzywych nie było spowodowane jedynie próżnym zainteresowaniem matematyków. Faktem jest, że na początku XX wieku mechanika kwantowa rozwinęła się bardzo szybko. Badacz M. Brown naszkicował trajektorię ruchu cząstek zawieszonych w wodzie i wyjaśnił to zjawisko w następujący sposób: przypadkowo poruszające się atomy cieczy uderzają w cząstki zawieszone w wodzie i wprawiają je w ruch. Po tym wyjaśnieniu ruchu Browna naukowcy stanęli przed zadaniem znalezienia krzywej, która najlepiej odzwierciedlałaby ruch cząstek Browna. Aby tego dokonać, krzywa musiała spełniać następujące właściwości: nie posiadać stycznej w żadnym punkcie. Matematyk Koch zaproponował jedną z takich krzywych. Nie będziemy wdawać się w wyjaśnienia zasad jego budowy, ale po prostu przedstawimy jego obraz, z którego wszystko stanie się jasne (ryc. 1.1.1).
Rysunek 1.1.1. Płatek śniegu Kocha.
Ważną właściwością granicy płatka śniegu Kocha jest jej nieskończona długość. Może się to wydawać zaskakujące, ponieważ jesteśmy przyzwyczajeni do czynienia z krzywymi z kursów rachunku różniczkowego. Zwykle gładkie lub przynajmniej częściowo gładkie krzywe mają zawsze skończoną długość (co można zweryfikować poprzez całkowanie). Mandelbrot opublikował w związku z tym szereg fascynujących prac, które badają kwestię pomiaru długości linii brzegowej Wielkiej Brytanii. Jako model on
Ryż. 1.1.2. Budowa płatka śniegu Kocha.
zastosował krzywą fraktalną, przypominającą krawędź płatka śniegu, z tą różnicą, że wprowadził element losowości uwzględniający losowość w przyrodzie. W rezultacie okazało się, że krzywa opisująca linię brzegową ma nieskończoną długość.
Serwetka i dywan SierpińskiegoInny przykład prostego samopodobnego fraktala --- Serwetka Sierpińskiego(ryc. 1.2.1), wynaleziony przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915 roku. Samo określenie serwetka należy do Mandelbrota. W poniższej metodzie konstrukcji zaczynamy od określonego regionu i sekwencyjnie eliminujemy wewnętrzne podregiony. Później rozważymy inne metody, w szczególności wykorzystujące systemy L, a także oparte na funkcjach iterowanych.
Rysunek 1.2.1. Serwetka Sierpińskiego
Niech początkowy zbiór S 0 będzie trójkątem równobocznym wraz z obszarem, który obejmuje. Podzielmy S0 na cztery mniejsze obszary trójkątne, łącząc środki boków pierwotnego trójkąta segmentami. Usuńmy wnętrze małego centralnego trójkątnego obszaru. Pozostały zbiór nazwijmy S 1 (ryc. 1.2.2). Następnie powtarzamy proces dla każdego z trzech pozostałych małych trójkątów, aby uzyskać następujące przybliżenie S 2 . Kontynuując w ten sposób, otrzymujemy ciąg zagnieżdżonych zbiorów S n, których przecięcie tworzy serwetka S.
Ryż. 1.2.2. Konstrukcja serwetki Sierpińskiego
Oczywiście całkowita powierzchnia części wyrzuconych podczas budowy jest dokładnie równa powierzchni pierwotnego trójkąta. W pierwszym kroku wyrzuciliśmy ¼ części powierzchni. W kolejnym kroku wyrzuciliśmy trzy trójkąty, z których każdy miał pole równe ½ 2 pola pierwotnego. Rozumując w ten sposób, jesteśmy przekonani, że całkowity udział odrzuconego obszaru wyniósł:
1/4 + 3 * (1/4 2) + 3 2 * (1/4 3) + … + 3 n-1 * (1/4 n) + … .
Ta kwota jest równa. Można zatem stwierdzić, że pozostały zbiór S, czyli serwetka, ma pole o mierze zerowej. To sprawia, że S jest zbiorem „doskonałym” w tym sensie, że dzieli swoje dopełnienie na nieskończoną liczbę trójkątnych obszarów, mając jednocześnie zerową grubość.
Dywan Sierpińskiego uważany jest za kolejny model fraktalny. Jest zbudowany w następujący sposób: weź kwadrat, podziel go na dziewięć kwadratów i wytnij centralny kwadrat. Następnie podobną procedurę wykonuje się z każdym z ośmiu pozostałych kwadratów. I tak w nieskończoność. W rezultacie zamiast całego kwadratu otrzymujemy dywan o osobliwym, symetrycznym wzorze. Model ten został po raz pierwszy zaproponowany przez matematyka Sierpińskiego, na którego cześć otrzymał swoją nazwę. Przykład dywanu Sierpińskiego można zobaczyć na ryc. 1.2.3.
Liczba ta jest jednym z pierwszych fraktali zbadanych przez naukowców. Pochodzi z trzech egzemplarzy Krzywa Kocha, które po raz pierwszy pojawiło się w artykule szwedzkiego matematyka Helge von Kocha w 1904 roku. Krzywa ta została wymyślona jako przykład linii ciągłej, która nie może być styczna do żadnego punktu. Linie posiadające tę właściwość były znane już wcześniej (swój przykład zbudował Karl Weierstrass już w 1872 r.), jednak krzywa Kocha wyróżnia się prostotą konstrukcji. Nieprzypadkowo jego artykuł nosi tytuł „O ciągłej krzywej bez stycznych, która wynika z elementarnej geometrii”.
Pierwsze etapy konstrukcji krzywej Kocha Rysunek i animacja doskonale pokazują krok po kroku budowę krzywej Kocha. Pierwsza iteracja to po prostu segment początkowy. Następnie dzieli się go na trzy równe części, środkową uzupełnia się, tworząc regularny trójkąt, a następnie wyrzuca. Rezultatem jest druga iteracja - linia przerywana składająca się z czterech segmentów. Do każdego z nich stosuje się tę samą operację i uzyskuje się czwarty etap konstrukcji. Kontynuując w tym samym duchu, możesz uzyskać coraz więcej nowych linii (wszystkie będą liniami przerywanymi). A to, co dzieje się w granicy (będzie to już wyimaginowany obiekt), nazywa się krzywą Kocha.
Podstawowe własności krzywej Kocha1. Jest ciągła, ale nigdzie nie jest różniczkowalna.
Z grubsza rzecz biorąc, właśnie po to został wymyślony - jako przykład tego rodzaju matematycznych „dziwaków”. 2. Ma nieskończoną długość. Niech długość pierwotnego odcinka będzie wynosić 1. Na każdym etapie konstrukcji każdy z odcinków tworzących linię zastępujemy linią przerywaną, która jest 4/3 razy dłuższa. Oznacza to, że długość całej linii łamanej mnoży się w każdym kroku przez 4/3: długość linii z liczbą
N
jest równe (4/3) n–1 . Dlatego linia graniczna nie ma innego wyjścia, jak tylko być nieskończenie długa. 3. Płatek śniegu Kocha ogranicza skończony obszar. I to pomimo faktu, że jego obwód jest nieskończony. Ta właściwość może wydawać się paradoksalna, ale jest oczywista - płatek śniegu wpasowuje się całkowicie w okrąg, więc jego powierzchnia jest oczywiście ograniczona. Pole można obliczyć i nie potrzeba do tego nawet specjalnej wiedzy - w szkole uczy się wzorów na pole trójkąta i sumę postępu geometrycznego. Dla zainteresowanych obliczenia są wymienione poniżej drobnym drukiem. 2. Ma nieskończoną długość. Niech bok pierwotnego regularnego trójkąta będzie równy 
A 2. Ma nieskończoną długość.. Wtedy jego pole wynosi . Najpierw bok wynosi 1, a pole wynosi: . Co się stanie wraz ze wzrostem iteracji? Możemy założyć, że małe trójkąty równoboczne są dołączone do istniejącego wielokąta. Za pierwszym razem jest ich tylko 3, a za każdym razem jest ich 4 razy więcej niż poprzednio. To znaczy na 2. Ma nieskończoną długość. W szóstym kroku zostanie uzupełnionych T n = 3 · 4 n–1 trójkątów. Długość boku każdego z nich wynosi jedną trzecią boku trójkąta wykonanego w poprzednim kroku. Oznacza to, że jest równe (1/3) n. Pola są proporcjonalne do kwadratów boków, więc pole każdego trójkąta wynosi 
. Płatek śniegu otrzymuje się po nieskończonej liczbie kroków, co odpowiada n → ∞. Wynik jest sumą nieskończoną, ale jest to suma malejącego postępu geometrycznego. Jest na to wzór: 
. Powierzchnia płatka śniegu jest równa.
4. Wymiar fraktalny jest równy log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Dokładne obliczenia będą wymagały sporo wysiłku i szczegółowych wyjaśnień, dlatego tutaj jest raczej ilustracja definicji wymiaru fraktalnego. Ze wzoru na potęgę N(δ) ~ (1/δ)D, gdzie N- liczba przecinających się kwadratów, δ - ich wielkość, D- wymiar, otrzymujemy, że D = log 1/δ N. Równość ta jest prawdziwa aż do dodania stałej (tej samej dla wszystkich δ ). Ryciny przedstawiają piątą iterację konstruowania krzywej Kocha; kwadraty siatki, które się z nią przecinają, są zacieniowane na zielono. Długość pierwotnego odcinka wynosi 1, więc na lewym rysunku długość boku kwadratów wynosi 1/9. Zacieniowano 12 kwadratów, log 9 12 ≈ 1,130929... . Jeszcze nie bardzo podobny do 1.261859... . Spójrzmy dalej. Na środkowym zdjęciu kwadraty są o połowę mniejsze, ich wielkość to 1/18, zacieniowana 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Już lepiej. Po prawej stronie kwadraty są nadal o połowę mniejsze; 72 elementy zostały już zamalowane. log 72 30 ≈ 1,193426... . Jeszcze bliżej. Następnie należy zwiększyć liczbę iteracji i jednocześnie zmniejszyć kwadraty, wówczas „empiryczna” wartość wymiaru krzywej Kocha będzie stale zbliżać się do log 3 4, a na granicy całkowicie się zbiegnie.
Opcje 
Płatek śniegu Kocha „wręcz przeciwnie” otrzymamy, jeśli skonstruujemy krzywe Kocha wewnątrz pierwotnego trójkąta równobocznego. 
Linie Cesaro. Zamiast trójkątów równobocznych stosuje się trójkąty równoramienne o kącie przy podstawie od 60° do 90°. Na rysunku kąt wynosi 88°. 
Wersja kwadratowa. Tutaj kwadraty są gotowe. 
Trójwymiarowe analogi. przestrzeń Kocha. Trzy kopie krzywej Kocha, zbudowane (swoimi punktami na zewnątrz) na bokach regularnego trójkąta, tworzą zamkniętą krzywą o nieskończonej długości zwaną Płatek śniegu Kocha.
Liczba ta jest jednym z pierwszych fraktali zbadanych przez naukowców. Pochodzi z trzech egzemplarzy Krzywa Kocha, które po raz pierwszy pojawiło się w artykule szwedzkiego matematyka Helge von Kocha w 1904 roku. Krzywa ta została wymyślona jako przykład linii ciągłej, która nie może być styczna do żadnego punktu. Linie posiadające tę właściwość były znane już wcześniej (swój przykład zbudował Karl Weierstrass już w 1872 r.), jednak krzywa Kocha wyróżnia się prostotą konstrukcji. Nieprzypadkowo jego artykuł nosi tytuł „O ciągłej krzywej bez stycznych, która wynika z elementarnej geometrii”.
Rysunek i animacja doskonale pokazują krok po kroku budowę krzywej Kocha. Pierwsza iteracja to po prostu segment początkowy. Następnie dzieli się go na trzy równe części, środkową uzupełnia się, tworząc regularny trójkąt, a następnie wyrzuca. Rezultatem jest druga iteracja - linia przerywana składająca się z czterech segmentów. Do każdego z nich stosuje się tę samą operację i uzyskuje się czwarty etap konstrukcji. Kontynuując w tym samym duchu, możesz uzyskać coraz więcej nowych linii (wszystkie będą liniami przerywanymi). A to, co dzieje się w granicy (będzie to już wyimaginowany obiekt), nazywa się krzywą Kocha.
Podstawowe własności krzywej Kocha1. Jest ciągła, ale nigdzie nie jest różniczkowalna.
Z grubsza rzecz biorąc, właśnie po to został wymyślony - jako przykład tego rodzaju matematycznych „dziwaków”. 2. Ma nieskończoną długość. Z grubsza rzecz biorąc, właśnie po to został wymyślony - jako przykład tego rodzaju matematycznych „dziwaków”. równy (4/3) N
-1. Dlatego linia graniczna nie ma innego wyjścia, jak tylko być nieskończenie długa.
jest równe (4/3) n–1 . Dlatego linia graniczna nie ma innego wyjścia, jak tylko być nieskończenie długa. 3. Płatek śniegu Kocha ogranicza skończony obszar. I to pomimo faktu, że jego obwód jest nieskończony. Ta właściwość może wydawać się paradoksalna, ale jest oczywista - płatek śniegu wpasowuje się całkowicie w okrąg, więc jego powierzchnia jest oczywiście ograniczona. Pole można obliczyć i nie potrzeba do tego nawet specjalnej wiedzy - w szkole uczy się wzorów na pole trójkąta i sumę postępu geometrycznego. Dla zainteresowanych obliczenia są wymienione poniżej drobnym drukiem. 2. Ma nieskończoną długość. 3. Płatek śniegu Kocha ogranicza skończony obszar. I to pomimo faktu, że jego obwód jest nieskończony. Ta właściwość może wydawać się paradoksalna, ale jest oczywista - płatek śniegu wpasowuje się całkowicie w okrąg, więc jego powierzchnia jest oczywiście ograniczona. Pole można obliczyć i nie potrzeba do tego nawet specjalnej wiedzy - w szkole uczy się wzorów na pole trójkąta i sumę postępu geometrycznego. Dla zainteresowanych obliczenia są wymienione poniżej drobnym drukiem. krok dziewiąty zostanie ukończony równy (4/3) Tn równy (4/3)= 3 4 
A 2. Ma nieskończoną długość.-1 trójkąty. Długość boku każdego z nich wynosi jedną trzecią boku trójkąta wykonanego w poprzednim kroku. Więc to jest równe (1/3) I to pomimo faktu, że jego obwód jest nieskończony. Ta właściwość może wydawać się paradoksalna, ale jest oczywista - płatek śniegu wpasowuje się całkowicie w okrąg, więc jego powierzchnia jest oczywiście ograniczona. Pole można obliczyć i nie potrzeba do tego nawet specjalnej wiedzy - w szkole uczy się wzorów na pole trójkąta i sumę postępu geometrycznego. Dla zainteresowanych obliczenia są wymienione poniżej drobnym drukiem. · . Pola są proporcjonalne do kwadratów boków, więc pole każdego trójkąta wynosi Swoją drogą to bardzo mało. Całkowity udział tych trójkątów w powierzchni płatka śniegu wynosi równy (4/3) · S n= 3/4 · (4/9) 2. Ma nieskończoną długość. S S n 0 + 0. Dlatego po-krok, obszar figury będzie równy sumie S n 1 + 0. Dlatego po T S n 2 + ... +I to pomimo faktu, że jego obwód jest nieskończony. Ta właściwość może wydawać się paradoksalna, ale jest oczywista - płatek śniegu wpasowuje się całkowicie w okrąg, więc jego powierzchnia jest oczywiście ograniczona. Pole można obliczyć i nie potrzeba do tego nawet specjalnej wiedzy - w szkole uczy się wzorów na pole trójkąta i sumę postępu geometrycznego. Dla zainteresowanych obliczenia są wymienione poniżej drobnym drukiem. 1 · równy (4/3) = 
2 · 2. Ma nieskończoną długość. S 
. Płatek śniegu uzyskuje się po nieskończonej liczbie kroków, co odpowiada
→ ∞. Wynik jest sumą nieskończoną, ale jest to suma malejącego postępu geometrycznego. Jest na to wzór: N(δ ) ~ (1/δ ). Powierzchnia płatka śniegu wynosi. 4. Wymiar fraktalny jest równy log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Dokładne obliczenia będą wymagały sporo wysiłku i szczegółowych wyjaśnień, dlatego tutaj jest raczej ilustracja definicji wymiaru fraktalnego. Ze wzoru na prawo potęgowe N D δ , Gdzie D- liczba przecinających się kwadratów, D- ich rozmiar i jest wymiarem, rozumiemy to= log 1/ δ ). Ryciny przedstawiają piątą iterację konstruowania krzywej Kocha; kwadraty siatki, które się z nią przecinają, są zacieniowane na zielono. Długość pierwotnego odcinka wynosi 1, więc na górnym rysunku długość boku kwadratów wynosi 1/9. Zacieniowano 12 kwadratów, log 9 12 ≈ 1,130929... . Jeszcze nie bardzo podobny do 1.261859... . Spójrzmy dalej. Na środkowym zdjęciu kwadraty są o połowę mniejsze, ich rozmiar to 1/18, zacienione 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Już lepiej. Poniżej kwadraty są nadal o połowę mniejsze; 72 elementy zostały już zamalowane. log 72 30 ≈ 1,193426... . Jeszcze bliżej. Następnie należy zwiększyć liczbę iteracji i jednocześnie zmniejszyć kwadraty, wówczas „empiryczna” wartość wymiaru krzywej Kocha będzie stale zbliżać się do log 3 4, a na granicy całkowicie się zbiegnie.
Płatek śniegu Kocha „wręcz przeciwnie” otrzymamy, jeśli skonstruujemy krzywe Kocha wewnątrz pierwotnego trójkąta równobocznego.
Linie Cesaro.
Zamiast trójkątów równobocznych stosuje się trójkąty równoramienne o kącie przy podstawie od 60° do 90°. Na rysunku kąt wynosi 88°.
|
Opcja kwadratowa.
Tutaj kwadraty są gotowe.
Płatek śniegu Kocha
}
płótno(
obramowanie: 1 px przerywana czarna;
zm. cos = 0,5,
grzech = Math.sqrt(3) / 2,
stopnie = matematyka.PI / 180;
canv, ctx;
funkcja rebro(n, len) (
ctx.zapisz(); // Zapisz bieżącą transformację
}
if (n == 0) ( // Przypadek nierekurencyjny - narysuj linię
ctx.lineTo(długość, 0);
w przeciwnym razie(
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // Pomniejsz 3 razy
rebro(n-1, len); //RECUURSION na krawędzi
ctx.rotate(60 * stopni);
rebro(n-1, len); //RECUURSION na krawędzi
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // Pomniejsz 3 razy
rebro(n-1, len); //RECUURSION na krawędzi
}
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * stopni);
}
ctx.restore(); // Przywróć transformację
ctx.translate(długość, 0); // idź na koniec krawędzi
funkcja remisKochSnowflake(x, y, len, n) (
x = x - długość / 2;
y = y + dł. / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.zapisz();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * stopni); //RECUUUURSION jest już trójkątem
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * stopni);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
}
ctx.stroke();
ctx.restore();
funkcja clearcanvas())( //wyczyść płótno
ctx.zapisz();
ctx.beginPath();
// Użyj macierzy tożsamości podczas czyszczenia obszaru roboczego
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);
}
// Przywróć transformację
ctx.restore();
funkcja run() (
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("ilość").wartość;
}
remisKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);
Krzywa Kocha to krzywa fraktalna opisana w 1904 roku przez szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. Trzy kopie krzywej Kocha, zbudowane (skierowane na zewnątrz) na bokach trójkąta równobocznego, tworzą zamkniętą krzywą zwaną płatkiem śniegu Kocha.
Czasami mam dziwactwa, kiedy mam ochotę na przekleństwa. zaprogramuj problem. Tym razem postanowiłem pobawić się fraktalami. Mianowicie z płatkiem śniegu Kocha.
Płatek śniegu KochaTen fraktal jest jednym z pierwszych zbadanych przez naukowców. Wywodzi się z trzech kopii krzywej Kocha, która po raz pierwszy pojawiła się w artykule szwedzkiego matematyka Helge von Kocha w 1904 roku. Krzywa ta została wymyślona jako przykład linii ciągłej, do której w żadnym punkcie nie można poprowadzić stycznej.
Podstawowe właściwości krzywej Kocha:
Czasami całkiem interesujące jest zapamiętanie najprostszych przekleństw. transformacje (: W tym przypadku konieczne było odświeżenie wiedzy o wektorach i transformacjach punktów na płaszczyźnie.
W szczególności, jak obrócić punkt względem innego punktu:
Cóż, trzeba wiedzieć, jak znaleźć punkt na odcinku znajdującym się w pewnej odległości od tego punktu, znając tę odległość i współrzędne punktów. Metod jest wiele. Możesz znaleźć współrzędne prostej zawierającej te punkty, a następnie podstawić je do równania. Współrzędne można obliczyć za pomocą wektorów.
Wygląda mniej więcej tak.
