Fraktāļu sniegpārsliņu, vienu no slavenākajiem un noslēpumainākajiem ģeometriskiem objektiem, mūsu gadsimta sākumā aprakstīja Helga fon Koha. Saskaņā ar tradīciju mūsu literatūrā to sauc par Koha sniegpārsliņu. Šī ir ļoti “spica” ģeometriska figūra, ko metaforiski var uzskatīt par Dāvida zvaigznes vairākkārtējas “reizināšanas” rezultātu. Tā seši galvenie stari ir pārklāti ar bezgalīgu skaitu lielu un mazu "adatu" virsotņu. Katrs sniegpārslas kontūras mikroskopiskais fragments ir kā divi zirņi pākstī, kas līdzinās visam lielajam staram, un lielais stars savukārt satur bezgalīgi daudz vienādu mikroskopisku fragmentu.

Starptautiskajā simpozijā par matemātiskās modelēšanas metodoloģiju Varnā 1994. gadā es sastapos ar bulgāru autoru darbiem, kuri vidusskolas stundās aprakstīja savu pieredzi, izmantojot Koha sniegpārslas un citus līdzīgus objektus, lai ilustrētu telpas dalāmības problēmu un Zenona filozofiskās aporijas. Turklāt no izglītības viedokļa, manuprāt, ļoti interesants ir pats regulāro fraktāļu ģeometrisko struktūru konstruēšanas princips - pamatelementa rekursīvās reizināšanas princips. Ne velti daba “mīl” fraktāļu formas. Tas izskaidrojams tieši ar to, ka tos iegūst, vienkārši pavairot un mainot noteikta elementāra celtniecības bloka izmēru. Kā zināms, daba nepārplūst ar dažādiem iemesliem un, ja iespējams, iztiek ar vienkāršākajiem algoritmiskajiem risinājumiem. Uzmanīgi apskatiet lapu kontūras, un daudzos gadījumos jūs atklāsiet skaidru saistību ar Koha sniegpārslas kontūras formu.

Fraktāļu ģeometrisko struktūru vizualizācija iespējama tikai ar datora palīdzību. Jau tagad ir ļoti grūti manuāli uzbūvēt Koha sniegpārsliņu virs trešās kārtas, bet ļoti gribas ieskatīties bezgalībā! Tāpēc kāpēc gan nemēģināt izstrādāt atbilstošu datorprogrammu. Vietnē RuNet varat atrast ieteikumus Koha sniegpārslas veidošanai no trijstūriem. Šī algoritma rezultāts izskatās kā krustojošu līniju juceklis. Interesantāk ir apvienot šo figūru no “gabaliem”. Koha sniegpārslas kontūra sastāv no vienāda garuma segmentiem, kas ir slīpi 0°, 60° un 120° leņķī attiecībā pret horizontālo x asi. Ja mēs tos apzīmēsim attiecīgi ar 1, 2 un 3, tad jebkuras kārtas sniegpārsla sastāvēs no secīgiem trīnīšiem - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... utt. Katrs no šiem trim veidiem segmentu vienā vai otrā galā var pievienot iepriekšējam. Ņemot vērā šo apstākli, mēs varam pieņemt, ka sniegpārslas kontūra sastāv no sešu veidu segmentiem. Apzīmēsim tos ar 0, 1, 2, 3, 4, 5. Tādējādi mēs iegūstam iespēju iekodēt jebkuras kārtas kontūru, izmantojot 6 ciparus (skat. attēlu).

Augstākas kārtas sniegpārsliņu iegūst no zemākas kārtas priekšgājēja, aizvietojot katru malu ar četrām, savienotām kā salocītām plaukstām (_/\_). Malu tips 0 tiek aizstāts ar četrām malām 0, 5, 1, 0 un tā tālāk saskaņā ar tabulu:

0	0 1 5 0
1	1 2 0 1
2	2 3 1 2
3	3 4 2 3
4	4 5 3 4
5	5 0 4 5

Vienkāršu vienādmalu trīsstūri var uzskatīt par nulles kārtas Koha sniegpārsliņu. Aprakstītajā kodēšanas sistēmā tas atbilst ierakstam 0, 4, 2. Visu pārējo var iegūt ar aprakstītajiem aizvietojumiem. Es šeit nenorādīšu procedūras kodu un tādējādi atņemšu jums prieku izstrādāt savu programmu. Rakstot to, nav obligāti jāizmanto izteikts rekursīvs izsaukums. To var aizstāt ar regulāru ciklu. Darba procesā jums būs vēl viens iemesls padomāt par rekursiju un tās lomu apkārtējās pasaules kvazifraktāļu formu veidošanā un ceļa beigās (ja, protams, neesat pārāk slinks lai izietu to līdz galam), varēsiet apbrīnot fraktāļu sniegpārslas kontūru sarežģīto rakstu un arī beidzot ieskatīties bezgalības sejā.

Sniegpārsla Koha

Divdesmitā gadsimta sākumā matemātiķi meklēja līknes, kurām nevienā punktā nav pieskares. Tas nozīmēja, ka līkne pēkšņi mainīja virzienu un ārkārtīgi lielā ātrumā (atvasinājums bija vienāds ar bezgalību). Šo līkņu meklējumus izraisīja ne tikai matemātiķu tukšā interese. Fakts ir tāds, ka divdesmitā gadsimta sākumā kvantu mehānika attīstījās ļoti strauji. Pētnieks M. Brauns ieskicēja suspendēto daļiņu kustības trajektoriju ūdenī un skaidroja šo parādību šādi: nejauši kustīgie šķidruma atomi ietriecas suspendētās daļiņās un tādējādi iekustina tās. Pēc šī Brauna kustības skaidrojuma zinātnieki saskārās ar uzdevumu atrast līkni, kas vislabāk tuvinātu Brauna daļiņu kustību. Lai to izdarītu, līknei bija jāatbilst šādām īpašībām: nevienā punktā nav pieskares. Matemātiķis Kohs ierosināja vienu šādu līkni. Mēs neiedziļināsimies tās uzbūves noteikumu skaidrojumos, bet vienkārši iepazīstināsim ar tās attēlu, no kura viss kļūs skaidrs (1.1.1. att.).

1.1.1.attēls. Sniegpārsla Koha.

Viena svarīga Koha sniegpārslas robežas īpašība ir tās bezgalīgais garums. Tas var šķist pārsteidzoši, jo mēs esam pieraduši rīkoties ar līknēm no aprēķina kursiem. Parasti gludām vai vismaz pa daļām gludām līknēm vienmēr ir ierobežots garums (ko var pārbaudīt ar integrāciju). Šajā sakarā Mandelbrots publicēja vairākus aizraujošus darbus, kas pēta Lielbritānijas krasta līnijas garuma mērīšanas jautājumu. Kā modelis viņš

Rīsi. 1.1.2. Koha sniegpārslas celtniecība.

izmantoja fraktāļu līkni, kas atgādina sniegpārslas malu, izņemot to, ka tā ieviesa nejaušības elementu, lai ņemtu vērā nejaušību dabā. Rezultātā izrādījās, ka līknei, kas raksturo krasta līniju, ir bezgalīgs garums.

Sierpinska salvete un paklājs

Vēl viens vienkārša sev līdzīga fraktāļa piemērs --- Sierpinski salvete(1.2.1. att.), ko 1915. gadā izgudroja poļu matemātiķis Vaklāvs Sierpinskis. Pats termins salvete pieder Mandelbrotam. Tālāk norādītajā būvniecības metodē mēs sākam ar noteiktu reģionu un secīgi izslēdzam iekšējos apakšreģionus. Vēlāk mēs apsvērsim citas metodes, jo īpaši izmantojot L-sistēmas, kā arī pamatojoties uz iterētām funkcijām.

Attēls 1.2.1. Sierpinski salvete

Lai sākotnējā kopa S 0 ir vienādmalu trīsstūris kopā ar apgabalu, ko tā aptver. Sadalīsim S0 četros mazākos trīsstūrveida apgabalos, savienojot sākotnējā trijstūra malu viduspunktus ar segmentiem. Noņemsim mazā centrālā trīsstūra laukuma iekšpusi. Atlikušo kopu sauksim par S 1 (1.2.2. att.). Pēc tam mēs atkārtojam procesu katram no trim atlikušajiem mazajiem trīsstūriem, lai iegūtu šādu tuvinājumu S 2 . Turpinot šādi, iegūstam ligzdotu kopu secību S n, kuru krustpunktu veido salvete S.

Rīsi. 1.2.2. Sierpinski salvetes konstrukcija

Acīmredzot būvniecības laikā izmesto detaļu kopējā platība ir tieši vienāda ar sākotnējā trīsstūra laukumu. Pirmajā solī mēs izmetām ¼ daļu no platības. Nākamajā solī mēs izmetām trīs trīsstūrus, no kuriem katra laukums ir vienāds ar ½ 2 no sākotnējā laukuma. Šādā veidā mēs esam pārliecināti, ka kopējā izmestās platības daļa bija:

1/4 + 3 * (1/4 2) + 3 2 * (1/4 3) + … + 3 n-1 * (1/4 n) + … .

Šī summa ir vienāda. Tāpēc mēs varam apgalvot, ka atlikušajai kopai S, tas ir, salvetei, ir nulles izmēra laukums. Tas padara S par “perfektu” komplektu tādā nozīmē, ka tas sadala savu komplementu bezgalīgā skaitā trīsstūrveida apgabalu, vienlaikus nesaņemot biezumu.

Sierpinski paklājs tiek uzskatīts par vēl vienu fraktāļu modeli. Tas ir konstruēts šādi: paņemiet kvadrātu, sadaliet to deviņos kvadrātos un izgrieziet centrālo laukumu. Pēc tam līdzīga procedūra tiek veikta ar katru no astoņiem atlikušajiem kvadrātiem. Un tā tālāk bezgalīgi. Rezultātā vesela kvadrāta vietā iegūstam paklāju ar savdabīgu simetrisku rakstu. Šo modeli pirmo reizi ierosināja matemātiķis Sierpinskis, kuram par godu tas saņēma savu nosaukumu. Sierpinski paklāja piemēru var redzēt attēlā. 1.2.3.

Šis skaitlis ir viens no pirmajiem zinātnieku pētītajiem fraktāļiem. Tas nāk no trim eksemplāriem Koha līkne, kas pirmo reizi parādījās zviedru matemātiķa Helges fon Kohas rakstā 1904. gadā. Šī līkne tika izgudrota kā piemērs nepārtrauktai līnijai, kurai nevienā punktā nevar novilkt tangensu. Līnijas ar šo īpašību bija zināmas jau iepriekš (Karls Veierštrāss savu piemēru uzbūvēja tālajā 1872. gadā), taču Koha līkne ir ievērojama ar tās dizaina vienkāršību. Nav nejaušība, ka viņa raksts saucas “Uz nepārtrauktas līknes bez pieskarēm, kas izriet no elementāras ģeometrijas”.

Koha līknes konstruēšanas pirmie posmi

Zīmējums un animācija lieliski parāda, kā Koha līkne tiek veidota soli pa solim. Pirmā iterācija ir vienkārši sākotnējais segments. Tad to sadala trīs vienādās daļās, centrālo pabeidz, veidojot regulāru trīsstūri un pēc tam izmet ārā. Rezultāts ir otrā iterācija - pārtraukta līnija, kas sastāv no četriem segmentiem. Katrai no tām tiek piemērota viena un tā pati darbība, un tiek iegūts ceturtais būvniecības posms. Turpinot tādā pašā garā, var iegūt arvien jaunas rindas (tās visas būs lauztas līnijas). Un to, kas notiek limitā (tas jau būs iedomāts objekts), sauc par Koha līkni.

Koha līknes pamatīpašības

1. Tas ir nepārtraukts, bet nekur nav atšķirams.

Aptuveni runājot, tieši tāpēc tas tika izgudrots - kā piemērs šāda veida matemātikas “frīkiem”. 2. Ir bezgalīgs garums.Ļaujiet oriģinālā segmenta garumam būt 1. Katrā būvniecības posmā mēs katru no segmentiem, kas veido līniju, aizstājam ar lauztu līniju, kas ir 4/3 reizes garāka. Tas nozīmē, ka visas pārtrauktās līnijas garums katrā solī tiek reizināts ar 4/3: līnijas garums ar skaitli

n

ir vienāds ar (4/3) n–1 . Tāpēc robežlīnijai neatliek nekas cits kā būt bezgalīgi garai. 3. Koha sniegpārsla ierobežo ierobežoto apgabalu. Un tas neskatoties uz to, ka tā perimetrs ir bezgalīgs. Šis īpašums var šķist paradoksāls, taču tas ir acīmredzams - sniegpārsla pilnībā iekļaujas aplī, tāpēc tās laukums ir acīmredzami ierobežots. Platību var aprēķināt, un tam pat nav vajadzīgas īpašas zināšanas - skolā tiek mācītas formulas trijstūra laukumam un ģeometriskās progresijas summai. Tiem, kas interesējas, aprēķins ir norādīts zemāk sīkā drukā. 2. Ir bezgalīgs garums. Lai sākotnējā regulārā trijstūra mala būtu vienāda ar a 2. Ir bezgalīgs garums.. Tad tā platība ir . Vispirms mala ir 1 un laukums ir: . Kas notiek, palielinoties iterācijai? Var pieņemt, ka mazi vienādmalu trīsstūri ir pievienoti esošam daudzstūrim. Pirmajā reizē tās ir tikai 3, un katrā nākamajā reizē to ir 4 reizes vairāk nekā iepriekšējā. Tas ir, ieslēgts 2. Ir bezgalīgs garums. Solī tiks pabeigti T n = 3 · 4 n–1 trīsstūri. Katras no tām malas garums ir viena trešdaļa no iepriekšējā solī pabeigtā trīsstūra malas. Tas nozīmē, ka tas ir vienāds ar (1/3) n. Laukumi ir proporcionāli malu kvadrātiem, tāpēc katra trīsstūra laukums ir . Sniegpārsliņu iegūst pēc bezgalīga soļu skaita, kas atbilst n → ∞. Rezultāts ir bezgalīga summa, bet tā ir dilstošās ģeometriskās progresijas summa, tai ir formula: . Sniegpārslas laukums ir vienāds.

4. Fraktāļa dimensija ir vienāda ar log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Precīzs aprēķins prasīs ievērojamas pūles un detalizētus paskaidrojumus, tāpēc šeit ir drīzāk fraktāļu dimensijas definīcijas ilustrācija. No pakāpju likuma formulas N(δ) ~ (1/δ)D, kur N- krustojošo kvadrātu skaits, δ - to lielums, D- dimensiju, iegūstam, ka D = log 1/δ N. Šī vienādība ir patiesa līdz konstantes pievienošanai (vienāda visiem δ ). Attēli parāda Koha līknes konstruēšanas piekto atkārtojumu, režģa kvadrāti, kas ar to krustojas, ir iekrāsoti zaļā krāsā. Sākotnējā segmenta garums ir 1, tātad kreisajā attēlā kvadrātu malu garums ir 1/9. 12 kvadrāti ir noēnoti, log 9 12 ≈ 1.130929... . Vēl nav ļoti līdzīgs 1.261859... . Paskatīsimies tālāk. Vidējā attēlā kvadrāti ir uz pusi mazāki, to izmērs 1/18, ēnots 30. log 18 30 ≈ 1.176733... . Jau labāk. Labajā pusē kvadrāti joprojām ir uz pusi lielāki, jau ir nokrāsoti 72 gabali. log 72 30 ≈ 1.193426... . Vēl tuvāk. Tad jums jāpalielina iterācijas skaits un vienlaikus jāsamazina kvadrāti, tad Koha līknes dimensijas “empīriskā” vērtība vienmērīgi tuvosies log 3 4, un robežās tā pilnībā sakritīs.

Iespējas
Koha sniegpārsla “tieši otrādi” tiek iegūta, ja sākotnējā vienādmalu trīsstūrī veidojam Koha līknes.
Cēzaro līnijas. Vienādmalu trīsstūru vietā tiek izmantoti vienādsānu trijstūri ar pamatnes leņķi no 60° līdz 90°. Attēlā leņķis ir 88°.
Kvadrātveida versija. Šeit kvadrāti ir pabeigti.
Trīsdimensiju analogi. Koha telpa.

Trīs Koha līknes kopijas, kas izveidotas (ar to punktiem uz āru) regulāra trīsstūra malās, veido slēgtu bezgalīga garuma līkni, ko sauc par Koha sniegpārsla.

Šis skaitlis ir viens no pirmajiem zinātnieku pētītajiem fraktāļiem. Tas nāk no trim eksemplāriem Koha līkne, kas pirmo reizi parādījās zviedru matemātiķa Helges fon Kohas rakstā 1904. gadā. Šī līkne tika izgudrota kā piemērs nepārtrauktai līnijai, kurai nevienā punktā nevar novilkt tangensu. Līnijas ar šo īpašību bija zināmas jau iepriekš (Karls Veierštrāss savu piemēru uzbūvēja tālajā 1872. gadā), taču Koha līkne ir ievērojama ar tās dizaina vienkāršību. Nav nejaušība, ka viņa raksts saucas “Uz nepārtrauktas līknes bez pieskarēm, kas izriet no elementāras ģeometrijas”.

Zīmējums un animācija lieliski parāda, kā Koha līkne tiek veidota soli pa solim. Pirmā iterācija ir vienkārši sākotnējais segments. Tad to sadala trīs vienādās daļās, centrālo pabeidz, veidojot regulāru trīsstūri un pēc tam izmet ārā. Rezultāts ir otrā iterācija - pārtraukta līnija, kas sastāv no četriem segmentiem. Katrai no tām tiek piemērota viena un tā pati darbība, un tiek iegūts ceturtais būvniecības posms. Turpinot tādā pašā garā, var iegūt arvien jaunas rindas (tās visas būs lauztas līnijas). Un to, kas notiek limitā (tas jau būs iedomāts objekts), sauc par Koha līkni.

Koha līknes pamatīpašības

1. Tas ir nepārtraukts, bet nekur nav atšķirams.

Aptuveni runājot, tieši tāpēc tas tika izgudrots - kā piemērs šāda veida matemātikas “frīkiem”. 2. Ir bezgalīgs garums. Aptuveni runājot, tieši tāpēc tas tika izgudrots - kā piemērs šāda veida matemātikas “frīkiem”. vienāds ar (4/3) n

-1. Tāpēc robežlīnijai neatliek nekas cits kā būt bezgalīgi garai.

ir vienāds ar (4/3) n–1 . Tāpēc robežlīnijai neatliek nekas cits kā būt bezgalīgi garai. 3. Koha sniegpārsla ierobežo ierobežoto apgabalu. Un tas neskatoties uz to, ka tā perimetrs ir bezgalīgs. Šis īpašums var šķist paradoksāls, taču tas ir acīmredzams - sniegpārsla pilnībā iekļaujas aplī, tāpēc tās laukums ir acīmredzami ierobežots. Platību var aprēķināt, un tam pat nav vajadzīgas īpašas zināšanas - skolā tiek mācītas formulas trijstūra laukumam un ģeometriskās progresijas summai. Tiem, kas interesējas, aprēķins ir norādīts zemāk sīkā drukā. 2. Ir bezgalīgs garums. 3. Koha sniegpārsla ierobežo ierobežoto apgabalu. Un tas neskatoties uz to, ka tā perimetrs ir bezgalīgs. Šis īpašums var šķist paradoksāls, taču tas ir acīmredzams - sniegpārsla pilnībā iekļaujas aplī, tāpēc tās laukums ir acīmredzami ierobežots. Platību var aprēķināt, un tam pat nav vajadzīgas īpašas zināšanas - skolā māca trijstūra laukuma un ģeometriskās progresijas summas formulas. Tiem, kas interesējas, aprēķins ir norādīts zemāk sīkā drukā. solis tiks pabeigts vienāds ar (4/3) Tn vienāds ar (4/3)= 34 a 2. Ir bezgalīgs garums.-1 trīsstūris. Katras no tām malas garums ir viena trešdaļa no iepriekšējā solī pabeigtā trīsstūra malas. Tātad tas ir vienāds ar (1/3) Un tas neskatoties uz to, ka tā perimetrs ir bezgalīgs. Šis īpašums var šķist paradoksāls, taču tas ir acīmredzams - sniegpārsla pilnībā iekļaujas aplī, tāpēc tās laukums ir acīmredzami ierobežots. Platību var aprēķināt, un tam pat nav vajadzīgas īpašas zināšanas - skolā māca trijstūra laukuma un ģeometriskās progresijas summas formulas. Tiem, kas interesējas, aprēķins ir norādīts zemāk sīkā drukā. · . Laukumi ir proporcionāli malu kvadrātiem, tāpēc katra trīsstūra laukums ir Starp citu, tas ir ļoti maz. Šo trīsstūru kopējais ieguldījums sniegpārslas laukumā ir vienāds ar (4/3) · S n= 3/4 · (4/9) 2. Ir bezgalīgs garums. S S n 0 + 0 . Tāpēc pēc-solis, figūras laukums būs vienāds ar summu S n 1 + 0 . Tāpēc pēc T S n 2 + ... +Un tas neskatoties uz to, ka tā perimetrs ir bezgalīgs. Šis īpašums var šķist paradoksāls, taču tas ir acīmredzams - sniegpārsla pilnībā iekļaujas aplī, tāpēc tās laukums ir acīmredzami ierobežots. Platību var aprēķināt, un tam pat nav vajadzīgas īpašas zināšanas - skolā māca trijstūra laukuma un ģeometriskās progresijas summas formulas. Tiem, kas interesējas, aprēķins ir norādīts zemāk sīkā drukā. 1 · vienāds ar (4/3) = 2 · 2. Ir bezgalīgs garums. S . Sniegpārsliņu iegūst pēc bezgalīgi daudzām soļiem, kas atbilst

→ ∞. Rezultāts ir bezgalīga summa, bet tā ir dilstošās ģeometriskās progresijas summa, tai ir formula: N(δ ) ~ (1/δ ). Sniegpārslas laukums ir. 4. Fraktāļa dimensija ir vienāda ar log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Precīzs aprēķins prasīs ievērojamas pūles un detalizētus paskaidrojumus, tāpēc šeit ir drīzāk fraktāļu dimensijas definīcijas ilustrācija. No spēka likuma formulas N D δ , Kur D- krustojošo kvadrātu skaits, D- to lielums un ir dimensija, mēs to saprotam= žurnāls 1/ δ ). Attēli parāda Koha līknes konstruēšanas piekto atkārtojumu, režģa kvadrāti, kas ar to krustojas, ir iekrāsoti zaļā krāsā. Sākotnējā segmenta garums ir 1, tātad augšējā attēlā kvadrātu malu garums ir 1/9. 12 kvadrāti ir noēnoti, log 9 12 ≈ 1.130929... . Vēl nav ļoti līdzīgs 1.261859... . Paskatīsimies tālāk. Vidējā attēlā kvadrāti ir uz pusi mazāki, to izmērs 1/18, ēnots 30. log 18 30 ≈ 1.176733... . Jau labāk. Zemāk kvadrāti joprojām ir uz pusi lielāki, jau ir nokrāsoti 72 gabali. log 72 30 ≈ 1.193426... . Vēl tuvāk. Tad jums jāpalielina iterācijas skaits un vienlaikus jāsamazina kvadrāti, tad Koha līknes dimensijas “empīriskā” vērtība vienmērīgi tuvosies log 3 4, un robežās tā pilnībā sakritīs.

Iespējas

Koha sniegpārsla “tieši otrādi” tiek iegūta, ja sākotnējā vienādmalu trīsstūrī veidojam Koha līknes.

Cēzaro līnijas.

Vienādmalu trīsstūru vietā tiek izmantoti vienādsānu trijstūri ar pamatnes leņķi no 60° līdz 90°. Attēlā leņķis ir 88°.

Kvadrātveida variants.

Šeit kvadrāti ir pabeigti.
Sniegpārsla Koha
}

audekls (
apmale: 1px svītrots melns;
var cos = 0,5,
sin = Math.sqrt(3) / 2,

deg = Math.PI / 180;
canv, ctx;
funkcija rebro(n, len) (
ctx.save(); // Saglabājiet pašreizējo transformāciju
}
if (n == 0) ( // Nerekursīvs gadījums - novilkt līniju
ctx.lineTo(len, 0);
cits(
ctx.scale(1/3, 1/3); // Tālināt 3 reizes
rebro(n-1, len); //REKURSIJA uz malas
ctx.rotate(60 * grādi);
rebro(n-1, len); //REKURSIJA uz malas
ctx.scale(1/3, 1/3); // Tālināt 3 reizes
rebro(n-1, len); //REKURSIJA uz malas
}
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * grādi);
}

ctx.restore(); // Atjaunot transformāciju
ctx.translate(len, 0); // iet uz malas galu
funkcija drawKochSnowflake(x, y, len, n) (
x = x - len / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * grādi); //RECUUUURSION jau ir trīsstūris
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * grādi);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
}

ctx.stroke();
ctx.restore();
funkcija clearcanvas())( //notīrīt audeklu

ctx.save();
ctx.beginPath();
// Audekla notīrīšanas laikā izmantojiet identitātes matricu

ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);
}

// Atjaunot transformāciju
ctx.restore();
funkcija palaist() (
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");

var numberiter = document.getElementById("qty").value;
}

drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Koha līkne ir fraktāļu līkne, ko 1904. gadā aprakstīja zviedru matemātiķis Helge fon Kohs. Trīs Koha līknes kopijas, kas izveidotas (norāda uz āru) vienādmalu trīsstūra malās, veido slēgtu līkni, ko sauc par Koha sniegpārsliņu.

Reizēm man ir ķibeles, kad gribas kādu lamuvārdu. ieprogrammējiet problēmu. Šoreiz es nolēmu pačakarēt ar fraktāļiem. Proti ar Koha sniegpārsliņu.

Sniegpārsla Koha

Šis fraktāls ir viens no pirmajiem, ko pētījuši zinātnieki. Tas ir iegūts no trim Koha līknes kopijām, kas pirmo reizi parādījās zviedru matemātiķa Helges fon Kohas rakstā 1904. gadā. Šī līkne tika izgudrota kā piemērs nepārtrauktai līnijai, kurai nevienā punktā nevar novilkt tangensu.

Koha līknes pamatīpašības:

Tas ir nepārtraukts, bet nekur nav atšķirams.

Ir bezgalīgs garums. Ļaujiet oriģinālā segmenta garumam būt 1. Katrā būvniecības posmā mēs katru no segmentiem, kas veido līniju, aizstājam ar lauztu līniju, kas ir 4/3 reizes garāka. Tas nozīmē, ka visas lauztās līnijas garums katrā solī tiek reizināts ar 4/3: līnijas ar skaitli n garums ir vienāds ar (4/3)n–1. Tāpēc robežlīnijai neatliek nekas cits kā būt bezgalīgi garai.

Koha sniegpārsla ierobežo ierobežoto apgabalu. Un tas neskatoties uz to, ka tā perimetrs ir bezgalīgs. Šis īpašums var šķist paradoksāls, taču tas ir acīmredzams - sniegpārsla pilnībā iekļaujas aplī, tāpēc tās laukums ir acīmredzami ierobežots.

Mazliet matemātikas

Dažreiz ir interesanti atcerēties vienkāršākos lamuvārdus. transformācijas (: Šajā gadījumā bija nepieciešams atsvaidzināt zināšanas par vektoriem un punktu transformācijām plaknē.

Konkrēti, kā pagriezt punktu attiecībā pret citu punktu:

Nu, jums ir jāzina, kā atrast punktu segmentā, kas atrodas zināmā attālumā no punkta, zinot šo attālumu un punktu koordinātas. Ir tik daudz metožu. Varat atrast tās līnijas koordinātas, kas satur šos punktus, un pēc tam tās aizstāt vienādojumā. Jūs varat aprēķināt koordinātas, izmantojot vektorus.

Tas izskatās apmēram šādi.