Jūsų pageidavimu!
13. Išspręskite lygtį 3-4cos 2 x=0. Raskite jo šaknų, priklausančių intervalui, sumą.
Sumažinkime kosinuso laipsnį pagal formulę: 1+cos2α=2cos 2 α. Gauname lygiavertę lygtį:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Abi lygties puses padalijame iš (-2) ir gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį:
14. Raskite b 5 geometrinę progresiją, jei b 4 =25 ir b 6 =16.
Kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Turime (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.
15. Raskite funkcijos išvestinę: f(x)=tgx-ctgx.
16. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y(x)=x 2 -12x+27 reikšmes
segmente.
Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes y=f(x) segmente, reikia rasti šios funkcijos reikšmes segmento galuose ir tuose kritiniuose taškuose, kurie priklauso šiam segmentui, o tada iš visų gautų reikšmių pasirinkti didžiausią ir mažiausią.
Raskime funkcijos reikšmes ties x=3 ir ties x=7, t.y. segmento galuose.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Raskite šios funkcijos išvestinę: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); kritinis taškas x=6 priklauso duotam intervalui. Raskite funkcijos reikšmę, kai x=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. O dabar renkamės iš trijų gautų reikšmių: 0; -8 ir -9 yra didžiausi ir mažiausi: daugiausia. =0; įdarbinant =-9.
17. Raskite bendrąją funkcijos antidarinių formą:
Šis intervalas yra šios funkcijos apibrėžimo sritis. Atsakymai turėtų prasidėti F(x), o ne f(x), nes mes ieškome antidarinio. Pagal apibrėžimą funkcija F(x) yra funkcijos f(x) antiderivinė, jei galioja lygybė: F’(x)=f(x). Taigi galite tiesiog rasti siūlomų atsakymų išvestinius, kol gausite šią funkciją. Griežtas sprendimas yra duotosios funkcijos integralo apskaičiavimas. Taikome formules:
19. Sudarykite tiesės, kurioje yra trikampio ABC mediana BD, lygtį, jei jos viršūnės yra A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).
Norėdami sudaryti tiesės lygtį, turite žinoti 2 šios tiesės taškų koordinates, o mes žinome tik taško B koordinates. Kadangi mediana BD dalija priešingą pusę pusiau, taškas D yra vidurio taškas segmento AC. Atkarpos vidurio taškai yra atitinkamų atkarpos galų koordinačių pusės sumos. Raskime taško D koordinates.
20. Apskaičiuoti:
24. Taisyklingo trikampio plotas tiesios prizmės pagrindu yra
Ši problema yra atvirkštinė 24 užduočiai iš 0021 parinkties.
25. Raskite šabloną ir įrašykite trūkstamą skaičių: 1; 4; 9; šešiolika; …
Akivaizdu, kad šis skaičius 25 , nes mums duota natūraliųjų skaičių kvadratų seka:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Sėkmės ir sėkmės visiems!
Norėdami sėkmingai išspręsti trigonometrines lygtis patogus naudoti mažinimo metodasį anksčiau išspręstas problemas. Pažiūrėkime, kokia yra šio metodo esmė?
Bet kurioje siūlomoje užduotyje turite pamatyti anksčiau išspręstą uždavinį, o tada, pasitelkdami nuoseklias lygiavertes transformacijas, pabandyti sumažinti jums pateiktą problemą į paprastesnę.
Taigi, sprendžiant trigonometrines lygtis, jos dažniausiai sudaro kokią nors baigtinę lygiaverčių lygčių seką, kurios paskutinė grandis yra lygtis su akivaizdžiu sprendimu. Tik svarbu atsiminti, kad jei nesuformuosite paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo įgūdžių, sudėtingesnių lygčių sprendimas bus sunkus ir neveiksmingas.
Be to, spręsdami trigonometrines lygtis, niekada neturėtumėte pamiršti apie kelių sprendimų egzistavimo galimybę.
1 pavyzdys. Raskite lygties cos x = -1/2 šaknų skaičių intervale.
Sprendimas:
Aš būdas. Nubraižykime funkcijų y = cos x ir y = -1/2 grafikus ir raskime jų bendrų taškų skaičių intervale (1 pav.).
Kadangi funkcijų grafikai turi du bendrus intervalo taškus, lygtis turi dvi šio intervalo šaknis.
II būdas. Naudodami trigonometrinį apskritimą (2 pav.) sužinome taškų, priklausančių intervalui, kuriame cos x = -1/2, skaičių. Paveikslėlyje parodyta, kad lygtis turi dvi šaknis. 
III būdas. Naudodami trigonometrinės lygties šaknų formulę išsprendžiame lygtį cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Šaknys 2π/3 ir -2π/3 + 2π priklauso intervalui, k yra sveikasis skaičius. Taigi lygtis turi dvi šaknis tam tikrame intervale.
Atsakymas: 2.
Ateityje trigonometrinės lygtys bus sprendžiamos vienu iš siūlomų metodų, o tai daugeliu atvejų neatmeta ir kitų metodų.
2 pavyzdys. Raskite lygties tg (x + π/4) = 1 sprendinių skaičių intervale [-2π; 2π].
Sprendimas:
Naudodami trigonometrinės lygties šaknų formulę, gauname:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z);
Intervalas [-2π; 2π] priklauso skaičiams -2π; -π; 0; π; 2π. Taigi, lygtis turi penkias šaknis tam tikrame intervale.
Atsakymas: 5.
3 pavyzdys. Raskite lygties cos 2 x + sin x cos x = 1 šaknų skaičių intervale [-π; π].
Sprendimas:
Kadangi 1 = sin 2 x + cos 2 x (pagrindinė trigonometrinė tapatybė), pradinė lygtis tampa:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. sandauga lygi nuliui, tai reiškia, kad bent vienas iš veiksnių turi būti lygus nuliui, todėl:
sin x \u003d 0 arba sin x - cos x \u003d 0.
Kadangi kintamojo reikšmė, kurioje cos x = 0, nėra antrosios lygties šaknys (to paties skaičiaus sinusas ir kosinusas vienu metu negali būti lygūs nuliui), tada padalijame abi antrosios lygties dalis. lygtis pagal cos x:
sin x = 0 arba sin x / cos x - 1 = 0.
Antroje lygtyje naudojame faktą, kad tg x = sin x / cos x, tada:
sin x = 0 arba tg x = 1. Naudodami formules gauname:
x = πk arba x = π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z).
Nuo pirmosios šaknų serijos iki intervalo [-π; π] priklauso skaičiams -π; 0; π. Iš antrosios serijos: (π/4 – π) ir π/4.
Taigi, penkios pradinės lygties šaknys priklauso intervalui [-π; π].
Atsakymas: 5.
4 pavyzdys. Raskite lygties tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 šaknų sumą intervale [-π; 1,1π].
Sprendimas:
Perrašykime lygtį tokia forma:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ir atlikite pakeitimą.
Tegu tg x + сtgx = a. Padėkime kvadratu abi lygties puses:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Išplėskime skliaustus:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .
Kadangi tg x сtgx \u003d 1, tai tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, tai reiškia
tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.
Dabar pradinė lygtis atrodo taip:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Naudodami Vietos teoremą gauname, kad a = -1 arba a = -2.
Atlikdami atvirkštinį pakeitimą, turime:
tg x + сtgx = -1 arba tg x + сtgx = -2. Išspręskime gautas lygtis.
tgx + 1/tgx = -1 arba tgx + 1/tgx = -2.
Pagal dviejų abipusių skaičių savybę nustatome, kad pirmoji lygtis neturi šaknų, o iš antrosios lygties turime:
tg x = -1, t.y. x = -π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Intervalas [-π; 1,1π] šaknys priklauso: -π/4; -π/4 + π. Jų suma:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Atsakymas: π/2.
5 pavyzdys. Raskite lygties sin 3x + sin x = sin 2x šaknų aritmetinį vidurkį intervale [-π; 0,5π].
Sprendimas:
Mes naudojame formulę sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), tada
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x ir lygtis tampa
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Iš skliaustų išimame bendrą koeficientą sin 2x
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Išspręskime gautą lygtį:
sin 2x \u003d 0 arba 2cos x - 1 \u003d 0; 
sin 2x = 0 arba cos x = 1/2;
2x = πk arba x = ±π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Taigi mes turime šaknis
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Intervalas [-π; 0,5π] priklauso šaknims -π; -π/2; 0; π/2 (iš pirmosios šaknų serijos); π/3 (iš antrosios serijos); -π/3 (iš trečios serijos). Jų aritmetinis vidurkis yra:
(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.
Atsakymas: -π/6.
6 pavyzdys. Raskite lygties sin x + cos x = 0 šaknų skaičių intervale [-1,25π; 2π].
Sprendimas:
Ši lygtis yra vienalytė pirmojo laipsnio lygtis. Abi jo dalis padalinkite iš cosx (kintamojo reikšmė, kai cos x = 0, nėra šios lygties šaknys, nes to paties skaičiaus sinusas ir kosinusas negali būti lygūs nuliui tuo pačiu metu). Pradinė lygtis atrodo taip:
x = -π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Tarpas [-1,25π; 2π] turi šaknis -π/4; (-π/4 + π); ir (-π/4 + 2π).
Taigi nurodytam intervalui priklauso trys lygties šaknys.
Atsakymas: 3.
Išmokite padaryti svarbiausią dalyką – aiškiai pateikti problemos sprendimo planą, tada bet kokia trigonometrinė lygtis bus ant jūsų peties.
Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Norėdami sėkmingai išspręsti trigonometrines lygtis patogus naudoti mažinimo metodasį anksčiau išspręstas problemas. Pažiūrėkime, kokia yra šio metodo esmė?
Bet kurioje siūlomoje užduotyje turite pamatyti anksčiau išspręstą uždavinį, o tada, pasitelkdami nuoseklias lygiavertes transformacijas, pabandyti sumažinti jums pateiktą problemą į paprastesnę.
Taigi, sprendžiant trigonometrines lygtis, jos dažniausiai sudaro kokią nors baigtinę lygiaverčių lygčių seką, kurios paskutinė grandis yra lygtis su akivaizdžiu sprendimu. Tik svarbu atsiminti, kad jei nesuformuosite paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo įgūdžių, sudėtingesnių lygčių sprendimas bus sunkus ir neveiksmingas.
Be to, spręsdami trigonometrines lygtis, niekada neturėtumėte pamiršti apie kelių sprendimų egzistavimo galimybę.
1 pavyzdys. Raskite lygties cos x = -1/2 šaknų skaičių intervale.
Sprendimas:
Aš būdas. Nubraižykime funkcijų y = cos x ir y = -1/2 grafikus ir raskime jų bendrų taškų skaičių intervale (1 pav.).
Kadangi funkcijų grafikai turi du bendrus intervalo taškus, lygtis turi dvi šio intervalo šaknis.
II būdas. Naudodami trigonometrinį apskritimą (2 pav.) sužinome taškų, priklausančių intervalui, kuriame cos x = -1/2, skaičių. Paveikslėlyje parodyta, kad lygtis turi dvi šaknis.
III būdas. Naudodami trigonometrinės lygties šaknų formulę išsprendžiame lygtį cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Šaknys 2π/3 ir -2π/3 + 2π priklauso intervalui, k yra sveikasis skaičius. Taigi lygtis turi dvi šaknis tam tikrame intervale.
Atsakymas: 2.
Ateityje trigonometrinės lygtys bus sprendžiamos vienu iš siūlomų metodų, o tai daugeliu atvejų neatmeta ir kitų metodų.
2 pavyzdys. Raskite lygties tg (x + π/4) = 1 sprendinių skaičių intervale [-2π; 2π].
Sprendimas:
Naudodami trigonometrinės lygties šaknų formulę, gauname:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z);
Intervalas [-2π; 2π] priklauso skaičiams -2π; -π; 0; π; 2π. Taigi, lygtis turi penkias šaknis tam tikrame intervale.
Atsakymas: 5.
3 pavyzdys. Raskite lygties cos 2 x + sin x cos x = 1 šaknų skaičių intervale [-π; π].
Sprendimas:
Kadangi 1 = sin 2 x + cos 2 x (pagrindinė trigonometrinė tapatybė), pradinė lygtis tampa:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. sandauga lygi nuliui, tai reiškia, kad bent vienas iš veiksnių turi būti lygus nuliui, todėl:
sin x \u003d 0 arba sin x - cos x \u003d 0.
Kadangi kintamojo reikšmė, kurioje cos x = 0, nėra antrosios lygties šaknys (to paties skaičiaus sinusas ir kosinusas vienu metu negali būti lygūs nuliui), tada padalijame abi antrosios lygties dalis. lygtis pagal cos x:
sin x = 0 arba sin x / cos x - 1 = 0.
Antroje lygtyje naudojame faktą, kad tg x = sin x / cos x, tada:
sin x = 0 arba tg x = 1. Naudodami formules gauname:
x = πk arba x = π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z).
Nuo pirmosios šaknų serijos iki intervalo [-π; π] priklauso skaičiams -π; 0; π. Iš antrosios serijos: (π/4 – π) ir π/4.
Taigi, penkios pradinės lygties šaknys priklauso intervalui [-π; π].
Atsakymas: 5.
4 pavyzdys. Raskite lygties tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 šaknų sumą intervale [-π; 1,1π].
Sprendimas:
Perrašykime lygtį tokia forma:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ir atlikite pakeitimą.
Tegu tg x + сtgx = a. Padėkime kvadratu abi lygties puses:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Išplėskime skliaustus:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .
Kadangi tg x сtgx \u003d 1, tai tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, tai reiškia
tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.
Dabar pradinė lygtis atrodo taip:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Naudodami Vietos teoremą gauname, kad a = -1 arba a = -2.
Atlikdami atvirkštinį pakeitimą, turime:
tg x + сtgx = -1 arba tg x + сtgx = -2. Išspręskime gautas lygtis.
tgx + 1/tgx = -1 arba tgx + 1/tgx = -2.
Pagal dviejų abipusių skaičių savybę nustatome, kad pirmoji lygtis neturi šaknų, o iš antrosios lygties turime:
tg x = -1, t.y. x = -π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Intervalas [-π; 1,1π] šaknys priklauso: -π/4; -π/4 + π. Jų suma:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Atsakymas: π/2.
5 pavyzdys. Raskite lygties sin 3x + sin x = sin 2x šaknų aritmetinį vidurkį intervale [-π; 0,5π].
Sprendimas:
Mes naudojame formulę sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), tada
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x ir lygtis tampa
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Iš skliaustų išimame bendrą koeficientą sin 2x
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Išspręskime gautą lygtį:
sin 2x \u003d 0 arba 2cos x - 1 \u003d 0;
sin 2x = 0 arba cos x = 1/2;
2x = πk arba x = ±π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Taigi mes turime šaknis
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Intervalas [-π; 0,5π] priklauso šaknims -π; -π/2; 0; π/2 (iš pirmosios šaknų serijos); π/3 (iš antrosios serijos); -π/3 (iš trečios serijos). Jų aritmetinis vidurkis yra:
(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.
Atsakymas: -π/6.
6 pavyzdys. Raskite lygties sin x + cos x = 0 šaknų skaičių intervale [-1,25π; 2π].
Sprendimas:
Ši lygtis yra vienalytė pirmojo laipsnio lygtis. Abi jo dalis padalinkite iš cosx (kintamojo reikšmė, kai cos x = 0, nėra šios lygties šaknys, nes to paties skaičiaus sinusas ir kosinusas negali būti lygūs nuliui tuo pačiu metu). Pradinė lygtis atrodo taip:
x = -π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Tarpas [-1,25π; 2π] turi šaknis -π/4; (-π/4 + π); ir (-π/4 + 2π).
Taigi nurodytam intervalui priklauso trys lygties šaknys.
Atsakymas: 3.
Išmokite padaryti svarbiausią dalyką – aiškiai pateikti problemos sprendimo planą, tada bet kokia trigonometrinė lygtis bus ant jūsų peties.
Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
