Kérésére!

13. Oldja meg a 3-4cos egyenletet 2 x = 0. Keresse meg az intervallumhoz tartozó gyökeinek összegét!

Csökkentsük a koszinusz mértékét a következő képlettel: 1 + cos2α = 2cos 2 α. Egy ekvivalens egyenletet kapunk:

3-2 (1 + cos2x) = 0 ⇒ 3-2-2cos2x = 0 ⇒ -2cos2x = -1. Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk (-2)-vel, és megkapjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet:

14. Határozzuk meg a b 5 geometriai progressziót, ha b 4 = 25 és b 6 = 16.

Egy geometriai sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a szomszédos tagjainak számtani átlagával:

(b n) 2 = b n-1 ∙ b n + 1. Van (b 5) 2 = b 4 ∙ b 6 ⇒ (b 5) 2 = 25 16 ⇒ b 5 = ± 5 4 ⇒ b 5 = ± 20.

15. Keresse meg a függvény deriváltját: f (x) = tgx-ctgx.

16. Keresse meg a legnagyobb és legkisebb függvényértéket y (x) = x 2 -12x + 27

a szegmensen.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálása y = f (x) a szegmensen, meg kell találnia ennek a függvénynek az értékeit a szegmens végén és azokon a kritikus pontokon, amelyek ehhez a szegmenshez tartoznak, majd az összes kapott érték közül ki kell választani a legnagyobbat és a legkisebbet.

Keressük meg a függvény értékeit x = 3-nál és x = 7-nél, pl. a szegmens végén.

y (3) = 3 2 -12 ∙ 3 ​​+ 27 = 9-36 + 27 = 0;

y (7) = 7 2 -12 ∙ 7 + 27 = 49-84 + 27 = -84 + 76 = -8.

Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját: y ’(x) = (x 2 -12x + 27)' = 2x-12 = 2 (x-6); az x = 6 kritikus pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Keresse meg a függvény értékét x = 6-nál.

y (6) = 6 2 -12 ∙ 6 + 27 = 36-72 + 27 = -72 + 63 = -9. És most a három kapott érték közül választunk: 0; -8 és -9 a legnagyobb és a legkisebb: naib. = 0; naimnál. = -9.

17. Keresse meg a funkció antideriváltjainak általános nézetét:

Ez a rés a funkció hatóköre. A válaszokat F (x) betűvel kell kezdeni, nem f (x) -et – antideriváltat keresünk. Definíció szerint az F (x) függvény az f (x) függvény antideriváltja, ha az egyenlőség teljesül: F ’(x) = f (x). Tehát csak a javasolt válaszok származékait találhatja meg, amíg meg nem kapja az adott függvényt. Szigorú megoldás egy adott függvény integráljának kiszámítása. A képleteket alkalmazzuk:

19. Készítsd el az ABC háromszög BD mediánját tartalmazó egyenes egyenletét, ha csúcsai A (-6; 2), B (6; 6) C (2; -6).

Egy egyenes egyenletének összeállításához ismernünk kell ennek az egyenesnek 2 pontjának koordinátáit, és csak a B pont koordinátáit ismerjük. Mivel a BD medián a szemközti oldalt kettéosztja, a D pont az egyenes felezőpontja. az AC szegmens. A szakasz felezőpontjának koordinátái a szakasz végeinek megfelelő koordinátáinak fele összege. Keresse meg a D pont koordinátáit.

20. Kiszámítja:

24. Az egyenes prizma alján fekvő szabályos háromszög területe:

Ez a probléma fordítottja a 0021-es opció 24-es problémájának.

25. Keresse meg a mintát, és írja be a hiányzó számot: 1; 4; 9; tizenhat; ...

Nyilván ez a szám 25 , mivel természetes számok négyzeteinek sorozatát kapjuk:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Sok sikert és szerencsét mindenkinek!

Sikeres megoldáshoz trigonometrikus egyenletek kényelmesen használható konvergencia módszere korábban megoldott problémákra. Lássuk, mi ennek a módszernek a lényege?

Minden javasolt feladatban látni kell a korábban megoldott feladatot, majd az egymást követő ekvivalens transzformációk segítségével megpróbálni az adott problémát egyszerűbbre redukálni.

Tehát a trigonometrikus egyenletek megoldása során általában valamilyen véges ekvivalens egyenletsorozatot alkotnak, amelynek utolsó láncszeme egy kézenfekvő megoldású egyenlet. Csak fontos megjegyezni, hogy ha a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához szükséges készségek nem alakulnak ki, akkor bonyolultabb egyenletek megoldása nehéz és hatástalan lesz.

Ezenkívül a trigonometrikus egyenletek megoldása során soha nem szabad megfeledkezni arról, hogy többféle megoldás is létezik.

1. példa Határozza meg a cos x = -1/2 egyenlet gyökeinek számát az intervallumban.

Megoldás:

I. módszer. Rajzoljuk meg az y = cos x és y = -1/2 függvények grafikonjait, és keressük meg közös pontjaik számát az intervallumon (1. ábra).

Mivel a függvénygrafikonoknak két közös pontja van az intervallumon, az egyenletnek két gyöke van ezen az intervallumon.

Módszer II. A trigonometrikus kör segítségével (2. ábra) megtudjuk, hány pont tartozik ahhoz az intervallumhoz, amelyben cos x = -1/2. Az ábrán látható, hogy az egyenletnek két gyöke van.

Módszer III. A trigonometrikus egyenlet gyökeinek képletével oldjuk meg a cos x = -1/2 egyenletet.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k egész szám (k € Z);

x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, k egész szám (k € Z);

x = ± (π - π / 3) + 2πk, k egész szám (k € Z);

x = ± 2π / 3 + 2πk, k egy egész szám (k € Z).

Az intervallum a 2π / 3 és -2π / 3 + 2π gyököket tartalmazza, k egész szám. Így az egyenletnek két gyöke van egy adott intervallumban.

Válasz: 2.

A jövőben a trigonometrikus egyenleteket a javasolt módszerek valamelyikével oldják meg, ami sok esetben nem zárja ki más módszerek alkalmazását sem.

2. példa Határozza meg a tg (x + π / 4) = 1 egyenlet megoldásainak számát a [-2π; 2π].

Megoldás:

A trigonometrikus egyenlet gyökeinek képletével a következőket kapjuk:

x + π / 4 = arctan 1 + πk, k egész szám (k € Z);

x + π / 4 = π / 4 + πk, k egész szám (k € Z);

x = πk, k egész szám (k € Z);

Az intervallum [-2π; 2π] számok -2π tartoznak; -π; 0; π; 2π. Tehát az egyenletnek öt gyöke van egy adott intervallumban.

Válasz: 5.

3. példa Határozza meg a cos 2 x + sin x · cos x = 1 egyenlet gyökeinek számát a [-π; π].

Megoldás:

Mivel 1 = sin 2 x + cos 2 x (alap trigonometrikus azonosság), az eredeti egyenlet a következőképpen alakul:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x = 0;

sin x (sin x - cos x) = 0. A szorzat egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik tényezőnek nullának kell lennie, ezért:

sin x = 0 vagy sin x - cos x = 0.

Mivel annak a változónak az értéke, amelynél cos x = 0 nem gyöke a második egyenletnek (azonos szám szinusza és koszinusza nem lehet egyenlő egyszerre nullával), ezért a második egyenlet mindkét oldalát elosztjuk cos x:

sin x = 0 vagy sin x / cos x - 1 = 0.

A második egyenletben azt a tényt használjuk, hogy tg x = sin x / cos x, akkor:

sin x = 0 vagy tg x = 1. A képleteket használva a következőket kapjuk:

x = πk vagy x = π / 4 + πk, k egy egész szám (k € Z).

Az első gyöksorozatból a [-π; π] a -π számokhoz tartozik; 0; π. A második sorozatból: (π / 4 - π) és π / 4.

Így az eredeti egyenlet öt gyöke tartozik a [-π; π].

Válasz: 5.

4. példa Határozza meg a tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 egyenlet gyökeinek összegét a [-π; 1,1π].

Megoldás:

Írjuk át az egyenletet a következőképpen:

tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0, és végezzen helyettesítést.

Legyen tg x + ctgx = a. Az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük:

(tg x + ctg x) 2 = a 2. Bővítsük ki a zárójeleket:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

Mivel tg x ctgx = 1, akkor tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, ami azt jelenti,

tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.

Az eredeti egyenlet most így néz ki:

a 2-2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta tételét felhasználva azt kapjuk, hogy a = -1 vagy a = -2.

Csináljunk fordított cserét, a következőkkel rendelkezünk:

tg x + ctgx = -1 vagy tg x + ctgx = -2. Oldjuk meg a kapott egyenleteket.

tg x + 1 / tgx = -1 vagy tg x + 1 / tgx = -2.

Két kölcsönösen inverz szám tulajdonságával meghatározzuk, hogy az első egyenletnek nincs gyöke, a második egyenletből pedig:

tg x = -1, azaz. x = -π / 4 + πk, k egy egész szám (k € Z).

A [-π; 1,1π] a gyökök tartoznak: -π / 4; -π / 4 + π. Az összegük:

-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.

Válasz: π / 2.

5. példa Határozza meg a sin 3x + sin x = sin 2x egyenlet gyökeinek számtani középértékét a [-π; 0,5π].

Megoldás:

A sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2 képletet használjuk, majd

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x és az egyenlet

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Húzza ki a sin 2x közös tényezőjét a zárójelen kívül

sin 2x (2cos x - 1) = 0. Oldja meg a kapott egyenletet:

sin 2x = 0 vagy 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 vagy cos x = 1/2;

2x = πk vagy x = ± π / 3 + 2πk, k egy egész szám (k € Z).

Így megvannak a gyökereink

x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, k egész szám (k € Z).

A [-π; 0,5π] a gyökök -π-hez tartoznak; -π/2; 0; π / 2 (az első gyöksorozatból); π / 3 (a második sorozatból); -π / 3 (a harmadik sorozatból). Számtani átlaguk:

(-π - π / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - π / 3) / 6 = -π / 6.

Válasz: -π / 6.

6. példa Határozza meg a sin x + cos x = 0 egyenlet gyökeinek számát a [-1,25π; 2π].

Megoldás:

Ez az egyenlet egy elsőfokú homogén egyenlet. Mindkét részét osszuk el cosx-szel (annak a változónak az értéke, amelynél cos x = 0 nem ennek az egyenletnek a gyöke, mivel ugyanannak a számnak a szinusza és koszinusza nem lehet egyidejűleg nulla). Az eredeti egyenlet:

x = -π / 4 + πk, k egy egész szám (k € Z).

Az intervallum [-1,25π; 2π] a -π / 4 gyökökhöz tartozik; (-π / 4 + π); és (-π / 4 + 2π).

Így az adott intervallum az egyenlet három gyökét tartalmazza.

Válasz: 3.

Tanulja meg megtenni a legfontosabb dolgot - világosan megérteni a probléma megoldásának tervét, és akkor minden trigonometrikus egyenlet rajtad múlik.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól - regisztráljon.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Sikeres megoldáshoz trigonometrikus egyenletek kényelmesen használható konvergencia módszere korábban megoldott problémákra. Lássuk, mi ennek a módszernek a lényege?

Minden javasolt feladatban látni kell a korábban megoldott feladatot, majd az egymást követő ekvivalens transzformációk segítségével megpróbálni az adott problémát egyszerűbbre redukálni.

Tehát a trigonometrikus egyenletek megoldása során általában valamilyen véges ekvivalens egyenletsorozatot alkotnak, amelynek utolsó láncszeme egy kézenfekvő megoldású egyenlet. Csak fontos megjegyezni, hogy ha a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához szükséges készségek nem alakulnak ki, akkor bonyolultabb egyenletek megoldása nehéz és hatástalan lesz.

Ezenkívül a trigonometrikus egyenletek megoldása során soha nem szabad megfeledkezni arról, hogy többféle megoldás is létezik.

1. példa Határozza meg a cos x = -1/2 egyenlet gyökeinek számát az intervallumban.

Megoldás:

I. módszer. Rajzoljuk meg az y = cos x és y = -1/2 függvények grafikonjait, és keressük meg közös pontjaik számát az intervallumon (1. ábra).

Mivel a függvénygrafikonoknak két közös pontja van az intervallumon, az egyenletnek két gyöke van ezen az intervallumon.

Módszer II. A trigonometrikus kör segítségével (2. ábra) megtudjuk, hány pont tartozik ahhoz az intervallumhoz, amelyben cos x = -1/2. Az ábrán látható, hogy az egyenletnek két gyöke van.

Módszer III. A trigonometrikus egyenlet gyökeinek képletével oldjuk meg a cos x = -1/2 egyenletet.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k egész szám (k € Z);

x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, k egész szám (k € Z);

x = ± (π - π / 3) + 2πk, k egész szám (k € Z);

x = ± 2π / 3 + 2πk, k egy egész szám (k € Z).

Az intervallum a 2π / 3 és -2π / 3 + 2π gyököket tartalmazza, k egész szám. Így az egyenletnek két gyöke van egy adott intervallumban.

Válasz: 2.

A jövőben a trigonometrikus egyenleteket a javasolt módszerek valamelyikével oldják meg, ami sok esetben nem zárja ki más módszerek alkalmazását sem.

2. példa Határozza meg a tg (x + π / 4) = 1 egyenlet megoldásainak számát a [-2π; 2π].

Megoldás:

A trigonometrikus egyenlet gyökeinek képletével a következőket kapjuk:

x + π / 4 = arctan 1 + πk, k egész szám (k € Z);

x + π / 4 = π / 4 + πk, k egész szám (k € Z);

x = πk, k egész szám (k € Z);

Az intervallum [-2π; 2π] számok -2π tartoznak; -π; 0; π; 2π. Tehát az egyenletnek öt gyöke van egy adott intervallumban.

Válasz: 5.

3. példa Határozza meg a cos 2 x + sin x · cos x = 1 egyenlet gyökeinek számát a [-π; π].

Megoldás:

Mivel 1 = sin 2 x + cos 2 x (alap trigonometrikus azonosság), az eredeti egyenlet a következőképpen alakul:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x = 0;

sin x (sin x - cos x) = 0. A szorzat egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik tényezőnek nullának kell lennie, ezért:

sin x = 0 vagy sin x - cos x = 0.

Mivel annak a változónak az értéke, amelynél cos x = 0 nem gyöke a második egyenletnek (azonos szám szinusza és koszinusza nem lehet egyenlő egyszerre nullával), ezért a második egyenlet mindkét oldalát elosztjuk cos x:

sin x = 0 vagy sin x / cos x - 1 = 0.

A második egyenletben azt a tényt használjuk, hogy tg x = sin x / cos x, akkor:

sin x = 0 vagy tg x = 1. A képleteket használva a következőket kapjuk:

x = πk vagy x = π / 4 + πk, k egy egész szám (k € Z).

Az első gyöksorozatból a [-π; π] a -π számokhoz tartozik; 0; π. A második sorozatból: (π / 4 - π) és π / 4.

Így az eredeti egyenlet öt gyöke tartozik a [-π; π].

Válasz: 5.

4. példa Határozza meg a tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 egyenlet gyökeinek összegét a [-π; 1,1π].

Megoldás:

Írjuk át az egyenletet a következőképpen:

tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0, és végezzen helyettesítést.

Legyen tg x + ctgx = a. Az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük:

(tg x + ctg x) 2 = a 2. Bővítsük ki a zárójeleket:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

Mivel tg x ctgx = 1, akkor tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, ami azt jelenti,

tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.

Az eredeti egyenlet most így néz ki:

a 2-2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta tételét felhasználva azt kapjuk, hogy a = -1 vagy a = -2.

Csináljunk fordított cserét, a következőkkel rendelkezünk:

tg x + ctgx = -1 vagy tg x + ctgx = -2. Oldjuk meg a kapott egyenleteket.

tg x + 1 / tgx = -1 vagy tg x + 1 / tgx = -2.

Két kölcsönösen inverz szám tulajdonságával meghatározzuk, hogy az első egyenletnek nincs gyöke, a második egyenletből pedig:

tg x = -1, azaz. x = -π / 4 + πk, k egy egész szám (k € Z).

A [-π; 1,1π] a gyökök tartoznak: -π / 4; -π / 4 + π. Az összegük:

-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.

Válasz: π / 2.

5. példa Határozza meg a sin 3x + sin x = sin 2x egyenlet gyökeinek számtani középértékét a [-π; 0,5π].

Megoldás:

A sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2 képletet használjuk, majd

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x és az egyenlet

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Húzza ki a sin 2x közös tényezőjét a zárójelen kívül

sin 2x (2cos x - 1) = 0. Oldja meg a kapott egyenletet:

sin 2x = 0 vagy 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 vagy cos x = 1/2;

2x = πk vagy x = ± π / 3 + 2πk, k egy egész szám (k € Z).

Így megvannak a gyökereink

x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, k egész szám (k € Z).

A [-π; 0,5π] a gyökök -π-hez tartoznak; -π/2; 0; π / 2 (az első gyöksorozatból); π / 3 (a második sorozatból); -π / 3 (a harmadik sorozatból). Számtani átlaguk:

(-π - π / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - π / 3) / 6 = -π / 6.

Válasz: -π / 6.

6. példa Határozza meg a sin x + cos x = 0 egyenlet gyökeinek számát a [-1,25π; 2π].

Megoldás:

Ez az egyenlet egy elsőfokú homogén egyenlet. Mindkét részét osszuk el cosx-szel (annak a változónak az értéke, amelynél cos x = 0 nem ennek az egyenletnek a gyöke, mivel ugyanannak a számnak a szinusza és koszinusza nem lehet egyidejűleg nulla). Az eredeti egyenlet:

x = -π / 4 + πk, k egy egész szám (k € Z).

Az intervallum [-1,25π; 2π] a -π / 4 gyökökhöz tartozik; (-π / 4 + π); és (-π / 4 + 2π).

Így az adott intervallum az egyenlet három gyökét tartalmazza.

Válasz: 3.

Tanulja meg megtenni a legfontosabb dolgot - világosan megérteni a probléma megoldásának tervét, és akkor minden trigonometrikus egyenlet rajtad múlik.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Segítséget kérni egy oktatótól -.

blog.hu oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásával a forrásra mutató hivatkozás szükséges.