Fraktalnu pahulju, jedan od najpoznatijih i najtajnovitijih geometrijskih objekata, opisala je Helga von Koch početkom našeg stoljeća. Prema tradiciji, u našoj literaturi se naziva Kochova pahulja. Ovo je vrlo "šiljasta" geometrijska figura, koja se metaforički može promatrati kao rezultat toga što se Davidova zvijezda opetovano "umnožava" sama od sebe. Njegovih šest glavnih zraka prekriveno je beskonačnim brojem velikih i malih vrhova "iglica". Svaki mikroskopski fragment konture pahuljice je poput dva zrna graška u mahuni sličan cijeloj velikoj zraki, a velika zraka zauzvrat sadrži beskonačan broj istih mikroskopskih fragmenata.
Na međunarodnom simpoziju o metodologiji matematičkog modeliranja u Varni 1994. godine naišao sam na radove bugarskih autora koji su opisali svoja iskustva korištenja Kochovih pahuljica i drugih sličnih objekata u srednjoškolskoj nastavi kako bi ilustrirali problem djeljivosti prostora i Zenonove filozofske aporije. Osim toga, s obrazovnog gledišta, po mom mišljenju, vrlo je zanimljiv sam princip konstruiranja pravilnih fraktalnih geometrijskih struktura – princip rekurzivnog množenja osnovnog elementa. Nije uzalud priroda "voli" fraktalne oblike. To se objašnjava upravo činjenicom da se dobivaju jednostavnom reprodukcijom i mijenjanjem veličine određenog elementarnog gradivnog elementa. Kao što znate, priroda ne preplavljuje raznim razlozima i, gdje je to moguće, zadovoljava se najjednostavnijim algoritamskim rješenjima. Promotrite pažljivo obrise lišća i u mnogim ćete slučajevima otkriti jasnu vezu s oblikom obrisa Kochove pahuljice.
Vizualizacija fraktalnih geometrijskih struktura moguća je samo uz pomoć računala. Već je vrlo teško ručno konstruirati Kochovu pahuljicu iznad trećeg reda, ali stvarno želite pogledati u beskonačnost! Stoga, zašto ne pokušati razviti odgovarajući računalni program. U RuNetu možete pronaći preporuke za izgradnju Kochove pahulje od trokuta. Rezultat ovog algoritma izgleda kao zbrka linija koje se presijecaju. Zanimljivije je kombinirati ovu figuru iz "komada". Kontura Kochove snježne pahulje sastoji se od segmenata jednake duljine nagnutih za 0°, 60° i 120° u odnosu na horizontalnu x-os. Ako ih označimo redom s 1, 2 i 3, tada će se pahulja bilo kojeg reda sastojati od uzastopnih trojki - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... itd. Svaka od ove tri vrste segmenata može biti pričvršćen na prethodni na jednom ili drugom kraju. Uzimajući u obzir ovu okolnost, možemo pretpostaviti da se kontura snježne pahulje sastoji od segmenata šest vrsta. Označimo ih s 0, 1, 2, 3, 4, 5. Dakle, dobivamo priliku kodirati konturu bilo kojeg reda pomoću 6 znamenki (vidi sliku).
Snježna pahulja višeg reda dobiva se od prethodnika nižeg reda zamjenom svakog ruba s četiri, spojena poput presavijenih dlanova (_/\_). Tip ruba 0 zamjenjuje se s četiri ruba 0, 5, 1, 0 i tako dalje prema tablici:
| 0 | 0 1 5 0 |
| 1 | 1 2 0 1 |
| 2 | 2 3 1 2 |
| 3 | 3 4 2 3 |
| 4 | 4 5 3 4 |
| 5 | 5 0 4 5 |
Jednostavni jednakostranični trokut može se smatrati Kochovom snježnom pahuljom nultog reda. U opisanom sustavu kodiranja odgovara unosu 0, 4, 2. Sve ostalo može se dobiti opisanim zamjenama. Ovdje neću dati kod procedure i time vas lišiti zadovoljstva razvijanja vlastitog programa. Kada ga pišete, uopće nije potrebno koristiti eksplicitni rekurzivni poziv. Može se zamijeniti redovnim ciklusom. U procesu rada imat ćete još jedan razlog za razmišljanje o rekurziji i njenoj ulozi u formiranju kvazifraktalnih oblika svijeta oko nas, a na kraju puta (ako, naravno, niste previše lijeni proći kroz njega do kraja) moći ćete se diviti složenom uzorku obrisa fraktalne pahulje, a također konačno pogledati u lice beskonačnosti.
Pahuljica KochPočetkom dvadesetog stoljeća matematičari su tražili krivulje koje ni u jednoj točki nemaju tangentu. To je značilo da je krivulja naglo promijenila smjer, i to enormno velikom brzinom (derivacija je bila jednaka beskonačnosti). Potraga za tim krivuljama nije bila uzrokovana samo pustim interesom matematičara. Činjenica je da se početkom dvadesetog stoljeća kvantna mehanika razvijala vrlo brzo. Istraživač M. Brown skicirao je putanju kretanja suspendiranih čestica u vodi i objasnio ovaj fenomen na sljedeći način: atomi tekućine koji se nasumično kreću udaraju u suspendirane čestice i time ih pokreću. Nakon ovakvog objašnjenja Brownovog gibanja, znanstvenici su se suočili sa zadatkom pronalaska krivulje koja bi najbolje aproksimirala gibanje Brownovih čestica. Da bi se to postiglo, krivulja mora zadovoljiti sljedeća svojstva: ne smije imati tangentu ni u jednoj točki. Matematičar Koch predložio je jednu takvu krivulju. Nećemo ulaziti u objašnjenja pravila za njegovu konstrukciju, već ćemo samo prikazati njegovu sliku iz koje će sve postati jasno (slika 1.1.1).
Slika 1.1.1. Pahuljica Koch.
Jedno važno svojstvo koje ima Kochova granica pahulje je njezina beskonačna duljina. Ovo se može činiti iznenađujućim jer smo navikli raditi s krivuljama iz tečajeva matematike. Obično glatke ili barem djelomično glatke krivulje uvijek imaju konačnu duljinu (što se može provjeriti integracijom). Mandelbrot je u tom pogledu objavio niz fascinantnih radova koji istražuju pitanje mjerenja duljine obale Velike Britanije. Kao model on
Riža. 1.1.2. Konstrukcija Kochove pahuljice.
koristio je fraktalnu krivulju, koja podsjeća na rub snježne pahulje, osim što je uvela element slučajnosti kako bi se uzela u obzir slučajnost u prirodi. Kao rezultat toga pokazalo se da krivulja koja opisuje obalu ima beskonačnu duljinu.
Salveta i tepih SierpinskogJoš jedan primjer jednostavnog samosličnog fraktala --- Sierpinski ubrus(Sl. 1.2.1), izumio ga je poljski matematičar Waclaw Sierpinski 1915. godine. Sam pojam ubrus pripada Mandelbrotu. U donjoj metodi konstrukcije počinjemo s određenom regijom i postupno eliminiramo unutarnje podregije. Kasnije ćemo razmotriti druge metode, posebice korištenjem L-sustava, kao i na temelju iteriranih funkcija.
Slika 1.2.1. Sierpinski ubrus
Neka je početni skup S 0 jednakostranični trokut zajedno s područjem koje obuhvaća. Podijelimo S0 na četiri manja trokutasta područja, povezujući središta stranica izvornog trokuta segmentima. Uklonimo unutrašnjost malog središnjeg trokutastog područja. Nazovimo preostali skup S 1 (slika 1.2.2). Zatim ponavljamo postupak za svaki od tri preostala mala trokuta kako bismo dobili sljedeću aproksimaciju S 2 . Nastavljajući na ovaj način, dobivamo niz ugniježđenih skupova S n čije sjecište čini ubrus S.
Riža. 1.2.2. Konstrukcija salvete Sierpinski
Očito je ukupna površina dijelova izbačenih tijekom izgradnje točno jednaka površini izvornog trokuta. U prvom koraku odbacili smo ¼ dijela površine. U sljedećem koraku izbacili smo tri trokuta, s površinom svakog od ½ 2 površine izvornog. Ovako razmišljajući, uvjereni smo da je ukupni udio odbačene površine bio:
1/4 + 3 * (1/4 2) + 3 2 * (1/4 3) + … + 3 n-1 * (1/4 n) + … .
Ovaj iznos je jednak. Stoga možemo tvrditi da preostali skup S, odnosno ubrus, ima površinu mjere nula. Ovo čini S "savršenim" skupom, u smislu da dijeli svoj komplement na beskonačan broj trokutastih područja, dok ima nultu debljinu.
Tepih Sierpinski smatra se još jednim fraktalnim modelom. Konstruira se na sljedeći način: uzmite kvadrat, podijelite ga na devet kvadrata i izrežite središnji kvadrat. Zatim se sličan postupak provodi sa svakim od osam preostalih kvadrata. I tako u nedogled. Kao rezultat toga, umjesto cijelog kvadrata, dobivamo tepih s osebujnim simetričnim uzorkom. Ovaj model prvi je predložio matematičar Sierpinski, u čiju je čast i dobio ime. Primjer Sierpinski tepiha može se vidjeti na sl. 1.2.3.
Ova figura jedan je od prvih fraktala koje su znanstvenici proučavali. Dolazi iz tri primjerka Kochova krivulja, koji se prvi put pojavio u radu švedskog matematičara Helgea von Kocha 1904. godine. Ova krivulja je izmišljena kao primjer kontinuirane linije na koju se ni u jednoj točki ne može povući tangenta. Linije s ovim svojstvom bile su poznate i prije (Karl Weierstrass izgradio je svoj primjer još 1872.), ali Kochova krivulja je izvanredna zbog jednostavnosti svog dizajna. Nije slučajno što se njegov članak zove “O kontinuiranoj krivulji bez tangenti, koja proizlazi iz elementarne geometrije”.
Prve faze konstruiranja Kochove krivulje Crtež i animacija savršeno pokazuju kako se Kochova krivulja konstruira korak po korak. Prva iteracija je jednostavno početni segment. Zatim se podijeli na tri jednaka dijela, središnji se dovrši u pravilan trokut i zatim izbaci. Rezultat je druga iteracija - isprekidana linija koja se sastoji od četiri segmenta. Ista operacija se primjenjuje na svakom od njih, i dobiva se četvrti korak konstrukcije. Nastavljajući u istom duhu, možete dobiti sve više i više novih linija (sve će to biti isprekidane linije). A ono što se događa u granici (ovo će već biti imaginarni objekt) naziva se Kochova krivulja.
Osnovna svojstva Kochove krivulje1. Kontinuirana je, ali se nigdje ne razlikuje.
Grubo rečeno, upravo je zato i izmišljen - kao primjer ove vrste matematičkih "čudaka". 2. Ima beskonačnu duljinu. Neka duljina izvornog segmenta bude 1. U svakom koraku konstrukcije svaki segment koji čini liniju zamjenjujemo izlomljenom linijom, koja je 4/3 puta duža. To znači da se duljina cijele izlomljene crte u svakom koraku množi s 4/3: duljina crte s brojem
n
jednak je (4/3) n–1 . Stoga granična crta nema izbora nego biti beskonačno duga. 3. Kochova pahulja ograničava konačno područje. I to unatoč činjenici da je njegov opseg beskonačan. Ovo se svojstvo može činiti paradoksalnim, ali je očito - pahulja potpuno stane u krug, pa je njezino područje očito ograničeno. Površina se može izračunati, a za to vam čak nije potrebno posebno znanje - formule za površinu trokuta i zbroj geometrijske progresije uče se u školi. Za zainteresirane, izračun je naveden u nastavku sitnim slovima. 2. Ima beskonačnu duljinu. Neka strana izvornog pravilnog trokuta bude jednaka 
a 2. Ima beskonačnu duljinu.. Tada je njegova površina . Prvo je stranica 1, a površina: . Što se događa kako se iteracija povećava? Možemo pretpostaviti da su mali jednakostranični trokuti pričvršćeni na postojeći poligon. Prvi put ih je samo 3, a svaki sljedeći put ih je 4 puta više od prethodnog. Odnosno, na 2. Ima beskonačnu duljinu. U koraku th bit će dovršeno T n = 3 · 4 n–1 trokuta. Duljina stranice svakog od njih je jedna trećina stranice trokuta dovršenog u prethodnom koraku. To znači da je jednak (1/3) n. Površine su proporcionalne kvadratima stranica, pa je površina svakog trokuta 
. Snježna pahulja se dobije nakon beskonačnog broja koraka, što odgovara n → ∞. Rezultat je beskonačan zbroj, ali to je zbroj opadajuće geometrijske progresije; za to postoji formula: 
. Površina pahuljice je jednaka.
4. Fraktalna dimenzija jednaka je log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Precizan izračun zahtijevat će znatan trud i detaljna objašnjenja, pa je ovdje radije ilustracija definicije fraktalne dimenzije. Iz formule potencije N(δ) ~ (1/δ)D, gdje je N- broj kvadrata koji se sijeku, δ - njihovu veličinu, D- dimenzija, dobivamo da je D = log 1/δ N. Ova jednakost vrijedi do dodavanja konstante (iste za sve δ ). Slike prikazuju petu iteraciju konstruiranja Kochove krivulje; kvadrati mreže koji se sijeku s njom su osjenčani zelenom bojom. Duljina izvornog segmenta je 1, tako da je na lijevoj slici duljina stranice kvadrata 1/9. Osjenčano je 12 kvadrata, log 9 12 ≈ 1,130929... . Još nije jako sličan 1.261859... . Pogledajmo dalje. Na srednjoj slici kvadratići su upola manji, veličina im je 1/18, osjenčano 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Već bolje. Na desnoj strani kvadrati su još uvijek upola manji; log 72 30 ≈ 1,193426... . Još bliže. Zatim trebate povećati broj iteracija i istovremeno smanjiti kvadrate, tada će se "empirijska" vrijednost dimenzije Kochove krivulje stalno približavati log 3 4, au granici će se potpuno podudarati.
Mogućnosti 
Kochova pahulja “naprotiv” dobiva se ako konstruiramo Kochove krivulje unutar izvornog jednakostraničnog trokuta. 
Cesarove linije. Umjesto jednakostraničnog trokuta koriste se jednakokračni trokuti s kutom pri osnovici od 60° do 90°. Na slici je kut 88°. 
Četvrtasta verzija. Ovdje su kvadrati dovršeni. 
Trodimenzionalni analozi. Kochov prostor. Tri kopije Kochove krivulje, konstruirane (sa svojim točkama prema van) na stranicama pravilnog trokuta, tvore zatvorenu krivulju beskonačne duljine tzv. Kochova pahuljica.
Ova figura jedan je od prvih fraktala koje su znanstvenici proučavali. Dolazi iz tri primjerka Kochova krivulja, koji se prvi put pojavio u radu švedskog matematičara Helgea von Kocha 1904. godine. Ova krivulja je izmišljena kao primjer kontinuirane linije na koju se ni u jednoj točki ne može povući tangenta. Linije s ovim svojstvom bile su poznate i prije (Karl Weierstrass izgradio je svoj primjer još 1872.), ali Kochova krivulja je izvanredna zbog jednostavnosti svog dizajna. Nije slučajno što se njegov članak zove “O kontinuiranoj krivulji bez tangenti, koja proizlazi iz elementarne geometrije”.
Crtež i animacija savršeno pokazuju kako se Kochova krivulja konstruira korak po korak. Prva iteracija je jednostavno početni segment. Zatim se podijeli na tri jednaka dijela, središnji se dovrši u pravilan trokut i zatim izbaci. Rezultat je druga iteracija - isprekidana linija koja se sastoji od četiri segmenta. Ista operacija se primjenjuje na svakom od njih, i dobiva se četvrti korak konstrukcije. Nastavljajući u istom duhu, možete dobiti sve više i više novih linija (sve će to biti isprekidane linije). A ono što se događa u granici (ovo će već biti imaginarni objekt) naziva se Kochova krivulja.
Osnovna svojstva Kochove krivulje1. Kontinuirana je, ali se nigdje ne razlikuje.
Grubo rečeno, upravo je zato i izmišljen - kao primjer ove vrste matematičkih "čudaka". 2. Ima beskonačnu duljinu. Grubo rečeno, upravo je zato i izmišljen - kao primjer ove vrste matematičkih "čudaka". jednako (4/3) n
-1. Stoga granična crta nema izbora nego biti beskonačno duga.
jednak je (4/3) n–1 . Stoga granična crta nema izbora nego biti beskonačno duga. 3. Kochova pahulja ograničava konačno područje. I to unatoč činjenici da je njegov opseg beskonačan. Ovo se svojstvo može činiti paradoksalnim, ali je očito - pahulja potpuno stane u krug, pa je njezino područje očito ograničeno. Površina se može izračunati, a za to vam čak nije potrebno posebno znanje - formule za površinu trokuta i zbroj geometrijske progresije uče se u školi. Za zainteresirane, izračun je naveden u nastavku sitnim slovima. 2. Ima beskonačnu duljinu. 3. Kochova pahulja ograničava konačno područje. I to unatoč činjenici da je njegov opseg beskonačan. Ovo se svojstvo može činiti paradoksalnim, ali je očito - pahulja u potpunosti stane u krug, pa je njezino područje očito ograničeno. Površina se može izračunati, a za to vam čak nije potrebno posebno znanje - formule za površinu trokuta i zbroj geometrijske progresije uče se u školi. Za zainteresirane, izračun je naveden u nastavku sitnim slovima. korak će biti završen jednako (4/3) Tn jednako (4/3)= 3 4 
a 2. Ima beskonačnu duljinu.-1 trokuta. Duljina stranice svakog od njih je jedna trećina stranice trokuta dovršenog u prethodnom koraku. Dakle, jednako je (1/3) I to unatoč činjenici da je njegov opseg beskonačan. Ovo se svojstvo može činiti paradoksalnim, ali je očito - pahulja u potpunosti stane u krug, pa je njezino područje očito ograničeno. Površina se može izračunati, a za to vam čak nije potrebno posebno znanje - formule za površinu trokuta i zbroj geometrijske progresije uče se u školi. Za zainteresirane, izračun je naveden u nastavku sitnim slovima. · . Površine su proporcionalne kvadratima stranica, pa je površina svakog trokuta Usput, ovo je vrlo malo. Ukupan doprinos ovih trokuta površini snježne pahulje je jednako (4/3) · S n= 3/4 · (4/9) 2. Ima beskonačnu duljinu. S S n 0 + 0 . Stoga nakon-korak, površina figure bit će jednaka zbroju S n 1 + 0 . Stoga nakon T S n 2 + ... +I to unatoč činjenici da je njegov opseg beskonačan. Ovo se svojstvo može činiti paradoksalnim, ali je očito - pahulja u potpunosti stane u krug, pa je njezino područje očito ograničeno. Površina se može izračunati, a za to vam čak nije potrebno posebno znanje - formule za površinu trokuta i zbroj geometrijske progresije uče se u školi. Za zainteresirane, izračun je naveden u nastavku sitnim slovima. 1 · jednako (4/3) = 
2 · 2. Ima beskonačnu duljinu. S 
. Snježna pahulja se dobije nakon beskonačnog broja koraka, što odgovara
→ ∞. Rezultat je beskonačan zbroj, ali to je zbroj opadajuće geometrijske progresije; za to postoji formula: N(δ ) ~ (1/δ ). Površina pahulje je. 4. Fraktalna dimenzija jednaka je log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Precizan izračun zahtijevat će znatan trud i detaljna objašnjenja, pa je ovdje radije ilustracija definicije fraktalne dimenzije. Iz formule zakona snage N D δ , Gdje D- broj kvadrata koji se sijeku, D- njihovu veličinu i je dimenzija, to dobivamo= log 1/ δ ). Slike prikazuju petu iteraciju konstruiranja Kochove krivulje; kvadrati mreže koji se sijeku s njom su osjenčani zelenom bojom. Duljina izvornog segmenta je 1, pa je na gornjoj slici duljina stranice kvadrata 1/9. Osjenčano je 12 kvadrata, log 9 12 ≈ 1,130929... . Još nije jako sličan 1.261859... . Pogledajmo dalje. Na srednjoj slici kvadratići su upola manji, veličina im je 1/18, osjenčano 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Već bolje. Dolje su kvadrati još upola manji, 72 komada su već prefarbana. log 72 30 ≈ 1,193426... . Još bliže. Zatim trebate povećati broj iteracija i istovremeno smanjiti kvadrate, tada će se "empirijska" vrijednost dimenzije Kochove krivulje stalno približavati log 3 4, au granici će se potpuno podudarati.
Kochova pahulja “naprotiv” dobiva se ako konstruiramo Kochove krivulje unutar izvornog jednakostraničnog trokuta.
Cesarove linije.
Umjesto jednakostraničnog trokuta koriste se jednakokračni trokuti s kutom pri osnovici od 60° do 90°. Na slici je kut 88°.
|
Kvadratna opcija.
Ovdje su kvadrati dovršeni.
Pahuljica Koch
}
platno(
obrub: 1px isprekidana crna;
var cos = 0,5,
sin = Math.sqrt(3) / 2,
deg = Math.PI / 180;
canv, ctx;
funkcija rebro(n, len) (
ctx.save(); // Spremi trenutnu transformaciju
}
if (n == 0) ( // Nerekurzivan slučaj - nacrtaj liniju
ctx.lineTo(len, 0);
drugo(
ctx.scale(1/3, 1/3); // Smanji 3 puta
rebro(n-1, len); //REKURSIJA na rubu
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len); //REKURSIJA na rubu
ctx.scale(1/3, 1/3); // Smanji 3 puta
rebro(n-1, len); //REKURSIJA na rubu
}
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * stupnjeva);
}
ctx.vrati(); // Vrati transformaciju
ctx.translate(len, 0); // idi do kraja ruba
funkcija drawKochSnowflake(x, y, len, n) (
x = x - dužina / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * stupnjeva); //RECUUUURSION je već trokut
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * stupnjeva);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
}
ctx.stroke();
ctx.vrati();
funkcija clearcanvas())( //očisti platno
ctx.save();
ctx.beginPath();
// Koristite matricu identiteta dok čistite platno
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);
}
// Vrati transformaciju
ctx.vrati();
funkcija run() (
canv = document.getElementById("platno1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").vrijednost;
}
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);
Kochova krivulja je fraktalna krivulja koju je 1904. godine opisao švedski matematičar Helge von Koch. Tri kopije Kochove krivulje, konstruirane (usmjerene prema van) na stranicama jednakostraničnog trokuta, tvore zatvorenu krivulju koja se naziva Kochova pahulja.
Ponekad imam kiks kad poželim neku psovku. programirajte problem. Ovaj put sam se odlučio pozabaviti fraktalima. Naime s Kochovom pahuljom.
Pahuljica KochOvaj fraktal jedan je od prvih koje su znanstvenici proučavali. Izvedena je iz tri kopije Kochove krivulje, koja se prvi put pojavila u radu švedskog matematičara Helgea von Kocha 1904. godine. Ova krivulja je izmišljena kao primjer kontinuirane linije na koju se ni u jednoj točki ne može povući tangenta.
Osnovna svojstva Kochove krivulje:
Ponekad je vrlo zanimljivo sjetiti se najjednostavnijih psovki. transformacije (: U ovom slučaju bilo je potrebno osvježiti znanje o vektorima i transformacijama točaka u ravnini.
Konkretno, kako rotirati točku u odnosu na drugu točku:
Pa, morate znati kako pronaći točku na segmentu koja je udaljena od točke, znajući tu udaljenost i koordinate točaka. Postoji toliko mnogo metoda. Možete pronaći koordinate pravca koji sadrži te točke, a zatim ih zamijeniti u jednadžbi. Možete izračunati koordinate pomoću vektora.
Izgleda otprilike ovako.
