Критерият за стабилност на Найкуист е формулиран и обоснован през 1932 г. от американския физик Х. Найкуист. Критерият за стабилност на Найкуист е най-широко използван в инженерната практика поради следните причини:

- устойчивостта на системата в затворено състояние се изследва чрез функцията за предаване на честотата на нейната отворена част W p (jw), като тази функция най-често се състои от прости фактори. Коефициентите са реалните параметри на системата, което ви позволява да ги изберете от условията за стабилност;

- за изследване на стабилността можете да използвате експериментално получени честотни характеристики на най-сложните елементи на системата (контролен обект, изпълнителни органи), което повишава точността на получените резултати;

- стабилността на системата може да се изследва с помощта на логаритмични честотни характеристики, чието конструиране не е трудно;

- границите на стабилност на системата се определят доста просто;

- удобен за използване за оценка на стабилността на ATS със закъснение.

Критерият за стабилност на Найкуист дава възможност да се оцени стабилността на ACS въз основа на AFC на нейната част с отворена верига. В този случай се разграничават три случая на прилагане на критерия на Найкуист.

1. Отворената част на ACS е стабилна.За стабилността на система със затворен контур е необходимо и достатъчно реакцията на AFC на частта с отворен контур на системата (ходограф на Найкуист) при промяначестоти wот 0 до +¥ не покрива точката с координати [-1, й 0]. На фиг. 4.6 показва основните възможни ситуации:

1. - затворената система е абсолютно стабилна;

2. - ATS е условно стабилен, т.е. стабилен само в определен диапазон от промени в коефициента на предаване к;

3. - ATS е на границата на стабилността;

4. - ATS е нестабилен.

ориз. 4.6. Ходографи на Найкуист, когато отворената част на ACS е стабилна

2. Отворената част на СКУ е на границата на устойчивост.В този случай характеристичното уравнение има нулеви или чисто въображаеми корени, а останалите корени имат отрицателни реални части.

За стабилността на затворена система, ако отворената част на системата е на границата на стабилност, е необходимо и достатъчно реакцията на AFC на отворената част на системата при промяна wот 0 до +¥, допълнена в зоната на прекъсване с дъга с безкрайно голям радиус, не покрива точката с координати [-1, й 0]. При наличие на ν нулеви корени на реакцията на AFC на отворената част на системата при w=0 по дъга с безкрайно голям радиус се движи от положителната реална полуос на ъгъл от градуси по часовниковата стрелка, както е показано на фиг. 4.7.

ориз. 4.7. Ходографи на Найкуист при наличие на нулеви корени

Ако има двойка чисто въображаеми корени w i =, след това AFC реакцията при честота w iдъга с безкрайно голям радиус се движи под ъгъл 180° по посока на часовниковата стрелка, което е отразено на фиг. 4.8.

ориз. 4.8. Ходограф на Найкуист при наличие на двойка чисто въображаеми корени

3. Отворената част на системата е нестабилна, т.е. характеристичното уравнение има лкорени с положителна реална част. В този случай за стабилността на системата със затворен контур е необходимо и достатъчно, когато честотата се променя wот 0 до +¥ AFC на отворената част на ACS покри точката

[-1, й 0) л/2 пъти в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка).

При сложна форма на ходографа на Nyquist е по-удобно да се използва друга формулировка на критерия на Nyquist, предложена от Ya.Z. Tsypkin използва правила за преход. Преход на фазовата характеристика на отворената част на системата с нарастване wсегментът на реалната ос от -1 до -¥ отгоре надолу се счита за положителен (фиг. 4.9), а отдолу нагоре за отрицателен. Ако AFC отговорът започва в този сегмент при w=0 или завършва на w=¥ , тогава се счита, че AFC прави половин преход.

ориз. 4.9. Преходи на ходографа на Найкуист през сегмента P( w) от -¥ до -1

Затворената система е стабилна, ако разликата между броя на положителните и отрицателните преходи на ходографа на Найкуист през сегмент от реалната ос от -1 до -¥ е равна на l/2, където l е броят на корените на характеристичното уравнение с положителен реална част.

Една важна теорема от теорията на функциите на комплексна променлива гласи: нека функцията е уникална вътре в просто свързан контур C и освен това да е уникална и аналитична на този контур. Ако не е равно на нула на C и ако вътре в контура C може да има само краен брой особени точки (полюси), тогава

където е броят на нулите и е броят на полюсите вътре в C, всеки от които се взема предвид според своята множественост.

Тази теорема следва директно от остатъчната теорема на Коши, която гласи това

Нека заменим с и отбележим, че сингулярностите се запазват както при нулите, така и при полюсите, тогава остатъците, намерени в тези сингулярни точки, ще бъдат равни на кратностите на сингулярните точки с положителен знак при нулите и отрицателен знак при полюсите, формулирани по-горе, вече са очевидни.

Връзката (11.2-1) също може да бъде записана във формата

Тъй като контурът C обикновено има както реални, така и имагинерни части, неговият логаритъм ще бъде записан във формата

При условие, че C не изчезва никъде на границата, интегрирането в (II.2-3) дава директно

където означават произволното начало и край на затворения контур C. Следователно,

Комбинирайки резултатите (II.2-1) и (II.2-7), откриваме, че произведението на общата промяна в ъгъла (пълно завъртане около началото), когато контурът C се движи около него, е равен на разликата между нули и полюси вътре в контура C.

Ако е общият брой обороти около началото, докато С се движи наоколо, тогава можем да запишем

Освен това контурът C се върти в посока, съответстваща на увеличаване на положителния ъгъл, и революцията се нарича положителна, ако се извършва и в посока, съответстваща на увеличаване на положителния ъгъл.

ориз. II.2-1. Затворен контур, обхващащ крайната част на дясната полуравнина.

Сега тези резултати могат да се приложат директно към проблема за определяне на стабилността. Искаме да знаем дали знаменателят на трансферната функция има нули в дясната полуравнина.

Следователно, контур C е избран така, че да обхваща напълно дясната полуравнина. Тази верига е показана на фиг. където големият полукръг, обхващащ дясната полуравнина, е даден от отношенията

докато клони към безкрайност в границата.

Да предположим, че е написано като

където е цяла функция от и нямат общи множители. Нека допълнително да изградим диаграма в сложната равнина, променяйки стойностите по протежение на контура C. Тази диаграма ще ни даде някакъв затворен контур. В общия случай това ще бъде цяла функция от полиномна форма, която очевидно няма полюси в крайната част на равнината. Ако е трансцендентален, тогава трябва да се определи броят P на полюсите в крайната част на дясната полуравнина. Познавайки P и определяйки от диаграмата кога преминава C, сега можем да определим, съгласно уравнение (II.2-8), броя на нулите в дясната полуравнина

ориз. II.2-2. Проста едноконтурна система за управление.

За да бъде системата стабилна, тя трябва да е равна на нула. Следователно прилагането на този критерий включва два етапа: първият е определянето на полюсите в дясната полуравнина, а вторият е изграждането на диаграма, през която преминава С. Първият етап обикновено се изпълнява много просто. Вторият може да създаде значителни трудности, особено ако е от трети или по-висок ред и ако съдържа трансцендентални термини.

За система за управление с обратна връзка, показана в общ вид на фиг. Сложността на диаграмите може да бъде значително намалена чрез използване на функция за предаване на отворена верига. Предавателната функция на система със затворен контур е свързана с предавателната функция на система с отворен контур чрез връзката

където може да има както полюси, така и нули. При задача за стабилност е желателно да се знае дали има полюси в дясната полуравнина. Това е еквивалентно на това да бъдеш в дясната полуравнина на нулите на функцията или да си в дясната полуравнина, изместена с -1, нулите на функцията, за да изясним ефекта, който възниква поради промяната в усилване на отворена верига и в същото време минимизираме работата по конструиране на диаграмата на Найкуист, пренаписваме изразите на знаменателя (II.2-12) във формата, където K е усилването на системата с отворена верига. Сега полюсите са идентични с нулите по отношение на

За да приложим критерия на Найкуист, първо начертаваме контур C, който покрива

цялата дясна полуравнина. След това изчисляваме общия брой обороти за същото движение около точката. Промяната на усилването K променя само позицията на точката и не засяга местоположението [- Определя се броят на полюсите P на функцията в PPP. директно от самата функция, ако има формата на произведение от прости множители, или по-трудно за изчисляване, ако има полиномна или трансцендентална форма. След това стабилността на системата се определя от директното прилагане на уравнение (II.2-8), което установява

Следователно системата е стабилна само ако е равна на нула, където сега е броят на нулите на знаменателя (II.2-12) в

ориз. II.2-3. Две възможни модификации на вериги с байпас на полюсите по въображаемата ос.

При прилагане на критерия в този вид трябва да се обърне внимание на избора на контур C, покриващ дясната полуравнина. Отношението (11.2-1) и следователно (11.2-13) изискват липсата на особености на показаната функция на контура C. Има чести случаи, когато тя има полюс в началото или дори няколко двойки комплексно спрегнати полюси на въображаема ос. За да се справи с тези специални случаи, kongur C се модифицира чрез преминаване на всяка от сингулярностите в много малки полукръгове, както е показано на фиг. II.2-3. Ако характеристиките са полюси, тогава модифицираният контур C може да премине отдясно или отляво на тях, както е показано на фиг. II.2-3,a и II.2-3,b, съответно. Ако сингулярността не е полюс, тогава контурът трябва винаги да минава отдясно на нея, тъй като връзката (II.2-1) допуска само такива сингулярности като полюси вътре в контура C. Тези полюси на въображаемата ос, които са заобиколени отляво, лежат вътре в контура C и следователно трябва да бъдат взети предвид в P. В този случай контурът C в непосредствена близост до сингулярната точка обикновено се избира във формата

където ъгълът варира от до в границата клони към нула.

Ходографът, когато преминава през контур С, се състои главно от четири части. Ходограф при

изключвайки близостта на сингулярности по въображаемата ос, е просто честотната характеристика на системата с отворена верига. Следователно, ходографът при може да бъде получен чрез нанасянето му при спрямо реалната ос. Когато човек премине през безкраен полукръг, стойността за всички физически осъществими системи е нула или най-много крайна постоянна стойност. И накрая, ходографът при преминаване през малки полукръгове в близост до полюсите на въображаемата ос се определя чрез директно заместване на израз (II.2-14) в тази функция. По този начин картографирането на контур C върху функционалната равнина е завършено.

При прилагането на критерия в този вид естеството на наложените му ограничения става очевидно. Първо, той може да има само краен брой особености от полюсен тип в дясната полуравнина. Второ, той може да има само краен брой особености (полюси или точки на разклонение) на въображаемата ос. Класът на функциите може да бъде разширен, за да включва функции, които имат точки на разклонение, стига точките на разклоняване да лежат в лявата полуравнина и ако се използва основната стойност на функцията. Трето, съществените характеристики на формата в числителя са допустими, тъй като абсолютната стойност на тази функция, когато се променя в дясната полуравнина, е между и 0.

Препоръчително е прилагането на критерия на Найкуист да се демонстрира с пример. Нека управляваната система с обратна връзка се определя от отношенията

Предавателната функция на дадените елементи съответства на двуфазен асинхронен двигател, работещ на честота от полувълнов магнитен усилвател. Наличието на отрицателно затихване е свързано с ниско съпротивление на ротора. Възниква първият въпрос: възможно ли е да се стабилизират дадени елементи само поради коефициента на усилване? Затова нека поставим

Трансферната функция на отворената система приема формата

Виждаме, първо, че има само един полюс в дясната полуравнина и този полюс е разположен в точката. Приблизителна диаграма, когато преминава през контура C, показан на фиг. II.2-4, а, е показано на фиг. II.2-4, b и показва, че при избраното усилване има един положителен оборот около точката.

ориз. II.2-4. Примери за диаграми на Найкуист.

Следователно, използвайки критерия на Найкуист, изразен чрез уравнение (II.2-13), стигаме до резултата

Увеличаването на K създава възможност за по-голям брой положителни обороти поради спиралния характер на частта от диаграмата, дължаща се на множителя, следователно можем да заключим, че системата е нестабилна за всички положителни стойности на K.

За отрицателни стойности на K можем или да завъртим нашата диаграма спрямо началото и да вземем предвид оборотите около точката, или да използваме съществуваща диаграма и да разгледаме оборотите около точката. Последният метод е по-прост; пряко показва, че като минимум няма положителни развития наоколо. Това дава поне една нула в дясната полуравнина за отрицателни стойности на K. Следователно заключаваме, че системата е нестабилна за всички стойности на K, както положителни, така и отрицателни, и следователно е необходима известна корекция, за да се направи стабилна система.

Критерият на Найкуист може също да се използва, когато честотната характеристика на система с отворена верига е конструирана от експериментални данни. В този случай предавателната функция на отворената система трябва да бъде стабилна и следователно не може да има полюси в дясната полуравнина, т.е. За да се конструира правилно ходограф на Найкуист, трябва да се внимава да се определи точно поведението на системата при много ниски честоти.

При прилагане на критерия на Найкуист към многоконтурни системи, конструкцията започва с най-вътрешния контур и продължава към външните контури, като внимателно се преброяват броят на полюсите в PPP от всеки отделен контур. Работата, вложена в този метод, често може да бъде намалена чрез елиминиране на някои от веригите чрез преобразуване на блок-схемата. Изборът на последователността за изграждане на ходограф за многоконтурни системи зависи от структурната схема, както и от разположението на зададените и коригиращи елементи в контурите.

Това е геометричното място на точките, които краят на вектора на честотната трансферна функция описва, когато честотата се променя от -∞ на +∞. Размерът на сегмента от началото до всяка точка на ходографа показва колко пъти при дадена честота изходният сигнал е по-голям от входния сигнал, а фазовото отместване между сигналите се определя от ъгъла към споменатия сегмент.

Всички други честотни зависимости се генерират от AFC:

• U(w) - дори (за затворени системи за автоматично управление П(w));
• V(w) - нечетен;
• А(w) - дори (честотна характеристика);
• j(w) - странно (фазова характеристика);
• LACHH & LFCH - използвани най-често.

Логаритмични честотни характеристики.

Логаритмичните честотни характеристики (LFC) включват логаритмична амплитудна характеристика (LAFC) и логаритмична фазова характеристика (LPFC), конструирани отделно в една равнина. Конструкцията на LFC & LFCH се извършва с помощта на следните изрази:

Л(w) = 20 lg | У(й w)| = 20 lg А(w), [dB];

j(w) = arg( У(й w)), [rad].

величина Л(w) се изразява в децибели . беле логаритмична единица, съответстваща на десетократно увеличение на мощността. Един Бел съответства на увеличение на мощността 10 пъти, 2 Бела - 100 пъти, 3 Бела - 1000 пъти и т.н. Децибел е равен на една десета от бел.

Примери за AFC, AFC, PFC, LFC и LPFC за типични динамични връзки са дадени в таблица 2.

Таблица 2.Честотни характеристики на типични динамични връзки.

Принципи на автоматично регулиране

Въз основа на принципа на управление самоходните оръдия могат да бъдат разделени на три групи:

1. С регулиране, базирано на външни въздействия - принципът на Понселе (използван в самоходни оръдия с отворен контур).
2. С регулиране по отклонение - принципът на Ползунов-Ват (използван в затворени самоходни оръдия).
3. С комбинирано регулиране. В този случай ACS съдържа затворени и отворени управляващи контури.

Принцип на управление, базиран на външни смущения

Структурата изисква сензори за смущения. Системата се описва от функцията за предаване на отворена верига: х(t) = ж(t) - f(t).

Предимства:

• Възможно е да се постигне пълна инвариантност към определени смущения.
• Проблемът със стабилността на системата не възниква, защото без ОС.

недостатъци:

• Голям брой смущения изисква съответен брой компенсационни канали.
• Промените в параметрите на контролирания обект водят до грешки в управлението.
• Може да се прилага само към обекти, чиито характеристики са ясно известни.

Принцип на контрол на отклонението

Системата се описва от функцията за предаване на отворена верига и уравнението на затваряне: х(t) = ж(t) - г(t) У oc( t). Алгоритъмът на системата се основава на желанието да се намали грешката х(t) до нула.

Предимства:

• OOS води до намаляване на грешката, независимо от факторите, които са я причинили (промени в параметрите на контролирания обект или външни условия).

недостатъци:

• В OS системите има проблем със стабилността.
• Принципно е невъзможно да се постигне абсолютна инвариантност към смущения в системите. Стремежът да се постигне частична инвариантност (не с първата ОС) води до усложняване на системата и влошаване на стабилността.

Комбиниран контрол

Комбинираното управление се състои от комбинация от два принципа на управление, базирани на отклонение и външно смущение. Тези. Управляващият сигнал към обекта се генерира от два канала. Първият канал е чувствителен към отклонението на контролираната променлива от целта. Вторият генерира управляващо действие директно от главен или смущаващ сигнал.

х(t) = ж(t) - f(t) - г(t)Woc(t)

Предимства:

• Наличието на OOS прави системата по-малко чувствителна към промени в параметрите на контролирания обект.
• Добавянето на канал(и), чувствителен към справка или смущения, не влияе на стабилността на обратната връзка.

недостатъци:

• Каналите, които са чувствителни към задача или смущение, обикновено съдържат диференциращи връзки. Практическото им прилагане е трудно.
• Не всички обекти позволяват форсиране.

Анализ на стабилността на ATS

Концепцията за стабилност на регулаторната система се свързва със способността й да се върне в състояние на равновесие след изчезването на външните сили, които са я извели от това състояние. Стабилността е едно от основните изисквания за автоматичните системи.

Концепцията за стабилност може да се разшири до случая на ATS движение:

• необезпокоявано движение
• възмутено движение.

Движението на всяка система за управление се описва с диференциално уравнение, което най-общо описва 2 работни режима на системата:

Стационарен режим

Режим на шофиране

В този случай общото решение във всяка система може да се запише като:

Принуденкомпонентът се определя от влиянието на входа върху входа на системата за управление. Системата достига това състояние в края на преходните процеси.

Преходенкомпонентът се определя чрез решаване на хомогенно диференциално уравнение от формата:

Коефициентите a 0 ,a 1 ,…a n включват параметри на системата => промяната на който и да е коефициент на диференциалното уравнение води до промяна в редица параметри на системата.

Решение на хомогенно диференциално уравнение

където са интеграционните константи и са корените на характеристичното уравнение със следната форма:

Характеристичното уравнение представлява знаменателят на предавателната функция, равен на нула.

Корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални, комплексно спрегнати и комплексни, което се определя от параметрите на системата.

За да се оцени стабилността на системите, редица критерии за устойчивост

Всички критерии за устойчивост са разделени на 3 групи:

корен

- алгебричен

Левият ходограф е ходограф на очевидно стабилна система, не покрива точките , което се изисква според критерия на Найкуист за устойчивост на система със затворен контур. Десен ходограф – ходограф триполюсен, очевидно нестабилна система заобикаля точката три пътиобратно на часовниковата стрелка, което се изисква съгласно критерия на Найкуист за стабилност на система със затворен контур.

Коментирайте.

Амплитудно-фазовите характеристики на системи с реални параметри - а само такива се срещат в практиката - са симетрични спрямо реалната ос. Следователно обикновено се взема предвид само половината от амплитудно-фазовата характеристика, съответстваща на положителните честоти. В този случай се вземат предвид полуобиколките на точката. Пресечната точка на сегмента (), когато честотата се увеличава отгоре надолу (фазата се увеличава), се счита за пресечна точка, а отдолу нагоре се счита за пресечна точка. Ако амплитудно-фазовата характеристика на система с отворена верига започва от сегмента (), тогава това ще съответства или на пресичане, в зависимост от това дали характеристиката намалява или се повишава с увеличаване на честотата.

Броят на пресичанията на сегмента () може да се изчисли с помощта на логаритмични честотни характеристики. Нека уточним, че това са пресечните точки, които съответстват на фаза, когато големината на амплитудната характеристика е по-голяма от единица.

Определяне на стабилност с помощта на логаритмични честотни характеристики.

За да използвате критерия на Михайлов, трябва да построите ходограф. Тук е характерният полином на затворената система.

В случая на критерия на Найкуист е достатъчно да се знае предавателната функция на системата с отворена верига. В този случай не е необходимо да се конструира ходограф. За да се определи стабилността на Найкуист, е достатъчно да се конструират логаритмичните амплитудни и фазово-честотни характеристики на система с отворена верига.

Най-простата конструкция се получава, когато предавателната функция на отворена система може да бъде представена във формата

, след това LAH ,

Фигурата по-долу съответства на трансферната функция

.

Тук и изградени като функции.

Логаритмичните честотни характеристики, показани по-долу, съответстват на споменатата по-горе система с трансферна функция (система с отворена верига)

.

Отляво са амплитудните и фазово-честотните характеристики за трансферната функция, отдясно - за трансферната функция, в центъра - за оригиналната трансферна функция (както е изчислена от програмата Les, методът „Интегриране“).

Трите полюса на функцията са изместени наляво (стабилна система). Фазовата характеристика съответно има 0 пресичания. Трите полюса на функцията са изместени надясно (нестабилна система). Съответно фазовата характеристика има три пресечни точки на полуниво в области, където модулът на предавателната функция е по-голям от единица.

Във всеки случай затворената система е стабилна.

Централната снимка - изчислението при липса на коренови движения, е границата за дясната снимка, ходът на фазата в лявата снимка е коренно различен. Къде е истината?

Примери от.

Нека трансферната функция на отворената система има формата:

.

Системата с отворена верига е стабилна за всяко положително кИ Т. Затворената система също е стабилна, както се вижда от ходографа вляво на фигурата.

Когато е отрицателен Тотворената система е нестабилна - има плюс в дясната полуравнина. Затворената система е стабилна при , както се вижда от ходографа в центъра, и нестабилна при (ходограф вдясно).

Нека трансферната функция на отворената система има формата ():

.

Той има един полюс на въображаемата ос. Следователно, за стабилността на система със затворен контур е необходимо броят на пресичанията на сегмента () на реалната ос с амплитудно-фазовата характеристика на системата с отворен контур да е равен (ако разгледаме само ходографа за положителни честоти).