Например последователността \(2\); \(5\); \(8\); \(единадесет\); \(14\)… е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това \(d\) може да бъде и отрицателно число. Например, в аритметична прогресия \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотиране на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента по ред.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи в аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на една аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия..
Решение:

	Дадени са ни първите елементи на редицата и знаем, че тя е аритметична прогресия. Тоест всеки елемент се различава от съседния с едно и също число. Разберете кой, като извадите предишния от следващия елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия до желания (първи отрицателен) елемент.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(...5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, означен с буквата \(x\).
Решение:

	За да намерим \(x\), трябва да знаем колко се различава следващият елемент от предишния, с други думи, разликата в прогресията. Нека го намерим от два познати съседни елемента: \(d=12,5-10=2,5\).
	И сега намираме това, което търсим без никакви проблеми: \(x=5+2.5=7.5\).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

	Трябва да намерим сумата от първите шест члена на прогресията. Но ние не знаем техните значения, даден ни е само първият елемент. Затова първо изчисляваме стойностите на свой ред, като използваме дадените ни: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И след като изчислим шестте елемента, от които се нуждаем, намираме тяхната сума.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Исканата сума е намерена.

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е много неудобно да се реши "на челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Какво е, ние \ (385 \) пъти да добавим четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Броенето е объркващо...

Следователно в такива случаи те не решават „на чело“, а използват специални формули, получени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата \(n\) на първите членове.

Формула за \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) е член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, знаейки само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се дава от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) е последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да изчислим сумата на първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет и петия член. Нашата прогресия се дава по формулата на n-тия член в зависимост от неговия номер (виж подробности). Нека изчислим първия елемент, като заменим \(n\) с единица.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Сега намираме двадесет и петия член, като заместваме двадесет и пет вместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Е, сега изчисляваме необходимата сума без никакви проблеми.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заменете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума \(n\) на първите елементи;
\(a_1\) е първият член, който трябва да се сумира;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) - броят на елементите в сумата.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е много подобна на предишната. Започваме да решаваме по същия начин: първо намираме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Сега бихме заместили \(d\) във формулата за сумата ... и тук изскача малък нюанс - не знаем \(n\). С други думи, не знаем колко термина ще трябва да се добавят. Как да разберем? Нека да помислим. Ще спрем да добавяме елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Тоест, трябва да разберете броя на този елемент. как? Нека запишем формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметична прогресия: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашия случай.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Трябва \(a_n\) да е по-голямо от нула. Нека да разберем за какво \(n\) ще се случи това.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Разделяме двете страни на неравенството на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Прехвърляме минус едно, като не забравяме да сменим знаците
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Изчисляване...
\(n>65 333…\)		… и се оказва, че първият положителен елемент ще има числото \(66\). Съответно последният отрицателен има \(n=65\). За всеки случай нека да го проверим.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Следователно трябва да добавим първите \(65\) елемента.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	В тази задача също трябва да намерите сумата от елементи, но започвайки не от първия, а от \(26\)-ия. Нямаме формула за това. Как да решим? Лесно - за да получите сбора от \(26\)-та до \(42\)-та, първо трябва да намерите сумата от \(1\)-та до \(42\)-та и след това да извадите от нея сумата от първият до \ (25 \) ти (вижте снимката).
	За нашата прогресия \(a_1=-33\) и разликата \(d=4\) (все пак добавяме четири към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, намираме сумата от първите \(42\)-uh елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега сумата от първите \(25\)-ти елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И накрая изчисляваме отговора.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Отговор: \(S=1683\).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разгледали в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Аритметичната прогресия е поредица от числа, в която всяко число е по-голямо (или по-малко) от предишното с еднаква стойност.

Тази тема често е трудна и неразбираема. буквени индекси, n-ти членпрогресии, разликата в прогресията - всичко това е някак объркващо, да ... Нека разберем значението на аритметичната прогресия и всичко ще се получи веднага.)

Концепцията за аритметична прогресия.

Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Съмнение? Напразно.) Вижте сами.

Ще напиша незавършена поредица от числа:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Можете ли да удължите тази линия? Кои числа ще са следващите след петицата? Всеки ... ъъъ ..., накратко, всеки ще разбере, че числата 6, 7, 8, 9 и т.н. ще отидат по-далеч.

Нека да усложним задачата. Давам незавършена поредица от числа:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Можете да хванете модела, да разширите серията и да дадете име седмономер на ред?

Ако сте разбрали, че това число е 20 - поздравявам ви! Ти не само усети ключови точки на аритметичната прогресия,но и успешно ги използва в бизнеса! Ако не разбирате, прочетете.

Сега нека преведем ключовите точки от усещанията в математика.)

Първата ключова точка.

Аритметичната прогресия работи с серии от числа.Това е объркващо в началото. Свикнали сме да решаваме уравнения, да изграждаме графики и всичко това ... И след това разширете серията, намерете номера на серията ...

Всичко е наред. Просто прогресиите са първото запознанство с нов клон на математиката. Разделът се нарича "Поредици" и работи с поредици от числа и изрази. Свиквай.)

Втора ключова точка.

В аритметична прогресия всяко число се различава от предишното със същата сума.

В първия пример тази разлика е една. Което и число да вземете, то е с едно повече от предишното. Във втория - три. Всяко число е три пъти по-голямо от предишното. Всъщност именно този момент ни дава възможност да хванем закономерността и да изчислим следващите числа.

Трети ключов момент.

Този момент не е поразителен, да ... Но много, много важен. Ето го: всеки номер на прогресиятастои на мястото си.Има първото число, има седмото, има четиридесет и петото и т.н. Ако ги объркате случайно, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Това е просто поредица от числа.

Това е целият смисъл.

Разбира се, в нова темапоявяват се нови термини и обозначения. Те трябва да знаят. В противен случай няма да разберете задачата. Например, трябва да решите нещо като:

Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Вдъхновява ли?) Писма, някои индекси... И задачата, между другото, не може да бъде по-лесна. Просто трябва да разберете значението на термините и нотацията. Сега ще овладеем този въпрос и ще се върнем към задачата.

Термини и обозначения.

Аритметична прогресияе поредица от числа, в която всяко число е различно от предишното със същата сума.

Тази стойност се нарича . Нека разгледаме тази концепция по-подробно.

Разлика в аритметична прогресия.

Разлика в аритметична прогресияе сумата, с която всяко число на прогресия Повече ▼предишния.

един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼".Математически това означава, че се получава всяко число на прогресията добавянеразликата на аритметична прогресия спрямо предходното число.

Да изчислим, да речем второномера на реда, е необходимо да се първиномер добавететочно тази разлика на аритметична прогресия. За изчисление пети- разликата е необходима добаветеДа се четвъртодобре и т.н.

Разлика в аритметична прогресияМоже би положителентогава всяко число от серията ще се окаже истинско повече от предишния.Тази прогресия се нарича повишаване на.Например:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тук е всяко число добавянеположително число, +5 към предишното.

Разликата може да бъде отрицателентогава всяко число в серията ще бъде по-малко от предишния.Тази прогресия се нарича (няма да повярвате!) намаляващи.

Например:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тук също се получава всяко число добавянекъм предишното, но вече отрицателно число, -5.

Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно веднага да определите нейния характер - дали се увеличава или намалява. Помага много да се ориентирате в решението, да откриете грешките си и да ги коригирате, преди да е станало твърде късно.

Разлика в аритметична прогресияобикновено се обозначава с буквата д.

Как да намеря д? Много просто. Необходимо е да се извади от произволно число от серията предишенномер. Извадете. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)

Да дефинираме например дза нарастваща аритметична прогресия:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Взимаме произволен номер от реда, който искаме, например 11. Изваждаме от него предишния номертези. 8:

Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.

Можете просто да вземете произволен брой прогресии,защото за конкретна прогресия д-винаги същото.Поне някъде в началото на редицата, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първото число. Просто защото първото число няма предишни.)

Между другото, знаейки това d=3, намирането на седмото число от тази прогресия е много лесно. Добавяме 3 към петото число - получаваме шестото, ще бъде 17. Добавяме три към шестото число, получаваме седмото число - двадесет.

Да дефинираме дза намаляваща аритметична прогресия:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Напомням ви, че независимо от знаците, за да определите днеобходими от произволен номер отнеме предишния.Избираме произволен номер на прогресия, например -7. Предишното му число е -2. Тогава:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Разликата на аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло число, дробна, ирационална, всякаква.

Други термини и обозначения.

Всяко число от серията се нарича член на аритметична прогресия.

Всеки член на прогресията има неговия номер.Цифрите са строго подредени, без уловки. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресията 2, 5, 8, 11, 14, ... две е първият член, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате ...) Моля, разберете ясно - самите числаможе да бъде абсолютно всякакво, цяло, дробно, отрицателно, каквото и да е, но номериране- строго по ред!

Как да запишете прогресия в общ изглед? Няма проблем! Всяко число от серията е изписано като буква. За означаване на аритметична прогресия по правило се използва буквата а. Членският номер се обозначава с индекса долу вдясно. Членовете се пишат разделени със запетаи (или точка и запетая), както следва:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

а 1е първото число а 3- трети и т.н. Нищо сложно. Можете да напишете тази серия накратко така: (a n).

Има прогресии крайно и безкрайно.

крайнапрогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, каквото и да е. Но това е краен брой.

Безкраенпрогресия - има безкраен брой членове, както можете да предположите.)

Можете да напишете окончателна прогресия през поредица като тази, всички членове и точка в края:

а 1, а 2, а 3, а 4, а 5.

Или така, ако има много членове:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

В кратък запис ще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), така:

(a n), n = 20

Една безкрайна прогресия може да бъде разпозната по многоточието в края на реда, както в примерите в този урок.

Сега вече можете да решавате задачи. Задачите са прости, чисто за разбиране смисъла на аритметичната прогресия.

Примерни задачи за аритметична прогресия.

Нека разгледаме по-отблизо задачата по-горе:

1. Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.

Превеждаме задачата на разбираем език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Второто число на тази прогресия е известно: а 2 = 5.Известна разлика в прогресията: d = -2,5.Трябва да намерим първия, третия, четвъртия, петия и шестия член на тази прогресия.

За по-голяма яснота ще запиша серия според условието на задачата. Първите шест члена, където вторият член е пет:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

а 3 = а 2 + д

Заменяме в израза а 2 = 5И d=-2,5. Не забравяйте минуса!

а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третият член е по-малък от втория. Всичко е логично. Ако числото е по-голямо от предишното отрицателенстойност, така че самото число ще бъде по-малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, нека го вземем предвид.) Ние считаме четвъртия член на нашата поредица:

а 4 = а 3 + д

а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = а 4 + д

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

а 6 = а 5 + д

а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

И така, членовете от трети до шести са изчислени. Това доведе до серия:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Остава да намерим първия член а 1според известното второ. Това е стъпка в другата посока, наляво.) Следователно разликата в аритметичната прогресия дне трябва да се добавя към а 2, А за вкъщи:

а 1 = а 2 - д

а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Това е всичко. Отговор на задачата:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Мимоходом отбелязвам, че решихме тази задача рецидивиращначин. Тази ужасна дума означава само търсене на член на прогресията по предходния (съседен) номер.Други начини за работа с прогресия ще бъдат обсъдени по-късно.

От тази проста задача може да се направи един важен извод.

Помня:

Ако знаем поне един член и разликата на аритметична прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.

Помня? Това просто заключение ни позволява да решим повечето от проблемите на училищния курс по тази тема. Всички задачи се въртят около три основни параметъра: член на аритметична прогресия, разлика на прогресия, номер на член на прогресия.Всичко.

Разбира се, цялата предишна алгебра не се отменя.) Неравенствата, уравненията и други неща са прикрепени към прогресията. Но според прогресията- всичко се върти около три параметъра.

Например, помислете за някои популярни задачи по тази тема.

2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n=5, d=0,4 и a 1=3,6.

Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Трябва да запомните как се изчисляват, преброяват и записват членовете на една аритметична прогресия. Препоръчително е да не пропускате думите в условието на задачата: "окончателен" и " n=5". За да не броите, докато не сте напълно посинели.) В тази прогресия има само 5 (пет) члена:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Остава да напиша отговора:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Друга задача:

3. Определете дали числото 7 ще бъде член на аритметична прогресия (a n), ако a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Хм... Кой знае? Как да дефинираме нещо?

Как-как ... Да, запишете прогресията под формата на серия и вижте дали ще има седем или не! Ние вярваме:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Сега ясно се вижда, че сме само седем се промъкнамежду 6.5 и 7.7! Седемте не попаднаха в нашата серия от числа и следователно седемте няма да бъдат член на дадената прогресия.

Отговор: не.

И ето задача, базирана на реална версия на GIA:

4. Изписват се няколко последователни члена на аритметичната прогресия:

...; 15; Х; 9; 6; ...

Ето една поредица без край и начало. Няма номера на членове, няма разлика д. Всичко е наред. За да разрешите проблема, е достатъчно да разберете значението на аритметичната прогресия. Да видим и да видим какво можем да знамот тази линия? Какви са параметрите на трите основни?

Членски номера? Тук няма нито едно число.

Но има три числа и - внимание! - дума "последователен"в състояние. Това означава, че числата са строго подредени, без пропуски. Има ли двама в този ред? съседниизвестни числа? Да, имам! Това са 9 и 6. Така че можем да изчислим разликата на аритметична прогресия! Изваждаме от шестицата предишенномер, т.е. девет:

Остават празни места. Кое число ще бъде предишното за x? Петнадесет. Така че x може лесно да се намери чрез просто събиране. Към 15 добавете разликата на аритметична прогресия:

Това е всичко. Отговор: х=12

Ние решаваме следните проблеми сами. Забележка: тези пъзели не са за формули. Чисто за разбиране на значението на аритметичната прогресия.) Просто записваме поредица от цифри-букви, гледаме и мислим.

5. Намерете първия положителен член от аритметичната прогресия, ако a 5 = -3; d = 1,1.

6. Известно е, че числото 5,5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 1,6; d = 1,3. Определете числото n на този член.

7. Известно е, че в аритметична прогресия a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Намерете 3.

8. Изписани са няколко последователни члена на аритметичната прогресия:

...; 15,6; Х; 3.4; ...

Намерете члена на прогресията, означен с буквата x.

9. Влакът тръгна от гарата, като постепенно увеличи скоростта си с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте своя отговор в км/ч.

10. Известно е, че в аритметична прогресия a 2 = 5; а 6 = -5. Намерете 1.

Отговори (в безпорядък): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Всичко се получи? невероятно! Можете да научите аритметичната прогресия на по-високо ниво в следващите уроци.

Не се ли получи всичко? Няма проблем. В специален раздел 555 всички тези пъзели са разбити парче по парче.) И, разбира се, е описана проста практическа техника, която веднага подчертава решението на такива задачи ясно, ясно, като в дланта на ръката ви!

Между другото, в пъзела за влака има два проблема, на които хората често се спъват. Единият - чисто по прогресия, а вторият - общ за всякакви задачи по математика, а и по физика. Това е превод на измеренията от едно в друго. Показва как трябва да се решават тези проблеми.

В този урок разгледахме елементарното значение на аритметичната прогресия и нейните основни параметри. Това е достатъчно за решаване на почти всички проблеми по тази тема. Добавете дкъм числата, напишете серия, всичко ще се реши.

Решението с пръсти работи добре за много кратки части от поредицата, както в примерите в този урок. Ако серията е по-дълга, изчисленията стават по-сложни. Например, ако в задача 9 във въпроса заменете "пет минути"На "тридесет и пет минути"проблемът ще стане много по-лош.)

Има и задачи, които са прости по същество, но напълно абсурдни от гледна точка на изчисления, например:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

И какво, ще добавяме 1/6 много, много пъти?! Възможно ли е да се самоубиеш!?

Можете.) Ако не знаете проста формула, по която можете да решите такива задачи за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем е решен там. След минутка.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Някой третира думата "прогресия" с повишено внимание, като много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на брояча на такситата (където те все още остават). И да се разбере същността (а в математиката няма нищо по-важно от „да се разбере същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, като се анализират няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Прието е числовата последователност да се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

и 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това, не всеки произволен набор от цифри и числа ни интересува. Ще насочим вниманието си към числова редица, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числовата стойност на n-то число е някаква функция на n.

a - стойност на член на числовата редица;

n е неговият сериен номер;

f(n) е функция, където порядъкът в числовата последователност n е аргументът.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формулата на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

На графиката по-долу е лесно да се види защо числовата последователност се нарича "нарастваща".

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Стойността на посочения член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Този начин обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, минус едно .

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден член

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. Освен това не е необходимо да изчислява стойностите на всеки термин и след това да ги сумира. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметична прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по числото на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия член се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

В задачата се изисква да се определи сумата от членовете на серията от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така че сборът от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме такъв пример.

Качването в такси (което включва 3 км) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние за пътуване 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацане.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 p.

числото, което ни интересува - стойността на (27 + 1)-ия член на аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Изчисленията на календарни данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до светилото. В допълнение, различни числени серии се използват успешно в статистиката и други приложни клонове на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с голяма, в сравнение с аритметична, скорост на промяна. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива експоненциално.

N-тият член на редицата с геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят е съответно 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметична прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете 5-ия член на прогресията

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Сборът на даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n членове на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е равен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Да, да: аритметичната прогресия не е играчка за вас :)

Е, приятели, ако четете този текст, тогава вътрешните доказателства ми казват, че все още не знаете какво е аритметична прогресия, но наистина (не, така: СООООО!) искате да знаете. Затова няма да ви измъчвам с дълги въведения и веднага ще се заема с работата.

Като начало, няколко примера. Помислете за няколко набора от числа:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Какво е общото между всички тези комплекти? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. а именно: всеки следващ елемент се различава от предходния със същия номер.

Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всяко едно повече от предишното. Във втория случай разликата между съседни числа вече е равна на пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай има корени като цяло. Въпреки това, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, докато $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. в който случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $\sqrt(2)$ (и не се плашете, че това число е ирационално).

И така: всички такива последователности се наричат ​​просто аритметични прогресии. Нека дадем строга дефиниция:

Определение. Поредица от числа, в която всяко следващо се различава от предходното с абсолютно същата стойност, се нарича аритметична прогресия. Самата стойност, с която се различават числата, се нарича прогресивна разлика и най-често се обозначава с буквата $d$.

Нотация: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресия, $d$ е нейната разлика.

И само няколко важни забележки. Първо, разглежда се само прогресията подреденпоследователност от числа: разрешено е да се четат стриктно в реда, в който са написани - и нищо друго. Не можете да пренареждате или разменяте числата.

Второ, самата последователност може да бъде крайна или безкрайна. Например множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако напишете нещо като (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Многоточието след четирите, така да се каже, подсказва, че доста числа отиват по-далеч. Безкрайно много например. :)

Бих искал също да отбележа, че прогресиите се увеличават и намаляват. Вече видяхме нарастващи - един и същи набор (1; 2; 3; 4; ...). Ето примери за намаляващи прогресии:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Добре, добре: последният пример може да изглежда прекалено сложен. Но останалото, мисля, разбирате. Затова въвеждаме нови определения:

Определение. Аритметична прогресия се нарича:

1. нараства, ако всеки следващ елемент е по-голям от предходния;
2. намаляващ, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

Освен това има така наречените "стационарни" последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).

Остава само един въпрос: как да различим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие тук всичко зависи само от знака на числото $d$, т.е. разлики в прогресията:

1. Ако $d \gt 0$, тогава прогресията нараства;
2. Ако $d \lt 0$, тогава прогресията очевидно намалява;
3. И накрая, има случай $d=0$ — в този случай цялата прогресия се свежда до стационарна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата $d$ за трите намаляващи прогресии по-горе. За да направите това, достатъчно е да вземете всеки два съседни елемента (например първия и втория) и да извадите от числото отдясно числото отляво. Ще изглежда така:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Както можете да видите, и в трите случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, след като повече или по-малко разбрахме дефинициите, е време да разберем как се описват прогресиите и какви свойства притежават.

Членове на прогресията и рекурентната формула

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да бъдат разменени, те могат да бъдат номерирани:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \десен\)\]

Индивидуалните елементи на това множество се наричат ​​членове на прогресията. Те се обозначават по този начин с помощта на число: първият член, вторият член и т.н.

Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани по формулата:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Дясна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Накратко, за да намерите $n$-тия член на прогресията, трябва да знаете $n-1$-ия член и разликата $d$. Такава формула се нарича повтаряща се, защото с нейна помощ можете да намерите всяко число, като знаете само предишното (и всъщност всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-сложна формула, която намалява всяко изчисление до първия член и разликата:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Вероятно вече сте срещали тази формула. Обичат да го дават във всякакви справочници и решебници. И във всеки разумен учебник по математика той е един от първите.

Предлагам ви обаче да практикувате малко.

Задача номер 1. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.

Решение. И така, знаем първия член $((a)_(1))=8$ и прогресивната разлика $d=-5$. Нека използваме току-що дадената формула и заместваме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: (8; 3; -2)

Това е всичко! Имайте предвид, че нашата прогресия намалява.

Разбира се, $n=1$ не може да бъде заменено - вече знаем първия член. Въпреки това, като заменихме единицата, ние се уверихме, че дори за първия член нашата формула работи. В други случаи всичко се свеждаше до банална аритметика.

Задача номер 2. Напишете първите три члена на аритметична прогресия, ако седмият член е −40, а седемнадесетият член е −50.

Решение. Пишем условието на проблема с обичайните термини:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \право.\]

Слагам знака на системата, защото тези изисквания трябва да се изпълняват едновременно. И сега отбелязваме, че ако извадим първото уравнение от второто уравнение (имаме право да направим това, защото имаме система), получаваме това:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \край (подравняване)\]

Точно така открихме разликата в прогресията! Остава да замените намереното число в някое от уравненията на системата. Например в първия:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \край (матрица)\]

Сега, знаейки първия член и разликата, остава да намерим втория и третия член:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \край (подравняване)\]

Готов! Проблема решен.

Отговор: (-34; -35; -36)

Забележете едно любопитно свойство на прогресията, което открихме: ако вземем $n$-тия и $m$-тия член и ги извадим един от друг, получаваме разликата на прогресията, умножена по числото $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решаването на много проблеми с прогресията. Ето един отличен пример за това:

Задача номер 3. Петият член на аритметичната прогресия е 8,4, а десетият член е 14,4. Намерете петнадесетия член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и трябва да намерим $((a)_(15))$, отбелязваме следното:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \край (подравняване)\]

Но по условие $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, така че $5d=6$, откъдето имаме:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: 20.4

Това е всичко! Не беше необходимо да съставяме никакви системи от уравнения и да изчисляваме първия член и разликата - всичко беше решено само в няколко реда.

Сега нека разгледаме друг вид проблем - търсенето на отрицателни и положителни членове на прогресията. Не е тайна, че ако прогресията се увеличава, докато първият й член е отрицателен, тогава рано или късно в нея ще се появят положителни членове. И обратното: условията на намаляваща прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

В същото време далеч не винаги е възможно да се намери този момент „на челото“, последователно сортирайки елементите. Често задачите са проектирани по такъв начин, че без да знаем формулите, изчисленията биха отнели няколко листа - просто щяхме да заспим, докато намерим отговора. Затова ще се опитаме да разрешим тези проблеми по по-бърз начин.

Задача номер 4. Колко отрицателни членове в аритметична прогресия -38,5; -35,8; …?

Решение. И така, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, от което веднага намираме разликата:

Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че наистина в един момент ще се натъкнем на положителни числа. Въпросът е само кога ще стане това.

Нека се опитаме да разберем: колко дълго (т.е. до какво естествено число $n$) се запазва отрицателността на членовете:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \вдясно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Стрелка надясно ((n)_(\max ))=15. \\ \край (подравняване)\]

Последният ред се нуждае от пояснение. Така че знаем, че $n \lt 15\frac(7)(27)$. От друга страна, само целите стойности на числото ще ни подхождат (още повече: $n\in \mathbb(N)$), така че най-голямото допустимо число е именно $n=15$ и в никакъв случай 16.

Задача номер 5. В аритметична прогресия $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Намерете номера на първия положителен член от тази прогресия.

Това би бил точно същият проблем като предишния, но не знаем $((a)_(1))$. Но съседните термини са известни: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така че можем лесно да намерим разликата в прогресията:

В допълнение, нека се опитаме да изразим петия член по отношение на първия и разликата, използвайки стандартната формула:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \край (подравняване)\]

Сега продължаваме по аналогия с предишната задача. Откриваме в кой момент от нашата последователност ще се появят положителни числа:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Дясна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \край (подравняване)\]

Минималното цяло число решение на това неравенство е числото 56.

Моля, имайте предвид, че в последната задача всичко беше сведено до строго неравенство, така че опцията $n=55$ няма да ни подхожда.

Сега, след като се научихме как да решаваме прости задачи, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека научим още едно много полезно свойство на аритметичните прогресии, което ще ни спести много време и неравни клетки в бъдеще. :)

Средно аритметично и равни отстъпи

Помислете за няколко последователни члена на нарастващата аритметична прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$. Нека се опитаме да ги отбележим на числова ос:

Членове на аритметичната прогресия на числовата ос

Специално отбелязах произволните членове $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не всеки $((a)_(1)), \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ и т.н. Защото правилото, което сега ще ви кажа, работи по един и същ начин за всякакви „сегменти“.

А правилото е много просто. Нека си припомним рекурсивната формула и я запишем за всички маркирани членове:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \край (подравняване)\]

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \край (подравняване)\]

Е, какво от това? Но фактът, че термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на същото разстояние от $((a)_(n)) $ . И това разстояние е равно на $d$. Същото може да се каже и за термините $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - те също са премахнати от $((a)_(n) )$ на същото разстояние, равно на $2d$. Можете да продължите безкрайно, но снимката добре илюстрира смисъла

Членовете на прогресията лежат на еднакво разстояние от центъра

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $((a)_(n))$, ако съседните числа са известни:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Изведехме великолепно твърдение: всеки член на аритметична прогресия е равен на средноаритметичното на съседните членове! Освен това можем да се отклоняваме от нашия $((a)_(n))$ наляво и надясно не с една стъпка, а с $k$ стъпки — и въпреки това формулата ще бъде правилна:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тези. можем лесно да намерим някои $((a)_(150))$, ако знаем $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, защото $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много задачи са специално "заточени" за използването на средноаритметичното. Погледни:

Задача номер 6. Намерете всички стойности на $x$, така че числата $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ да са последователни членове на аритметична прогресия (в определен ред).

Решение. Тъй като тези числа са членове на прогресия, условието за средно аритметично за тях е изпълнено: централният елемент $x+1$ може да бъде изразен чрез съседни елементи:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \край (подравняване)\]

Резултатът е класическо квадратно уравнение. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ са отговорите.

Отговор: -3; 2.

Задача номер 7. Намерете стойностите на $$, така че числата $-1;4-3;(()^(2))+1$ да образуват аритметична прогресия (в този ред).

Решение. Отново изразяваме средния член по отношение на средната аритметична стойност на съседните членове:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\вдясно.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \край (подравняване)\]

Още едно квадратно уравнение. И отново два корена: $x=6$ и $x=1$.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на задача получите някои брутални числа или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има чудесен трик, който ви позволява да проверите: правилно ли решихме проблема?

Да кажем, че в задача 6 имаме отговори -3 и 2. Как можем да проверим дали тези отговори са верни? Нека просто ги включим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$, които трябва да образуват аритметична прогресия. Заместете $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \край (подравняване)\]

Получихме числата -54; −2; 50, които се различават с 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото се случва и за $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \край (подравняване)\]

Отново прогресия, но с разлика 27. Така задачата е решена правилно. Желаещите могат сами да проверят втората задача, но веднага ще кажа: и там всичко е правилно.

Като цяло, докато решавахме последните проблеми, се натъкнахме на друг интересен факт, който също трябва да се помни:

Ако три числа са такива, че второто е средната стойност на първото и последното, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „конструираме“ необходимите прогресии въз основа на условието на проблема. Но преди да се заемем с подобна "конструкция", трябва да обърнем внимание на още един факт, който пряко следва от вече разгледаното.

Групиране и сбор от елементи

Нека се върнем отново към числовата ос. Отбелязваме там няколко члена на прогресията, между които може би. струва много други членове:

6 елемента, отбелязани на числовата ос

Нека се опитаме да изразим „лявата опашка“ чрез $((a)_(n))$ и $d$, а „дясната опашка“ чрез $((a)_(k))$ и $ d$. Много е просто:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \край (подравняване)\]

Сега имайте предвид, че следните суми са равни:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= С; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \край (подравняване)\]

Казано по-просто, ако разгледаме като начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакво число $S$, и след това започнем да стъпваме от тези елементи в противоположни посоки (един към друг или обратно, за да се отдалечим), тогава сумите на елементите, на които ще се натъкнем също ще бъдат равни$S$. Това може да бъде представено най-добре графично:

Еднаквите тирета дават равни суми

Разбирането на този факт ще ни позволи да решаваме проблеми с фундаментално по-високо ниво на сложност от тези, които разгледахме по-горе. Например тези:

Задача номер 8. Определете разликата на аритметична прогресия, в която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е възможно най-малкото.

Решение. Нека запишем всичко, което знаем:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \край (подравняване)\]

Така че не знаем разликата на прогресията $d$. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да бъде пренаписан както следва:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \край (подравняване)\]

За тези в резервоара: извадих общия множител 11 от втората скоба. Така желаният продукт е квадратична функция по отношение на променливата $d$. Следователно, разгледайте функцията $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, т.к. ако отворим скобите, получаваме:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Както можете да видите, коефициентът с най-висок член е 11 - това е положително число, така че наистина имаме работа с парабола с разклонения нагоре:

графика на квадратна функция – парабола

Моля, обърнете внимание: тази парабола приема минималната си стойност в своя връх с абсцисата $((d)_(0))$. Разбира се, можем да изчислим тази абциса по стандартната схема (има формула $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било много по-разумно да имайте предвид, че желаният връх лежи върху осесиметрията на параболата, така че точката $((d)_(0))$ е на еднакво разстояние от корените на уравнението $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \край (подравняване)\]

Ето защо не бързах да отварям скобите: в оригиналната форма корените бяха много, много лесни за намиране. Следователно абсцисата е равна на средноаритметичното на числата −66 и −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Какво ни дава откритото число? При него исканият продукт приема най-малката стойност (между другото, ние не сме изчислили $((y)_(\min ))$ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата на първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)

Отговор: -36

Задача номер 9. Поставете три числа между числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ така, че заедно с дадените числа да образуват аритметична прогресия.

Решение. Всъщност трябва да направим поредица от пет числа, като първото и последното число вече са известни. Означете липсващите числа с променливите $x$, $y$ и $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Обърнете внимание, че числото $y$ е "средата" на нашата последователност - то е на еднакво разстояние от числата $x$ и $z$ и от числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1)( 6)$. И ако в момента не можем да получим $y$ от числата $x$ и $z$, то ситуацията е различна с краищата на прогресията. Запомнете средното аритметично:

Сега, знаейки $y$, ще намерим останалите числа. Имайте предвид, че $x$ се намира между $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$ току-що намерени. Ето защо

Разсъждавайки по подобен начин, намираме оставащото число:

Готов! Намерихме и трите числа. Нека ги запишем в отговора в реда, в който трябва да бъдат вмъкнати между оригиналните числа.

Отговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Задача номер 10. Между числата 2 и 42 поставете няколко числа, които заедно с дадените числа образуват аритметична прогресия, ако е известно, че сборът на първото, второто и последното от въведените числа е 56.

Решение. Още по-трудна задача, която обаче се решава по същия начин като предходните - чрез средноаритметичното. Проблемът е, че не знаем точно колко числа да вмъкнем. Затова за категоричност приемаме, че след вмъкването ще има точно $n$ числа, като първото от тях е 2, а последното е 42. В този случай желаната аритметична прогресия може да се представи като:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Обърнете внимание обаче, че числата $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се получават от числата 2 и 42, стоящи в краищата на една стъпка едно към друго , т.е. към центъра на последователността. И това означава, че

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Но тогава горният израз може да бъде пренаписан така:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \край (подравняване)\]

Познавайки $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, можем лесно да намерим разликата в прогресията:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Дясна стрелка d=5. \\ \край (подравняване)\]

Остава само да намерите останалите членове:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \край (подравняване)\]

Така вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на редицата - числото 42. Общо трябваше да се вмъкнат само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстови задачи с прогресии

В заключение бих искал да разгледам няколко относително прости проблема. Ами простичко: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са прочели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат като жест. Въпреки това, точно такива задачи се срещат в OGE и USE по математика, така че ви препоръчвам да се запознаете с тях.

Задача номер 11. Екипът е произвел 62 части през януари, като през всеки следващ месец са произвели по 14 части повече от предходния. Колко части е произвела бригадата през ноември?

Решение. Очевидно броят на частите, боядисани по месеци, ще бъде нарастваща аритметична прогресия. И:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ноември е 11-ият месец в годината, така че трябва да намерим $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Следователно през ноември ще бъдат произведени 202 части.

Задача номер 12. През януари книговезката работилница е подвързала 216 книги, като всеки месец е подвързвала с 4 книги повече от предходния месец. Колко книги подвърза работилницата през декември?

Решение. Все същото:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Декември е последният, 12-ти месец на годината, така че търсим $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Това е отговорът – през декември ще бъдат подвързани 260 книги.

Е, ако сте прочели дотук, бързам да ви поздравя: завършихте успешно „курса за млад боец“ по аритметични прогресии. Спокойно можем да преминем към следващия урок, където ще изучаваме формулата за сумата на прогресията, както и важни и много полезни следствия от нея.

Така че нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете произволни числа и може да са колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое от тях е първото, кое второто и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е едно и също.
Числото с числото се нарича -тият член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Такава числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, с която са се занимавали древните гърци.

Това е числова редица, всеки член на която е равен на предходния, добавен със същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Сравнете нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме към предишната стойност на числото на прогресията, докато стигнем до члена на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, -тият член на описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Начин

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането щеше да ни отнеме повече от час и не е факт, че нямаше да допуснем грешки при събирането на числата.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим какво съставлява стойността на -тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте се самостоятелно да намерите по този начин стойността на член на тази аритметична прогресия.

Изчислено? Сравнете вашите записи с отговора:

Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметична прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии се увеличават или намаляват.

Повишаване на- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека да го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа:

От тогава:

Така се убедихме, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите -тия и -тия членове на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - извеждаме свойството на аритметична прогресия.
Да предположим, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно е, казвате вие ​​и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има вероятност да направите грешки в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да се реши този проблем в една стъпка, като се използва някаква формула? Разбира се, да, и ние ще се опитаме да го изведем сега.

Нека означим желания член от аритметичната прогресия като, знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведехме в началото:
, Тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека сумираме предишните и следващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишния и следващите членове на прогресията е два пъти по-голяма от стойността на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да се съберат и разделят на.

Точно така, имаме едно и също число. Да оправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото не е никак трудно.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата един от най-великите математици на всички времена, "кралят на математиците" - Карл Гаус, лесно извежда за себе си ...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учителят, зает да проверява работата на ученици от други класове, зададе следната задача в урока: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително. " Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) след минута даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчага след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза модел, който можете лесно да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ti членове: Трябва да намерим сумата от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако трябва да намерим сбора на неговите членове в задачата, както търсеше Гаус?

Нека изобразим прогресията, която ни е дадена. Погледнете внимателно маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитах? Какво забелязахте? вярно! Сумите им са равни

Сега отговорете колко такива двойки ще има в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата на сумата формулата на th член.
Какво получи?

Много добре! Сега да се върнем към задачата, дадена на Карл Гаус: изчислете сами колко е сумата от числата, започващи от -тото, и сумата от числата, започващи от -тото.

Колко получихте?
Гаус се оказа, че сумата от членовете е равна и сумата от членовете. Така ли реши?

Всъщност формулата за сбора на членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумни хора са използвали свойствата на аритметичната прогресия с всички сили.
Например, представете си Древен Египет и най-голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамида ... Фигурата показва едната й страна.

Къде е прогресията тук, казвате? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Пребройте колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, като движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така:
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметична прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (ние броим броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите и на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Съгласно ли е? Браво, усвоихте сумата от th-ия член на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да построите пирамида от блоковете в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

обучение

Задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти ще кляка Маша за седмици, ако направи клякания на първата тренировка.
2. Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи.

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
   (седмици = дни).

   Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметична прогресия.
   Броят на нечетните числа в - половината обаче проверете този факт, като използвате формулата за намиране на -тия член на аритметична прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Заменяме наличните данни във формулата:

   Отговор:Сборът от всички нечетни числа, съдържащи се в е равен на.

3. Припомнете си задачата за пирамидите. За нашия случай, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, има само куп слоеве, т.е.
   Заместете данните във формулата:

   Отговор:В зидарията има трупи.

Обобщаване

1. - числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Увеличава се и намалява.
2. Намиране на формулачлен на аритметичната прогресия се записва по формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членове на аритметична прогресия- - където - броят на числата в прогресията.
4. Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете произволни числа и могат да бъдат колкото искате. Но винаги можете да кажете кой от тях е първият, кой вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и само с едно. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с числото се нарича -тият член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако -тият член на редицата може да бъде даден с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Наричаме повтаряща се формула, в която, за да разберете -тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки такава формула, трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега е ясно каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? И ето какво:

(в крайна сметка се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

Така че формулата е:

Тогава стотният член е:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко такива двойки има? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

Решение:

Първото такова число е това. Всеки следващ се получава чрез добавяне на число към предишния. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формулата за тия член за тази прогресия е:

Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден атлетът бяга с 1 м повече от предишния ден. Колко километра ще пробяга след седмици, ако пробяга km m през първия ден?
2. Велосипедист изминава повече мили всеки ден от предишния. Първия ден измина км. Колко дни трябва да кара, за да измине един километър? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
3. Всяка година цената на хладилника в магазина се намалява с една и съща сума. Определете колко намалява цената на хладилника всяка година, ако, пуснат за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   Отговор:
2. Тук е дадено:, необходимо е да се намери.
   Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът.
   Нека изчислим изминатото разстояние през последния ден, като използваме формулата на -тия член:
   (км).
   Отговор:

3. Дадено: . Намирам: .
   Не става по-лесно:
   (търкайте).
   Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия е нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формулата за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва като формула, където е броят на числата в прогресията.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Това улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сумата от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.

ОСТАНАЛИТЕ 2/3 АРТИКУЛА СА ДОСТЪПНИ САМО ЗА СТУДЕНТИ НА YOUCLEVER!

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за OGE или USE по математика на цената на "чаша кафе на месец",

И също така получете неограничен достъп до учебника „YouClever“, програмата за обучение „100gia“ (книга с решения), неограничен пробен USE и OGE, 6000 задачи с анализ на решения и други услуги на YouClever и 100gia.